線(xiàn)性代數(shù)第五、六章 特征值與特征向量

第五章第五章 特征值與特征向量特征值與特征向量5.1 5.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2.2.求特征值和特征向量的方法求特征值和特征向量的方法3.3.性質(zhì)性質(zhì) (是階方陣）是階方陣）5.2 5.2 相似矩陣相似矩陣一一.相似矩陣定義相似矩陣定義二二.相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì)三三.相似對(duì)角化問(wèn)題（方陣何時(shí)與對(duì)角陣相似）相似對(duì)角化問(wèn)題（方陣何時(shí)與對(duì)角陣相似）5.3 5.3 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的對(duì)角化如果特征值是單根如果特征值是單根如果特征值是單根如果特征值是單根,對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量只有對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量只有對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量只有對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)，將它單位化一個(gè)，將它單位化一個(gè)，將它單位化一個(gè)，將它單位化;如果特征值是二（多）重根，對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征如果特征值是二（多）重根，對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征如果特征值是二（多）重根，對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征如果特征值是二（多）重根，對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量有二（多）個(gè)，則先用施密特正交化方法，將其向量有二（多）個(gè)，則先用施密特正交化方法，將其向量有二（多）個(gè)，則先用施密特正交化方法，將其向量有二（多）個(gè)，則先用施密特正交化方法，將其正交化，然后單位化。正交化，然后單位化。正交化，然后單位化。正交化，然后單位化。求正交陣求正交陣求正交陣求正交陣P P P P的方法與步驟（一定要掌握）的方法與步驟（一定要掌握）的方法與步驟（一定要掌握）的方法與步驟（一定要掌握）求出求出求出求出A A的特征值與特征值對(duì)應(yīng)的特征值與特征值對(duì)應(yīng)的特征值與特征值對(duì)應(yīng)的特征值與特征值對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。的特征向量。的特征向量。的特征向量。將這些正交單位向量構(gòu)成正交陣將這些正交單位向量構(gòu)成正交陣將這些正交單位向量構(gòu)成正交陣將這些正交單位向量構(gòu)成正交陣P P P P（注意對(duì)角陣的注意對(duì)角陣的注意對(duì)角陣的注意對(duì)角陣的主對(duì)角線(xiàn)上元素（即主對(duì)角線(xiàn)上元素（即主對(duì)角線(xiàn)上元素（即主對(duì)角線(xiàn)上元素（即A A A A的特征值）的排列次序與正交的特征值）的排列次序與正交的特征值）的排列次序與正交的特征值）的排列次序與正交陣的列向量的排列次序?qū)?yīng)陣的列向量的排列次序?qū)?yīng)陣的列向量的排列次序?qū)?yīng)陣的列向量的排列次序?qū)?yīng)）。）。）。）。注意：正交陣注意：正交陣注意：正交陣注意：正交陣P P P P不唯一。不唯一。不唯一。不唯一。第六章第六章 二次型二次型6.1 6.1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示.6.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形2.2.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法（1 1）正交變換法）正交變換法求求求求A A A A的特征值與特征值對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，的特征值與特征值對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，的特征值與特征值對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，的特征值與特征值對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)正交正交正交正交單位單位單位單位化，求出正交矩陣化，求出正交矩陣化，求出正交矩陣化，求出正交矩陣P P。(參見(jiàn)上一節(jié)參見(jiàn)上一節(jié)參見(jiàn)上一節(jié)參見(jiàn)上一節(jié))寫(xiě)出二次型的矩陣寫(xiě)出二次型的矩陣寫(xiě)出二次型的矩陣寫(xiě)出二次型的矩陣A A（A A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣）；為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣）；為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣）；為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣）；（2 2）配方法）配方法（了解）（了解）慣性定理慣性定理6.3 6.3 正定二次型正定二次型定義定義