(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)9 三角函數(shù)與解三角形(含解析)(理)-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)9 三角函數(shù)與解三角形(含解析)(理)-人教版高三數(shù)學(xué)試題
專題限時(shí)集訓(xùn)(九)三角函數(shù)與解三角形1(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求A;(2)若ab2c,求sin C解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因?yàn)?°A180°,所以A60°.(2)由(1)知B120°C,由題設(shè)及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C,即cos Csin C2sin C,可得cos(C60°).由于0°C120°,所以sin(C60°),故sin Csin(C60°60°)sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°.2(2018·全國卷)在平面四邊形ABCD中,ADC90°,A45°,AB2,BD5.(1)求cosADB;(2)若DC2,求BC解(1)在ABD中,由正弦定理得,即,所以sinADB.由題設(shè)知,ADB90°,所以cosADB.(2)由題設(shè)及(1)知,cosBDCsinADB.在BCD中,由余弦定理得BC2BD2DC22·BD·DC·cosBDC2582×5×2×25.所以BC5.3(2017·全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C1,a3,求ABC的周長解(1)由題設(shè)得acsin B,即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C,即cos(BC).所以BC,故A.由題意得bcsin A,a3,所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9,即(bc)23bc9.由bc8,得bc.故ABC的周長為3.4(2020·全國卷)ABC中,sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C(1)求A;(2)若BC3,求ABC周長的最大值解(1)由正弦定理和已知條件得BC2AC2AB2AC·AB由余弦定理得BC2AC2AB22AC·ABcos A由得cos A.因?yàn)?<A<,所以A.(2)由正弦定理及(1)得2,從而AC2sin B,AB2sin(AB)3cos Bsin B故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0<B<,所以當(dāng)B時(shí),ABC周長取得最大值32.1(2020·安慶二模)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.(1)求角B的大??;(2)若ABC的周長等于15,面積等于,求a,b,c的值解(1)由,根據(jù)正弦定理得b2c2a2aca2c2b2ac,根據(jù)余弦定理得cos B,由0<B<,所以B.(2)由SABCacsin Bac,得ac15.又abc15,由(1)知b2a2c2ac(ac)215(15b)215,所以b7,所以ac8.解得a3,c5,或者a5,c3.所以a3,b7,c5,或者a5,b7,c3.2(2020·昆明模擬)在ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),ADAC,AB,BD,AD2.(1)求ADB;(2)求ABC的面積解(1)因?yàn)锳B,BD,AD2,所以在ABD中,由余弦定理可得:cosADB,又因?yàn)锳DB(0,),所以ADB.(2)因?yàn)锳DBADC,所以ADC.因?yàn)锳DAC,所以ADC為等腰直角三角形,可得AC2,所以SABCSABDSADC××2××2×23.3(2020·寶雞二模)已知函數(shù)f(x)2sin2x2sin xcos x1,xR.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f1且A為銳角,a3,sin C2sin B,求ABC的面積解(1)由于函數(shù)f(x)2sin2 x2sin xcosx 11cos 2xsin 2x12sin,令2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.(2)f1且A為銳角,可得2sin1,解得sin,由A,可得A,可得A.sin C2sin B, 由正弦定理可得c2b,又a3,由余弦定理a2b2c22bccos A,可得9b2c2bcb24b22b23b2,b,c2,SABCbcsin A××2×.4(2020·南開區(qū)模擬)在ABC中,a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若ABC的面積為,ab1,acos Ccsin A0.(1)求c及cos A;(2)求cos(2AC)的值解(1)在ABC中,acos Ccsin A0,sin Acos Csin Csin A0,sin A0, cos Csin C0,即tan C,C(0,), C,SABCab,解得ab6,又ab1,解得a3,b2,又由余弦定理可得c2a2b22abcos C7,解得c,cos A.(2)由(1)可得sin A,sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2 A1,cos(2AC)cos 2Acos Csin 2Asin C××.1ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)bsin Aa(2cos B)(1)求B;(2)若ABC的面積等于,求ABC的周長的最小值解(1)因?yàn)閎sin Aa(2cos B),由正弦定理得sin Bsin Asin A(2cos B)顯然sin A>0,所以sin Bcos B2.所以2sin2,B(0,)所以B,所以B.(2)依題意得,所以ac4.所以ac24,當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)取等號(hào)又由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac3ac12.b2,當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)取等號(hào)所以ABC的周長最小值為42.2結(jié)構(gòu)不良試題已知銳角ABC,同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):A;a13;c15;sin C.(1)請(qǐng)指出這三個(gè)條件,并說明理由;(2)求ABC的面積解(1)ABC同時(shí)滿足.理由:若ABC同時(shí)滿足,因?yàn)槭卿J角三角形,所以sin C<sin ,C<,結(jié)合A,B>.與題設(shè)矛盾故ABC同時(shí)滿足不成立所以ABC同時(shí)滿足.因?yàn)閏>a,所以C>A若滿足,則A<C<,B>,與題設(shè)矛盾,故此時(shí)不滿足.ABC同時(shí)滿足.(2)因?yàn)閍2b2c22bccosA,所以132b21522×b×15×.解得b8或7.當(dāng)b7時(shí),cos C<0,C為鈍角,與題設(shè)矛盾所以b8,SABCbcsin A30.3.如圖,在ABC中,C,ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,且tanCBD.(1)求sin A;(2)若·28,求AB的長解(1)設(shè)CBD,因?yàn)閠an ,又,故sin ,cos .則sinABCsin 22sin cos 2××,cosABCcos 22cos212×1,故sin Asinsin(sin 2cos 2)×.(2)由正弦定理,即,所以BCAC又·|28,所以|28,所以AC4,又由,得,所以AB5.4已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)若a2,b2,求c的大??;(2)若b2,且C是鈍角,求ABC面積的取值范圍解(1)在ABC中,由正弦定理,得sin Asin Bsin Bcos A0<B<,sin B0,sin Acos A,tan A.又0<A<,A.在ABC中,由余弦定理,得a2b2c22bccos A,即204c24c·,解得c1(舍去),c1.c1.(2)由(1)知A,SABCbcsin Ac.由正弦定理,得,c1.A,C為鈍角,0<B<,0<tan B<,c>4,SABC2.即ABC面積的取值范圍是(2,)