（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何初步 第50課 線面平行與面面平行 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第50課 線面平行與面面平行 (本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第　　頁) 自主學(xué)習(xí)　回歸教材 1.(必修2P41練習(xí)2改編)若直線a∥b，且b平面α，則直線a與平面α的位置關(guān)系為　　　　　　　　　　. 【答案】a∥平面α或a平面α 2.(必修2P45習(xí)題9改編)已知α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α與γ的位置關(guān)系為　　　　. 【答案】平行 3.(必修2P41練習(xí)1改編)已知兩個(gè)命題： p： 平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行； q： 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行. 則真命題為　　　　，假命題為　　　　. 【答案】q　p 4.(必修2P32練習(xí)3改編)如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，A1B1與平面ABC的位置關(guān)系是　　　　；AA1與平面BCC1B1的位置關(guān)系是　　　　；AC與平面ACC1A1的位置關(guān)系是　　　　. (第4題) 【答案】平行　相交　線在面內(nèi) 【解析】直線與平面的位置關(guān)系有三種：平行、相交、線在面內(nèi). 1.一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行 公共點(diǎn) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn) 符號(hào)表示 aα a∩α=A a∥α 圖形表示 2.直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行. 3.兩個(gè)平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 兩平面平行 兩平面相交 公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn) 有一條公共直線 符號(hào)表示 α∥β α∩β=a 圖形表示 4.兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行. 【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】 要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)　各個(gè)擊破 　線面基本位置關(guān)系的真假判斷 例1　(2014·常州模擬)給出下列命題： ①若線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB上的點(diǎn)都在平面α內(nèi)； ②若直線a在平面α外，則直線a與平面α沒有公共點(diǎn)； ③兩個(gè)平面平行的充分條件是其中一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面； ④設(shè)a，b，c是三條不同的直線，若a⊥b，a⊥c，則b∥c. 其中為假命題的是　　　　　　.(填序號(hào)) 【思維引導(dǎo)】判斷命題的真假與否的前提是正確理解各個(gè)定理，關(guān)鍵在于靈活轉(zhuǎn)化各種線面關(guān)系，還要熟悉各種關(guān)于線面的常見關(guān)系.解決問題時(shí)不要先“想當(dāng)然”，而要多些“逆反思維”. 【答案】②③④ 【解析】易知①正確；對(duì)于②，直線a可能與平面α相交，此時(shí)它們有公共點(diǎn)；對(duì)于③，兩個(gè)平面平行的必要條件是其中一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面；對(duì)于④，b與c還可能相交或異面. 【精要點(diǎn)評(píng)】判斷此類命題真假的常見方法有：(1)根據(jù)一些已有定理直接進(jìn)行判定或證明；(2)利用常見模型進(jìn)行判斷；(3)舉反例判斷. 變式　(2015·鎮(zhèn)江期末改編)設(shè)α，β為互不重合的平面，m，n是互不相同的直線，給出下列四個(gè)命題： ①若m∥n，nα，則m∥α； ②若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β； ③若α∥β，mα，nβ，則m∥n； ④若mα，m∥β，α∩β=n，則n∥m. 其中正確的命題為　　　　.(填序號(hào)) 【答案】④　 【解析】對(duì)于①，直線m可能在平面α內(nèi)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，沒有m與n相交的條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，m與n還可能異面，故③錯(cuò)誤. 　線面平行的判定與證明 例2　如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為棱AB，PC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面PAD. 　(例2) 【思維引導(dǎo)】證明線面平行可以取PD的中點(diǎn)M，構(gòu)造平行四邊形AEFM；也可以構(gòu)造三角形，找到中位線，再找平行關(guān)系；還可以先證明面面平行，再證線面平行. 【解答】方法一：如圖(1)，取PD的中點(diǎn)M，連接FM，AM， 因?yàn)辄c(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以FM∥CD， 且FM=CD. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，E為AB的中點(diǎn)， 所以EA∥CD，且EA=CD， 所以FM∥EA，且FM=EA， 所以四邊形AEFM為平行四邊形， 所以EF∥AM. 又AM平面PAD，EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 　圖(1) 　圖(2) (例2) 方法二：如圖(2)，連接CE并延長交DA的延長線于點(diǎn)N，連接PN. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AD∥BC， 所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE. 又AE=EB，所以△CEB≌△NEA. 所以CE=NE. 又點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以EF∥NP. 又NP平面PAD，EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 【精要點(diǎn)評(píng)】(1)線面平行線線平行.(2)找平行關(guān)系時(shí)，常借助三角形的中位線與邊的平行關(guān)系，或借助平行四邊形邊的平行關(guān)系.有時(shí)還可以借助兩平面平行的關(guān)系來證明線面平行.(3)證明線面平行時(shí)務(wù)必要說清三點(diǎn)：兩線平行；一線在面外；一線在面內(nèi). 變式1　(2015·南京、鹽城一模改編)如圖(1)，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O，E分別為B1D，AB的中點(diǎn).求證：OE∥平面BCC1B1. (變式1(1)) 【解答】如圖(2)，連接BC1，B1C， 設(shè)BC1∩B1C=F，連接OF. 