（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第46課 直線與圓、圓與圓的位置關系教師用書-人教版高三數(shù)學試題

第46課 直線與圓、圓與圓的位置關系最新考綱內(nèi)容要求ABC直線與圓、圓與圓的位置關系1判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系：d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計算判別式b24ac，>0相交，0相切，<0相離2圓與圓的位置關系設圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數(shù)法：聯(lián)立兩個圓的方程組成方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r2r1|<d<r1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程()解析依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關系，只有(4)正確答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關系為_相交兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交3(2017·南京模擬)若直線3x4ym0與圓x2y22x4y40始終有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_0,10因為(x1)2(y2)21，所以由題意得1|m5|50m10.4在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.5(2016·全國卷)設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若AB2，則圓C的面積為_4圓C：x2y22ay20化為標準方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r.AB2，點C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為×224.直線與圓的位置關系(1)直線l：mxy1m0與圓C：x2(y1)25的位置關系是_(2)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸過點A(4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則AB_.(1)相交(2)6(1)法一：圓心(0,1)到直線l的距離d<1<.故直線l與圓相交法二：直線l：mxy1m0過定點(1,1)，點(1,1)在圓C：x2(y1)25的內(nèi)部，直線l與圓C相交(2)由圓C的標準方程為(x2)2(y1)24.圓心為C(2,1)，半徑r2，由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，圓心C(2,1)在直線xay10上，2a10，a1，A(4，1)于是AB2AC2r240436，則AB6.規(guī)律方法1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關系；(2)注意靈活運用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結合，簡化運算如“切線與過切點的半徑垂直”等2與弦長有關的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構成直角三角形進行求解變式訓練1(1)(2017·山西忻州模擬)過點(3,1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為_. 【導學號：62172250】(2)(2016·全國卷)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則CD_.(1)2xy70(2)4(1)依題意知，點(3,1)在圓(x1)2y2r2上，且為切點圓心(1,0)與切點(3,1)連線的斜率為.因此切線的斜率k2.故圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.(2)由圓x2y212知圓心O(0,0)，半徑r2.圓心(0,0)到直線xy60的距離d3，AB22.過C作CEBD于E.如圖所示，則CEAB2.直線l的方程為xy60，kAB，則BPD30°，從而BDP60°.CD4.圓與圓的位置關系(1)(2016·山東高考改編)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關系是_(2)(2017·南京三模)在平面直角坐標系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點N為圓M上任意一點若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為_(1)相交(2)3(1)法一：由得兩交點為(0,0)，(a，a)圓M截直線所得線段長度為2，2.又a>0，a2.圓M的方程為x2y24y0，即x2(y2)24，圓心M(0,2)，半徑r12.又圓N：(x1)2(y1)21，圓心N(1,1)，半徑r21，MN.r1r21，r1r23,1<MN<3，兩圓相交法二：x2y22ay0(a>0)x2(ya)2a2(a>0)，M(0，a)，r1a.圓M截直線xy0所得線段的長度為2，圓心M到直線xy0的距離d，解得a2.以下同法一(2)由題意得圓N與圓M內(nèi)切或內(nèi)含，即MNON1ON2，又ONOM1，所以OM3.3a3或a0(舍)因此a的最小值為3.規(guī)律方法1.圓與圓的位置關系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關系2若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到3若兩圓相交，則兩圓心的連線垂直平分公共弦變式訓練2若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_4由題意O1與O在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過另一圓的圓心，O1AOA.又OA，O1A2，OO15.又A，B關于OO1對稱，AB為RtOAO1斜邊上高的2倍又·OA·O1AOO1·AC，得AC2.AB4.直線與圓的綜合問題(2016·江蘇高考改編)如圖46­1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4)(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程圖46­1解圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.規(guī)律方法1.(1)設出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標準方程(2)依據(jù)平行直線，設出直線l的方程，根據(jù)點到直線的距離公式及勾股定理求解2求弦長常用的方法：弦長公式；半弦長、半徑、弦心距構成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)變式訓練3在平面直角坐標系xOy中，圓C：x2y24x2ym0與直線xy20相切(1)求圓C的方程；(2)若圓C上有兩點M，N關于直線x2y0對稱，且MN2，求直線MN的方程. 【導學號：62172251】解(1)將圓C：x2y24x2ym0化為(x2)2(y1)25m.圓C：x2y24x2ym0與直線xy20相切，圓心(2,1)到直線xy20的距離d2r，圓C的方程為(x2)2(y1)24.(2)若圓C上有兩點M，N關于直線x2y0對稱，則可設直線MN的方程為2xyc0.MN2，半徑r2，圓心(2,1)到直線MN的距離為1.則1，c5±.直線MN的方程為2xy5±0.