（課標(biāo)通用版）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 基礎(chǔ)題組練1.如圖，在RtABC中，ABC90°，P為ABC所在平面外一點，PA平面ABC，則四面體PABC中共有直角三角形的個數(shù)為()A4B3C2D1解析：選A.由PA平面ABC可得PAC，PAB是直角三角形，且PABC.又ABC90°，所以ABC是直角三角形，且BC平面PAB，所以BCPB，即PBC為直角三角形，故四面體PABC中共有4個直角三角形2下列命題中不正確的是()A如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面B如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l解析：選A.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知A不正確，直線l可能平行于平面，也可能在平面內(nèi)或與平面相交3在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB1，點D在棱BB1上，且BD1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為()A.B.C.D.解析：選B.如圖，取AC，A1C1的中點分別為M，M1，連接MM1，BM，過點D作DNBM交MM1于點N，則易證DN平面AA1C1C，連接AN，則DAN為AD與平面AA1C1C所成的角在直角三角形DNA中，sin DAN.4.如圖，在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析：選D.因為BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故選項A正確在正四面體中，AEBC，PEBC，DFBC，所以BC平面PAE，則DF平面PAE，從而平面PDF平面PAE.因此選項B，C均正確5若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面夾角的余弦值為_解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意rl3r2，即l3r，母線與底面夾角為，則cos .答案：6.如圖，已知BAC90°，PC平面ABC，則在ABC，PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有_；與AP垂直的直線有_解析：因為PC平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.因為ABAC，ABPC，ACPCC，所以AB平面PAC，又因為AP平面PAC，所以ABAP，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB7如圖，在四棱錐E­ABCD中，平面EAB平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EAEB，點M，N分別是AE，CD的中點求證：(1)直線MN平面EBC；(2)直線EA平面EBC.證明：(1)取BE的中點F，連接CF，MF.因為M是AE的中點，所以MF綊AB.因為N是矩形ABCD中邊CD的中點，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MNCF.又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN平面EBC.(2)因為平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，又因為在矩形ABCD中，BCAB，所以BC平面EAB.又因為EA平面EAB，所以BCEA.因為EAEB，BCEBB，EB平面EBC，BC平面EBC，所以EA平面EBC.8.如圖，四棱錐P­ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，點M，N分別在棱PD，PC上，且PC平面AMN.(1)求證：AMPD；(2)求直線CD與平面AMN所成角的正弦值解：(1)證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以CDAD.又因為PA底面ABCD，所以PACD，故CD平面PAD.又AM平面PAD，則CDAM，而PC平面AMN，有PCAM，又PCCDC，則AM平面PCD，故AMPD.(2)延長NM，CD交于點E，因為PC平面AMN，所以NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影，故CEN為CD(即CE)與平面AMN所成的角，又因為CDPD，ENPN，則有CENMPN，在RtPMN中，sin MPN，故CD與平面AMN所成角的正弦值為.綜合題組練1(應(yīng)用型)正方形ABCD與等邊三角形BCE有公共邊BC，若ABE120°，則CE與平面ABCD所成角的大小為()A.B.C.D.解析：選C.作EG底面ABCD于點G，作GHDC于點H，設(shè)所求的角為，連接EH，CG，則ECG，則CDEH.又得ECD120°，設(shè)AB2a，則EHa，GHa，所以EGa，sin ，所以.故選C.2(2018·高考全國卷)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_解析：由題意畫出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高設(shè)圓錐的母線長為l，則由SASB，SAB的面積為8，得l28，得l4.在RtASO 中，由題意知SAO30°，所以SOl2，AOl2.故該圓錐的體積V×AO2×SO×(2)2×28.答案：83(2019·廣州市調(diào)研測試)如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.(1)證明：平面PAC平面PCE；(2)若ABC60°，求三棱錐P­ACE的體積解：(1)如圖，連接BD，交AC于點O，設(shè)PC的中點為F，連接OF，EF.易知O為AC的中點，所以O(shè)FPA，且OFPA，因為DEPA，且DEPA，所以O(shè)FDE，且OFDE，所以四邊形OFED為平行四邊形，所以O(shè)DEF，即BDEF.因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因為四邊形ABCD是菱形，所以BDAC.因為PAACA，所以BD平面PAC.因為BDEF，所以EF平面PAC.因為EF平面PCE，所以平面PAC平面PCE.(2)法一：因為ABC60°，所以ABC是等邊三角形，所以AC2.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.所以SPACPA·AC2.因為EF平面PAC，所以EF是三棱錐E­PAC的高易知EFDOBO，所以三棱錐P­ACE的體積VP­ACEVE­PACSPAC×EF×2×.法二：因為底面ABCD為菱形，且ABC60°，所以ACD為等邊三角形取AD的中點M，連接CM，則CMAD，且CM.因為PA平面ABCD，所以PACM，又PAADA，所以CM平面PADE，所以CM是三棱錐C­PAE的高易知SPAE2，所以三棱錐P­ACE的體積VP­ACEVC­PAESPAE×CM×2×.4(綜合型)如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，M為棱AC的中點ABBC，AC2，AA1.(1)求證：B1C平面A1BM；(2)求證：AC1平面A1BM.證明：(1)連接AB1與A1B，兩線交于點O，連接OM.在B1AC中，因為M，O分別為AC，AB1的中點，所以O(shè)MB1C，又因為OM平面A1BM，B1C平面A1BM，所以B1C平面A1BM.(2)因為側(cè)棱AA1底面ABC，BM平面ABC，所以AA1BM，又因為M為棱AC的中點，ABBC，所以BMAC.因為AA1ACA，AA1，AC平面ACC1A1，所以BM平面ACC1A1，所以BMAC1.因為AC2，所以AM1.又因為AA1，所以在RtACC1和RtA1AM中，tan AC1Ctan A1MA，所以AC1CA1MA，即AC1CC1ACA1MAC1AC90°，所以A1MAC1.因為BMA1MM，BM，A1M平面A1BM，所以AC1平面A1BM.