因?yàn)镺，F(xiàn)分別是B1D和B1C的中點(diǎn)， (變式1(2)) 所以O(shè)F∥DC，且OF=DC. 又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)， 所以EB∥DC，且EB=DC， 從而OF∥EB，且OF=EB， 即四邊形OEBF是平行四邊形， 所以O(shè)E∥BF. 又因?yàn)镺E平面BCC1B1，BF平面BCC1B1， 所以O(shè)E∥平面BCC1B1. 變式2　(2015·宿遷一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形.若平面PBC與平面PAD的交線為l，求證：BC∥l. (變式2) 　　【解答】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BC∥AD. 因?yàn)锳D平面PAD，BC平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 又因?yàn)锽C平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l， 所以BC∥l. 　面面平行的判定與證明 例3　如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面BDC1∥平面AB1D1. 　(例3) 【思維引導(dǎo)】要證明面面平行可以尋找線線平行和線面平行，即由判定定理，在一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交線平行于另一個(gè)平面. 【解答】在正方體ABCD-A1B1C1D1中， AD1∥BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1， 所以AD1∥平面BDC1. 同理可證，B1D1∥平面BDC1. 又因?yàn)锳D1∩B1D1=D1，AD1，B1D1都在平面AB1D1內(nèi)， 所以平面AB1D1∥平面BDC1. 【精要點(diǎn)評(píng)】(1)把面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題，利用面面平行的判定定理來證明面面平行.(2)在立體幾何中，常常通過線線、線面、面面間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，使問題得到解決.熟練掌握這種轉(zhuǎn)化的思想方法，往往能找到解決問題的突破口.(3)證明面面平行的方法：①面面平行的定義；②面面平行的判定定理；③a⊥α，a⊥β α∥β；④α∥γ，β∥γα∥β. 變式　如圖(1)，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn).求證：平面EB1D1∥平面FBD. 　(變式(1)) 【解答】如圖(2)，取B1B的中點(diǎn)G，連接EG，C1G. 因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體， 　(變式(2)) 所以四邊形EGC1D1是平行四邊形， 所以C1G∥ED1. 又四邊形GBFC1也是平行四邊形， 所以C1G∥BF，所以ED1∥BF， 又ED1平面FBD， BF平面FBD， 所以ED1∥平面FBD. 又B1D1∥BD，且B1D1平面BDE，BD平面BDE， 所以B1D1∥平面FBD. 又因?yàn)镋D1∩B1D1=D1， 所以平面EB1D1∥平面FBD. 　直線與平面平行的探索問題 例4　如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥平面BCC1B1.設(shè)E是B1C1上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，A1E∥平面ADC1?請給出證明. 　(例4) 【思維引導(dǎo)】對(duì)于求某個(gè)特殊位置上的點(diǎn)這類問題，一種辦法是先猜想出定點(diǎn)的位置，然后證明；另一種辦法是可先假定存在這個(gè)點(diǎn)，然后再根據(jù)點(diǎn)的特點(diǎn)找到這個(gè)點(diǎn)所滿足的條件. 【解答】當(dāng)=1，即E為B1C1的中點(diǎn)時(shí)， A1E∥平面ADC1.證明如下： 由AD⊥平面BCC1B1，得AD⊥BC. 在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn). 在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 四邊形BCC1B1是矩形， 且D，E分別是BC，B1C1的中點(diǎn)， 所以B1B∥DE，B1B=DE. 又B1B∥AA1，且B1B=AA1， 所以DE∥AA1，且DE=AA1. 所以四邊形ADEA1為平行四邊形， 所以EA1∥AD. 又EA1平面ADC1，AD平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 【精要點(diǎn)評(píng)】“探索”在于由未知到已知，由變化到確定.找平行關(guān)系時(shí)多借助中點(diǎn)、中位線、平行四邊形等圖形或關(guān)系的平行性質(zhì).題目的本質(zhì)仍是線與面的平行關(guān)系. 變式　如圖(1)，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB=2.問：當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，BM∥平面AEF? 　(變式(1)) 【解答】如圖(2)，取AE的中點(diǎn)O，連接OF，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M. 因?yàn)閭?cè)棱A1A⊥底面ABC，AA1平面A1ACC1， 所以側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC. 　(變式(2)) 又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，OM⊥AC，所以O(shè)M⊥底面ABC. 又因?yàn)镋C=2FB=2， 所以O(shè)MFBEC， 所以四邊形OMBF為矩形， 故BM∥OF. 又BM平面AEF， OF平面AEF， 所以BM∥平面AEF， 此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn). 1.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系可能是　　　　　　　　. 【答案】平行或異面 【解析】因?yàn)锳B∥CD，AB平面α，CD平面α，所以CD∥平面α，所以CD與平面α內(nèi)的直線可能平行，也可能異面. 2.(2015·安徽卷改編)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是　　　　.(填序號(hào)) ①若α，β垂直于同一平面，則α與β平行； ②若m，n平行于同一平面，則m與n平行； ③若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線； ④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面. 【答案】④ 【解析】①中平面α與β還可能相交；②中直線m與n可以平行、相交或異面；③中在α內(nèi)可以存在與β平行的直線.只有④正確. 3.(2015·南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào)改編)如圖，在四面體ABCD中， M，N，Q分別為棱AD，BD，AC的中點(diǎn).求證：CD∥平面MNQ. (第3題) 【解答】在△ADC中，因?yàn)镸，Q分別為棱AD，AC的中點(diǎn)，所以MQ∥CD. 又CD平面MNQ，MQ平面MNQ， 所以CD∥平面MNQ. 4.如圖(1)，已知正方形ABCD和梯形BDEF所在平面相交于直線BD，且BD=2EF，求證：DE∥平面ACF. 　