思想與方法1直線與圓的位置關系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結合，解題時要抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結合思想方法的應用2計算直線被圓截得的弦長的常用方法：(1)幾何方法：運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算(2)代數(shù)方法：弦長公式AB|xAxB|.易錯與防范1求圓的弦長問題，注意應用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“1”列方程來簡化運算2過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解課時分層訓練(四十六)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關系是_相交由題意知點在圓外，則a2b2>1，圓心到直線的距離d<1，故直線與圓相交2若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m_. 【導學號：62172252】9圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r11，因為圓C2的方程可化為(x3)2(y4)225m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2(m<25)從而C1C25.兩圓外切得C1C2r1r2，即15，解得m9.3已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是_4由x2y22x2ya0，得(x1)2(y1)22a，所以圓心坐標為(1,1)，半徑r，圓心到直線xy20的距離為，所以22()22a，解得a4.4過點P(4,2)作圓x2y24的兩條切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，則OAB外接圓的方程是_(x2)2(y1)25由題意知，O，A，B，P四點共圓，所以所求圓的圓心為線段OP的中點(2,1)又圓的半徑rOP，所以所求圓的方程為(x2)2(y1)25.5已知圓C：(x1)2y225，則過點P(2，1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是_. 【導學號：62172253】10易知最長弦為圓的直徑10.又最短弦所在直線與最長弦垂直，且PC，最短弦的長為222.故所求四邊形的面積S×10×2106已知圓C1：x2y26x70與圓C2：x2y26y270相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為_xy30圓C1的圓心C1(3,0)，圓C2的圓心C2(0,3)，直線C1C2的方程為xy30，AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為xy30.7若直線3x4y50與圓x2y2r2(r>0)相交于A，B兩點，且AOB120°(O為坐標原點)，則r_.2如圖，過點O作ODAB于點D，則OD1.AOB120°，OAOB，OBD30°，OB2OD2，即r2.8(2017·南通模擬)過點(1，2)作圓(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為_. 【導學號：62172254】y圓(x1)2y21的圓心為(1,0)，半徑為1，以2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y.9(2017·南京模擬)直線l1：yxa和l2：yxb將單位圓C：x2y21分成長度相等的四段弧，則a2b2_.2依題意，不妨設直線yxa與單位圓相交于A，B兩點，則AOB90°.如圖，此時a1，b1，滿足題意，所以a2b22.10(2017·徐州聯(lián)考)已知圓C：(x2)2y24，直線l：kxy2k0(kR)，若直線l與圓C恒有公共點，則實數(shù)k的最小值是_圓心C(2,0)，半徑r2.又圓C與直線l恒有公共點所以圓心C(2,0)到直線l的距離dr.因此2，解得k.所以實數(shù)k的最小值為.二、解答題11(2017·徐州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知圓M經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)(1)求圓M的方程；(2)若直線l：mx2y(2m1)0與圓M交于點P，Q，且·0，求實數(shù)m的值解(1)法一：設圓M的方程為x2y2DxEyF0，則解得所以圓M的方程x2y24x4y30.法二：線段AC的垂直平分線的方程為yx，線段AB的垂直平分線的方程為x2，由解得M(2,2)所以圓M的半徑rAM，所以圓M的方程為(x2)2(y2)25.(2)因為·0，所以PMQ.又由(1)得MPMQr，所以點M到直線l的距離d.由點到直線的距離公式可知，解得m±.12已知圓C：x2y24x6y120，點A(3,5)(1)求過點A的圓的切線方程；(2)O點是坐標原點，連結OA，OC，求AOC的面積S.解(1)由圓C：x2y24x6y120，得(x2)2(y3)21，圓心C(2,3)當斜率存在時，設過點A的圓的切線方程為y5k(x3)，即kxy53k0.由d1，得k.又斜率不存在時直線x3也與圓相切，故所求切線方程為x3或3x4y110.(2)直線OA的方程為yx，即5x3y0，又點C到OA的距離d.又OA.所以SOAd.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1(2017·南通調(diào)研一)在平面直角坐標系xOy中，點A(1,0)，B(4,0)若直線xym0上存在點P，使得PAPB，則實數(shù)m的取值范圍是_2，2法一：設滿足條件PB2PA的P點坐標為(x，y)，則(x4)2y24(x1)24y2，化簡得x2y24.要使直線xym0有交點，則2.即2m2.法二：設直線xym0有一點(x，xm)滿足PB2PA，則(x4)2(xm)24(x1)24(xm)2.整理得2x22mxm240(*)方程(*)有解，則4m28(m24)0，解之得：2m2.2(2017·泰州模擬)已知圓C1：x2y24ax4a240和圓C2：x2y22byb210只有一條公切線，若a，bR且ab0，則的最小值為_9圓C1的標準方程為(x2a)2y24，其圓心為(2a,0)，半徑為2；圓C2的標準方程為x2(yb)21，其圓心為(0，b)，半徑為1.因為圓C1和圓C2只有一條公切線，所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以21，得4a2b21，所以(4a2b2)5529，當且僅當，且4a2b21，即a2，b2時等號成立所以的最小值為9.3如圖46­2，已知以點A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.圖46­2(1)求圓A的方程；(2)當MN2時， 求直線l的方程解(1)設圓A的半徑為R.由于圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x2)即kxy2k0.連結AQ，則AQMNMN2，AQ1，則由AQ1，得k，直線l：3x4y60.故直線l的方程為x2或3x4y60.4(2013·江蘇高考)如圖46­3，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設圓C的半徑為1，圓心在l上圖46­3(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍解(1)由題設，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在設過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3.由題意，得1，解得k0或k，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設點M(x，y)，因為MA2MO，所以2，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即13.整理，得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標a的取值范圍為.