積分微分點積差積

會計學1積分微分點積差積積分微分點積差積高等數(shù)學補充知識第1頁/共23頁一、微積分基礎知識一、微積分基礎知識 1.1.函數(shù)，導數(shù)與微分函數(shù)，導數(shù)與微分 函數(shù)：自變量，因變量，定義域，對應法則，值域等；函數(shù)的一些基本性質(zhì)（如連續(xù)性，對稱性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函數(shù)等。函數(shù)：自變量，因變量，定義域，對應法則，值域等；函數(shù)的一些基本性質(zhì)（如連續(xù)性，對稱性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函數(shù)等。導數(shù)：設函數(shù)導數(shù)：設函數(shù)y=f(x)y=f(x)當自變量在點當自變量在點x x處有一增量處有一增量x x時，函數(shù)時，函數(shù)y y相應的有一改變量相應的有一改變量y=f(x+y=f(x+x)-f(x)x)-f(x)，那么當那么當x x趨于零時，若比值趨于零時，若比值y/y/x x的極限存在（為一確定的有限值），則這個極限為函數(shù)的極限存在（為一確定的有限值），則這個極限為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點在點x x處導數(shù)，記作：處導數(shù)，記作：這時稱函數(shù)這時稱函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點在點x x處是可導的。處是可導的。第2頁/共23頁函數(shù)函數(shù) y=f(x)y=f(x)在在 x x 處的導數(shù)處的導數(shù) f(x)f(x)等于等于曲線曲線 y=f(x)y=f(x)在點在點x x處的切線的斜率，即：處的切線的斜率，即：導數(shù)的幾何意義：導數(shù)的幾何意義：在物理上，動點的位置矢量對時間的一階導數(shù)就是該動點的速度矢量；位置矢量對時間的二階導數(shù)（也是：速度矢量對時間的一階導數(shù)）是動點的加速度矢量，詳見運動學部分在物理上，動點的位置矢量對時間的一階導數(shù)就是該動點的速度矢量；位置矢量對時間的二階導數(shù)（也是：速度矢量對時間的一階導數(shù)）是動點的加速度矢量，詳見運動學部分速度矢量與加速度矢量。速度矢量與加速度矢量。第3頁/共23頁注意：以下是易混淆的兩個表示：注意：以下是易混淆的兩個表示：和和前者：只要是在上面加一點的，都是對時間的一階導數(shù)，即：前者：只要是在上面加一點的，都是對時間的一階導數(shù)，即：，當然加兩點，則是對時間的二階導數(shù)，即：，當然加兩點，則是對時間的二階導數(shù)，即：后者：永遠是函數(shù)對自變量的導數(shù)。如對于函數(shù)后者：永遠是函數(shù)對自變量的導數(shù)。如對于函數(shù)y=y(x)y=y(x)，則，則第4頁/共23頁若自變量有多個，則應該用偏導，若自變量有多個，則應該用偏導，是函數(shù)是函數(shù)y=y(x,t)y=y(x,t)(同時又有同時又有x=x(t)x=x(t)對時間的偏導。（注意：對時間的偏導。（注意：，對于多元函數(shù)，一般，對于多元函數(shù)，一般）。）。第5頁/共23頁基本求導公式：基本求導公式：(1)(C)0，(2)(xm)mxm1，(3)(sinx)cosx，(4)(cosx)sinx，(5)(tanx)sec2x，(6)(cotx)csc2x，(7)(secx)secxtanx，(8)(cscx)cscxcotx，(9)(ax)axlna，(10)(ex)ex，第6頁/共23頁函數(shù)的和、差、積、商的求導法則：(1)(uv)=u v，(2)(Cu)=Cu(C是常數(shù))，(3)(uv)=uv+uv，復合函數(shù)的求導法則：反函數(shù)求導法：求導法則第7頁/共23頁復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則：解：函數(shù)y=lntanx是由y=lnu，u=tanx復合而成，例1y=lntan x，求dxdy。第8頁/共23頁例2y=3xe，求dxdy。第9頁/共23頁 例3212sinxxy，求dxdy。第10頁/共23頁函數(shù)函數(shù)y=y(x)y=y(x)的微分存在的充分必要條件是：函數(shù)存在有限的導數(shù)的微分存在的充分必要條件是：函數(shù)存在有限的導數(shù) y=f(x)y=f(x)，這時函數(shù)的微分是：，這時函數(shù)的微分是：微分微分：若函數(shù)：若函數(shù) y=y(x)y=y(x)的改變量可表示為：的改變量可表示為：式中式中dx=dx=x x，則此改變量的線性主部，則此改變量的線性主部A(x)dxA(x)dx稱為函數(shù)稱為函數(shù)y y的微分，記作：的微分，記作：第11頁/共23頁2.2.不定積分不定積分 不定積分：對函數(shù)不定積分：對函數(shù) y=y(x)y=y(x)，如果在給定區(qū)間，如果在給定區(qū)間a,ba,b上有上有則其逆運算就是求則其逆運算就是求 G(x)G(x)的不定積分（即：求的不定積分（即：求 G(x)G(x)的原函數(shù)）：的原函數(shù)）：上式中可以看出：上式中可以看出：G(x)G(x)（被積函數(shù)）的原函數(shù)為（被積函數(shù)）的原函數(shù)為 y(x)+Cy(x)+C，不止一個。其中，不止一個。