(第4題(1)) 【解答】如圖(2)， 設(shè)AC∩BD=O，連接FO. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形， 　(第4題(2)) 所以O(shè)是BD的中點(diǎn). 因?yàn)锽D=2EF，所以DOEF， 所以四邊形DOFE是平行四邊形， 所以DE∥OF. 又因?yàn)镈E平面ACF， OF平面AFC， 所以DE∥平面ACF. 趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評(píng)估》中的練習(xí)第99~100頁. 【檢測與評(píng)估】 第50課　線面平行與面面平行 一、 填空題 1.如果直線l在平面α外，那么直線l與平面α的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是　　　　. 2.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD與平面A1B1C1D1之間的距離為　　　　. 3.在長方體的所有面中，互相平行的面共有　　　　對(duì). 4.過兩條異面直線中的一條可以作　　　　個(gè)平面與另一條直線平行. 5.若直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是　　　　. 6.給出下列四個(gè)命題： ①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面互相平行； ②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； ③平行于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行； ④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行. 其中為真命題是　　　　.(填序號(hào)) 7.下列命題中正確的是　　　　.(填序號(hào)) ①若直線a不在α內(nèi)，則a∥α； ②若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α； ③若l與平面α平行，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)； ④平行于同一平面的兩直線可以相交. 8.如圖，若Ω是長方體ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHC1B1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于點(diǎn)B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于點(diǎn)B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是　　　　.(填序號(hào)) (第8題) ① EH∥FG；　?、谒倪呅蜤FGH是矩形； ③Ω是棱柱； ④Ω是棱臺(tái). 二、 解答題 9.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為線段A1A，C1B的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC. (第9題) 10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面BDD1B1. (第10題) 11.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，AC⊥BE，點(diǎn)F在線段AB上，且AB=4AF.若M為線段BE上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)M在線段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM. (第11題) 三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果) 12.(2015·蘇北四市期末)如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC.若過點(diǎn)A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC. (第12題) 【檢測與評(píng)估答案】 第50課　線面平行與面面平行 1. 0或1　【解析】直線l在平面α外，有兩種情況，一種情況為l∥α，此時(shí)沒有交點(diǎn)；另一種情況是l∩α=A，此時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn). 2. a 3. 3 4. 1　【解析】結(jié)合線面平行的判定定理可得. 5.平行或lα　【解析】由于直線l上有三個(gè)相異點(diǎn)到平面α的距離相等，所以直線l與平面α可以平行或者lα. 6. ④ 7.③④　【解析】當(dāng)a∩α=A時(shí)，aα，故①錯(cuò)誤；直線l與α相交時(shí)，l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi)，故②錯(cuò)誤；l∥α，l與α無公共點(diǎn)，所以l與α內(nèi)任意一條直線都無公共點(diǎn)，故③正確；長方體中A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，故④正確. 8.④　【解析】因?yàn)镋H∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1.又EH平面BCC1B1.所以EH∥平面BCC1B1，又EH平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以①③正確，④錯(cuò)誤；因?yàn)锳1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以②也正確. 9.如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G. 因?yàn)镕為C1B的中點(diǎn)， 所以FG∥C1C且FG=C1C. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1AC1C，且E為A1A的中點(diǎn)， 所以FGEA， 所以四邊形AEFG是平行四邊形， 所以EF∥AG. 因?yàn)镋F平面ABC，AG平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (第9題) 10.如圖，連接SB，SD. 因?yàn)镕，G分別是DC，SC的中點(diǎn)， 所以FG∥SD. 又因?yàn)镾D平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1. 同理可證EG∥平面BDD1B1. 又因?yàn)镋G平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EG∩FG=G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. (第10題) 11.連接AE，在BE上取點(diǎn)M，使BE=4ME，連接FM，B1M，F(xiàn)B1.在△BEA中，因?yàn)锽E=4ME，AB=4AF，所以MF∥AE.又在平面AA1C1C中，易證C1D∥AE，所以C1D∥FM. 因?yàn)镃1D平面B1FM，F(xiàn)M平面B1FM，所以C1D∥平面B1FM. 12.在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D. 因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PD平面PBC， 所以PD⊥平面ABC. 又因?yàn)閘⊥平面ABC，所以l∥PD. 又因?yàn)閘平面PBC，PD平面PBC， 所以l∥平面PBC.