（課標(biāo)通用版）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第7講 拋物線 基礎(chǔ)題組練1拋物線yax2(a<0)的準(zhǔn)線方程是()AyByCy Dy解析：選B.拋物線yax2(a<0)可化為x2y，準(zhǔn)線方程為y.故選B.2已知點(diǎn)M是拋物線C：y22px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，MF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2，2)，則p的值為()A1 B2C3 D4解析：選D.由題意得F，那么M在拋物線上，即162p，即p28p160，解得p4.3(2019·四川成都檢測)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，)若線段FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，則|MF|()A. B.C. D.解析：選A.由題意，F(xiàn)(1，0)，|AF|2，設(shè)|MF|d，則M到準(zhǔn)線的距離為d，M的橫坐標(biāo)為d1，由三角形相似，可得，所以d，故選A.4直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x解析：選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線定義，x1x2p8，因?yàn)锳B的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，所以2，所以p4；所以拋物線方程為y28x.故選B.5拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_解析：在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，p，所以B.又因?yàn)辄c(diǎn)B在雙曲線上，故1，解得p6.答案：66(2019·云南大理州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)M(1，2)，若線段OM的垂直平分線過拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_解析：依題意可得線段OM的垂直平分線的方程為2x4y50，把焦點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得p，所以準(zhǔn)線方程為y.答案：y7頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y2x4所得的弦長|AB|3，求此拋物線方程解：設(shè)所求的拋物線方程為y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線y2x4代入y2ax，得4x2(a16)x160，由(a16)2256>0，得a>0或a<32.又x1x2，x1x24，所以|AB| 3，所以545，所以a4或a36.故所求的拋物線方程為y24x或y236x.8已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)解：(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，于是45，所以p2.所以拋物線方程為y24x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA，因?yàn)镸NFA，所以kMN.所以FA的方程為y(x1)，MN的方程為y2x，聯(lián)立，解得x，y，所以N的坐標(biāo)為.綜合題組練1已知拋物線x24y上一動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到直線l：xy40的距離為d2，則d1d2的最小值是()A.2 B.1C.2 D.1解析：選D.拋物線x24y的焦點(diǎn)F(0，1)，由拋物線的定義可得d1|PF|1，則d1d2|PF|d21，而|PF|d2的最小值等于焦點(diǎn)F到直線l的距離，即(|PF|d2)min，所以d1d2的最小值是1.2(綜合型)(2019·湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)過拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，若|NF|4，則M到直線NF的距離為()A. B2C3 D2解析：選B.法一：因?yàn)橹本€MF的斜率為，MNl，所以NMF60°，又|MF|MN|，且|NF|4，所以NMF是邊長為4的等邊三角形，所以M到直線NF的距離為2.故選B.法二：由題意可得直線MF的方程為xy，與拋物線方程聯(lián)立消去x可得y2pyp20，解得yp或yp，又點(diǎn)M在x軸上方，所以M，因?yàn)镸Nl，所以N，所以|NF|2p.由題意2p4，解得p2，所以N(1，2)，F(xiàn)(1，0)，直線NF的方程為xy0，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得M到直線NF的距離為2.故選B.法三：由題意可得直線MF的方程為xy，與拋物線方程聯(lián)立消去x可得y2pyp20，解得yp或yp，又點(diǎn)M在x軸上方，所以M，因?yàn)镸Nl，所以N，所以|NF|2p.由題意2p4，解得p2，所以N(1，2)，F(xiàn)(1，0)，M(3，2)，設(shè)M到直線NF的距離為d，在MNF中，SMNF|NF|×d|MN|×yM，所以d×4×22，故選B.3(應(yīng)用型)如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬4 m水位下降1 m后，水面寬_m.解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，則A(2，2)，將其坐標(biāo)代入x22py，得p1.所以x22y.當(dāng)水面下降1 m，得D(x0，3)(x0>0)，將其坐標(biāo)代入x22y，得x6，所以x0.所以水面寬|CD|2 m.答案：24已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y4與C的交點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為Q，且|PF|PQ|，則拋物線C的方程為_解析：設(shè)P(x0，4)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y22px(p>0)，得x0，所以|PQ|，|PF|.由題意得×.又p>0，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.答案：y24x5(2018·高考全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.6(綜合型)如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1y2的值及直線AB的斜率解：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y22px(p>0)因?yàn)辄c(diǎn)P(1，2)在拋物線上，所以222p×1，解得p2.故所求拋物線的方程是y24x，準(zhǔn)線方程是x1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.則kPA(x11)，kPB(x21)，因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得所以，所以y12(y22)所以y1y24.由 得，yy4(x1x2)，所以kAB1.