（課標(biāo)通用版）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第10講 定值、定點、探索性問題檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第10講 定值、定點、探索性問題 基礎(chǔ)題組練1已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點，且BF1C60°，則該雙曲線的離心率為()A.B.C. D2解析：選C.不妨設(shè)點B在x軸的上方，則點B的坐標(biāo)為，由于BF1C60°，則tan 30°，得e22e0，即(e1)(e)0，得e.故選C.2橢圓1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，弦AB過點F1.若ABF2的內(nèi)切圓周長為，A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則|y1y2|的值為()A. B.C. D.解析：選D.由題意知，c3，所以橢圓的焦點為F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)設(shè)ABF2的內(nèi)切圓半徑為r.因為ABF2的內(nèi)切圓周長為，所以r.根據(jù)橢圓的定義，有|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a20，所以SABF2(|AB|AF2|BF2|)×r×4a×r5×2c×|y1y2|3|y1y2|，所以|y1y2|.故選D.3(2019·安徽合肥模擬)已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，過橢圓上一點M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，若點A，B關(guān)于原點對稱，則k1·k2的值為_解析：由e21，得.設(shè)M(x，y)，A(m，n)，則B(m，n)，k1·k2·，把y2b2，n2b2代入式并化簡，可得k1·k2.答案：4已知圓M：x2(y2)21，直線l：y1，動圓P與圓M相外切，且與直線l相切設(shè)動圓圓心P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若點A，B是E上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點，且·16，求證：直線AB恒過定點解：(1)設(shè)P(x，y)，則(y1)1x28y.所以E的方程為x28y.(2)證明：易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)將直線AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.·x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直線AB恒過定點(0，4)5(2019·黑龍江齊齊哈爾八中模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，過右焦點且垂直于x軸的直線l1與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|，直線l2：yk(xm)與橢圓C交于M，N兩點(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點Q，若·是一個與k無關(guān)的常數(shù)，求實數(shù)m的值解：(1)聯(lián)立方程，得解得y±，故.又e，a2b2c2，所以a，b1，c1，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程，得消元得(12k2)x24mk2x2k2m220，所以16m2k44(12k2)(2k2m22)8(2k2m2k21)，x1x2，x1x2，·y1y2x1x2(x1x2)k2(x1m)(x2m)(1k2)x1x2(x1x2)k2m2，又·是一個與k無關(guān)的常數(shù)，所以3m25m24，即3m25m20，解得m11，m2，因為m>，所以m1.當(dāng)m1時，>0，直線l2與橢圓C交于兩點，滿足題意綜合題組練1(2019·湖北省五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：y21，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m，n，m·n0.(1)求證：k1·k2；(2)試探求OPQ的面積S是否為定值，并說明理由解：(1)證明：因為k1，k2存在，所以x1x20，因為m·n0，所以y1y20，所以k1·k2.(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2時，由，得y0，又由P(x1，y1)在橢圓上，得y1，所以|x1|，|y1|，所以SPOQ|x1|·|y1y2|1.當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)>0，所以x1x2，x1x2.因為y1y20，所以(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，滿足>0.所以SPOQ·|PQ|b|2|b|·1.所以POQ的面積S為定值2(綜合型)(2019·西安市八校聯(lián)考)已知直線l：xmy1過橢圓C：1的右焦點F，拋物線x24y的焦點為橢圓C的上頂點，且l交橢圓C于A，B兩點，點A，F(xiàn)，B在直線x4上的射影依次為D，K，E.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點M，且1，2，當(dāng)m變化時，證明：12為定值；(3)當(dāng)m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由解：(1)因為l：xmy1過橢圓C的右焦點F，所以右焦點F(1，0)，c1，即c21.因為x24y的焦點(0，)為橢圓C的上頂點，所以b，即b23，a2b2c24，所以橢圓C的方程為1.(2)證明：由題意知m0，由得(3m24)y26my90.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2.因為1，2，M，所以1(1x1，y1)，(x2，y2)2(1x2，y2)，所以11，21，所以1222÷.綜上所述，當(dāng)m變化時，12為定值.(3)是理由如下：當(dāng)m0時，直線lx軸，則四邊形ABED 為矩形，易知AE與BD相交于點N，猜想當(dāng)m變化時，直線AE與BD相交于定點N，證明如下：，易知E(4，y2)，則.因為y2(y1)(y1y2)my1y2m0，所以，即A，N，E三點共線同理可得B，N，D三點共線則猜想成立，故當(dāng)m變化時，直線AE與BD相交于定點N.