其中，CC 為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。第12頁/共23頁3.3.定積分定積分 由上面的不定積分由上面的不定積分,再加上一定的初始條件，被積函數(shù)的原函數(shù)就是唯一確定的。再加上一定的初始條件，被積函數(shù)的原函數(shù)就是唯一確定的。幾何意義：幾何意義：由由 y=f(x)y=f(x)的函數(shù)曲線，初始條件表示的直線，的函數(shù)曲線，初始條件表示的直線，x x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。牛頓牛頓萊布尼茲公式（萊布尼茲公式（Newton-LeibnizformulaNewton-Leibnizformula）：）：若函數(shù)若函數(shù) y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b上連續(xù)，或分段連續(xù)，則上連續(xù)，或分段連續(xù)，則 y=f(x)y=f(x)在在 a,ba,b上有原函數(shù)，設上有原函數(shù)，設 F(x)F(x)是是 f(x)f(x)在在 a,ba,b上的一個原函數(shù)，則上的一個原函數(shù)，則(定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系)第13頁/共23頁基本積分表基本積分表kxC(k是常數(shù))，arctanxC，arcsinxC，ln|x|C，sinxC，cosxC，第14頁/共23頁基本積分表基本積分表第15頁/共23頁不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1 函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積分的和，即分的和，即 性質(zhì)性質(zhì)2 2 求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即因子可以提到積分號外面來，即第16頁/共23頁例例4 4例例5 5第17頁/共23頁arctanxln|x|C例例6 6例例7 7例例8 8定積分定積分第18頁/共23頁三、矢量分析基礎三、矢量分析基礎(由于物理學研究的需要而產(chǎn)生了矢量由于物理學研究的需要而產(chǎn)生了矢量)1.1.矢量的定義：矢量的定義：具有一定的大小和方向，且加法遵從平行四邊形法則的量。具有一定的大小和方向，且加法遵從平行四邊形法則的量。矢量表示：矢量表示：2.2.矢量的加法、減法：矢量的加法、減法：矢量的加法應滿足平行四邊形法則，矢量的加法應滿足平行四邊形法則，而減法是加法的逆運算，可用三角形法則；如圖所示。而減法是加法的逆運算，可用三角形法則；如圖所示。一般計算矢量的加法、減法時，對各分量分別相加減：一般計算矢量的加法、減法時，對各分量分別相加減：第19頁/共23頁3.3.矢量的數(shù)乘矢量的數(shù)乘 以實數(shù)以實數(shù) 乘以矢量乘以矢量 稱為矢量的數(shù)乘，記作稱為矢量的數(shù)乘，記作 ，顯然有：，顯然有：實數(shù)實數(shù) 只是一個系數(shù)，矢量的數(shù)乘可以看作是把原矢量的模伸縮為原來的只是一個系數(shù)，矢量的數(shù)乘可以看作是把原矢量的模伸縮為原來的 倍。倍。的方向為：的方向為：時，與方向不變；時，與方向不變；時，與方向相反。時，與方向相反。4.4.矢量的正交分解矢量的正交分解 把矢量分解成沿著幾個正交單位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四邊形法則，又可合成原矢量。把矢量分解成沿著幾個正交單位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四邊形法則，又可合成原矢量。第20頁/共23頁5.5.矢量的標積和矢積矢量的標積和矢積 已知兩矢量已知兩矢量 和和，夾角記作：，夾角記作：，則：，則：（1 1）矢量的）矢量的標積標積（又稱：數(shù)量積、點乘、點積、內(nèi)積）：（又稱：數(shù)量積、點乘、點積、內(nèi)積）：（結(jié)果為標量（結(jié)果為標量）（2 2）矢量的）矢量的矢積矢積（又稱：叉乘、叉積、外積）：（又稱：叉乘、叉積、外積）：矢積矢積 的結(jié)果為矢量；大小為以的結(jié)果為矢量；大小為以A A、B B為邊的平行四邊形的面積：為邊的平行四邊形的面積：第21頁/共23頁6.6.矢量對矢量對 t t 的導數(shù)的導數(shù) 對矢量函數(shù)（簡稱對矢量函數(shù)（簡稱矢函數(shù)矢函數(shù)），如果極限：，如果極限：存在，就稱它為矢函數(shù)存在，就稱它為矢函數(shù) 的導數(shù)，記作的導數(shù)，記作 ，矢函數(shù)，矢函數(shù)的導數(shù)仍為矢函數(shù)，從而還可像標量函數(shù)一樣求其二階導數(shù)、高階導數(shù)。的導數(shù)仍為矢函數(shù)，從而還可像標量函數(shù)一樣求其二階導數(shù)、高階導數(shù)。對矢量函數(shù)求導數(shù)，一般是對它的各個分量分別求導，這時矢量導數(shù)就變成了標量函數(shù)的求導，但是如果坐標也在變，也必須對單位矢量求導，如自然坐標系中的切向單位矢量和法向單位矢量。對矢量函數(shù)求導數(shù)，一般是對它的各個分量分別求導，這時矢量導數(shù)就變成了標量函數(shù)的求導，但是如果坐標也在變，也必須對單位矢量求導，如自然坐標系中的切向單位矢量和法向單位矢量。第22頁/共23頁