(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)14 圓錐曲線中的證明、定點(diǎn)及定值問(wèn)題 文(含解析)-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題
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(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)14 圓錐曲線中的證明、定點(diǎn)及定值問(wèn)題 文(含解析)-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題
課時(shí)作業(yè)14圓錐曲線中的證明、定點(diǎn)及定值問(wèn)題A·基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1設(shè)橢圓E:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)若橢圓E的離心率為,ABF2的周長(zhǎng)為4.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點(diǎn)C,D,設(shè)弦AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,證明:O,M,N三點(diǎn)共線2已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,A為橢圓C上一點(diǎn),AF2F1F2,且|AF2|.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)A1,A2分別作x軸的垂線l1,l2,橢圓C的一條切線l:ykxm與l1,l2分別交于M,N兩點(diǎn),求證:MF1N為定值B·素養(yǎng)提升1已知橢圓C:1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為M,上頂點(diǎn)為N,直線2xy60與直線MN垂直,垂足為點(diǎn)B,且點(diǎn)N是線段MB的中點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l:ykxm與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)G在橢圓C上,且四邊形OEGF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為平行四邊形,求證:四邊形OEGF的面積S為定值22020·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試已知橢圓C1:1(a>b>0)的右頂點(diǎn)與拋物線C2:y22px(p>0)的焦點(diǎn)重合,橢圓C1的離心率為,過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長(zhǎng)度為4.(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程(2)過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E.當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線EN是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論課時(shí)作業(yè)14圓錐曲線中的證明、定點(diǎn)及定值問(wèn)題A·基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1解析:(1)由題意知,4a4,a.又e,c,b,橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB,CD的斜率不存在時(shí),由橢圓的對(duì)稱性知,中點(diǎn)M,N在x軸上O,M,N三點(diǎn)共線;當(dāng)直線AB,CD的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,且設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則,兩式相減,得0,·,·,即k·kOM.kOM.同理可得kON,kOMkON,O,M,N三點(diǎn)共線2解析:(1)由AF2F1F2,|AF2|,得.又e,a2b2c2,所以a29,b28.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意可知,l1的方程為x3,l2的方程為x3.直線l分別與直線l1,l2的方程聯(lián)立得M(3,3km),N(3,3km),所以(2,3km),(4,3km),所以·8m29k2.聯(lián)立,得(9k28)x218kmx9m2720,因?yàn)橹本€l與橢圓C相切,所以(18km)24(9k28)·(9m272)0,化簡(jiǎn)得m29k28.所以·8m29k20,所以,故MF1N為定值.B·素養(yǎng)提升1解析:(1)由題意知M(a,0),N(0,b),直線MN的斜率k,所以a2b.因?yàn)辄c(diǎn)N是線段MB的中點(diǎn),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,2b)又點(diǎn)B在直線2xy60上,所以2a2b6,聯(lián)立,解得a2,b.所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),由消去y并整理,得(14k2)x28kmx4m2120.易知>0,則x1x2,x1x2,y1y2k(x1x2)2m.因?yàn)樗倪呅蜲EGF為平行四邊形,所以(x1x2,y1y2),可得G.將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入橢圓C的方程,得m2(14k2)又點(diǎn)O到直線EF的距離d,|EF|x1x2|,所以平行四邊形OEGF的面積Sd×|EF|m|x1x2|m|×4×4×3.于是四邊形OEGF的面積S為定值,且定值為3.2解析:(1)設(shè)橢圓C1的半焦距為c.依題意,可得a,則C2:y24ax,代入xc,得y24ac,即y±2,所以44,則有,所以a2,b,所以橢圓C1的方程為1,拋物線C2的方程為y28x.(2)依題意,當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為xty4.由,得(3t24)y224ty360.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則E(x1,y1)由>0,得t<2或t>2,且y1y2,y1y2.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,若直線EN過(guò)定點(diǎn),此定點(diǎn)必在x軸上,設(shè)此定點(diǎn)為Q(m,0)因?yàn)閗NQkEQ,所以,(x1m)y2(x2m)y10,即(ty14m)y2(ty24m)y10,2ty1y2(m4)(y1y2)0,即2t·(m4)·0,得(3m4)t(m1)t0,由t是大于2或小于2的任意實(shí)數(shù)知m1,所以直線EN過(guò)定點(diǎn)Q(1,0)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),直線EN的方程為y0,也經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(1,0),所以當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線EN恒過(guò)一定點(diǎn)Q(1,0)