（課標(biāo)通用版）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 第2課時 正、余弦定理的綜合問題檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第7講 第2課時 正、余弦定理的綜合問題基礎(chǔ)題組練1ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b，c4，cos B，則ABC的面積等于()A3BC9 D解析：選B.法一：由余弦定理b2a2c22accos B，代入數(shù)據(jù)，得a3，又cos B，B(0，)，所以sin B，所以SABCacsin B，故選B.法二：由cos B，B(0，)，得sin B，由正弦定理及b，c4，可得sin C1，所以C，所以sin Acos B，所以SABCbcsin A，故選B.2在ABC中，已知C，b4，ABC的面積為2，則c()A2 BC2 D2解析：選D.由Sabsin C2a×2，解得a2，由余弦定理得c2a2b22abcos C12，故c2.3(2019·河南三市聯(lián)考)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，sin Asin B1，c2cos C，則ABC的周長為()A33 B2C32 D3解析：選C.因為sin Asin B1，所以ba，由余弦定理得cos C，又c，所以a，b3，所以ABC的周長為32，故選C.4在ABC中，AB3，BC，AC4，則邊AC上的高為()A BC D3解析：選B.由余弦定理知cos A，所以sin A.所以SABCAB·AC·sin A×3×4×3.設(shè)邊AC上的高為h，則SABCAC·h×4×h3，所以h.5在ABC中，A，b2sin C4sin B，則ABC的面積為_解析：因為b2sin C4sin B，所以b2c4b，所以bc4，SABCbcsin A×4×2.答案：26在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面積為，則BC的長為_解析：因為SABC·AB·ACsin A×2×AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22AB·ACcos 60°3，所以BC.答案：7(2017·高考北京卷)在ABC中，A60°，ca.(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面積解：(1)在ABC中，因為A60°，ca，所以由正弦定理得sin C×.(2)因為a7，所以c×73.由余弦定理a2b2c22bccos A得72b2322b×3×，解得b8或b5(舍)所以ABC的面積Sbcsin A×8×3×6.8(2017·高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b.解：(1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××4.所以b2.綜合題組練1(2019·河北石家莊一模)在ABC中，AB2，C，則ACBC的最大值為()A B2C3 D4解析：選D.在ABC中，AB2，C，則4，則ACBC4sin B4sin A4sin4sin A2cos A6sin A4sin(A)，所以ACBC的最大值為4.故選D.2在梯形ABCD中，ABCD，AB1，AC2，BD2，ACD60°，則AD()A2 BC D136解析：選B.因為在梯形ABCD中，ABCD，ACD60°，所以BAC60°.在ABC中，AB1，AC2，由余弦定理，得BC，所以AB2BC2AC2，所以ABCBCD90°.在BCD中，由勾股定理，得CD3，所以在ACD中，由余弦定理，得AD.故選B.3(2019·福建第一學(xué)期高三期末考試)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(acos Cccos A)b，B60°，則A的大小為_解析：由正弦定理及(acos Cccos A)b，得(sin Acos Csin Ccos A)sin B，所以sin(AC)sin B，由B60°，得sin B，所以sin(AC).又AC120°2C(120°，120°)，所以AC30°，又AC120°，所以A75°.答案：75°4在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，a，a2.若b1，3，則c的最小值為_解析：由a，得sin C由余弦定理可知cos C，即3cos Csin C，所以tan C，故cos C，所以c2b22b12(b)29，因為b1，3，所以當(dāng)b時，c取最小值3.答案：35(綜合型)(2019·遼寧大連檢測)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cos2Bcos2Csin2Asin Asin B.(1)求角C；(2)若c2，ABC的中線CD2，求ABC的面積S的值解：(1)由已知得sin2Asin2Bsin2Csin Asin B，由正弦定理得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C.因為0<C<，所以C.(2)法一：由|2，可得222·16，即a2b2ab16，又由余弦定理得a2b2ab24，所以ab4.所以Sabsin ACBab.法二：延長CD到M，使CDDM，連接AM，易證BCDAMD，所以BCAMa，CBDMAD，所以CAM.由余弦定理得所以ab4，Sabsin ACB×4×.6已知a，b，c分別是ABC中角A，B，C的對邊，acsin A4sin C4csin A.(1)求a的值；(2)圓O為ABC的外接圓(O在ABC內(nèi)部)，OBC的面積為，bc4，判斷ABC的形狀，并說明理由解：(1)由正弦定理可知，sin A，sin C，則acsin A4sin C4csin Aa2c4c4ac，因為c0，所以a2c4c4caa244a(a2)20，可得a2.(2)設(shè)BC的中點為D，則ODBC，所以SOBCBC·OD.又因為SOBC，BC2，所以O(shè)D，在RtBOD中，tanBOD，又0°<BOD<180°，所以BOD60°，所以BOC2BOD120°，因為O在ABC內(nèi)部，所以ABOC60°，由余弦定理得a2b2c22bccos A.所以4b2c2bc(bc)23bc，又bc4，所以bc4，所以bc2，所以ABC為等邊三角形7在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin(AC)2sin Acos(AB)，且sin2Asin2Bsin2Csin Asin B0.(1)求證：a，b，2a成等比數(shù)列；(2)若ABC的面積是2，求c.解：(1)因為ABC，sin(AC)2sin Acos(AB)，所以sin B2sin Acos C，在ABC中，由正弦定理得，b2acos C，因為sin2Asin2Bsin2Csin Asin B0，所以由正弦定理可得a2b2c2ab0，所以cos C，所以C，所以ba，則b22a2a·2a，所以a，b，2a成等比數(shù)列(2)ABC的面積Sabsin Cab2，則ab4，由(1)知，ba，聯(lián)立兩式解得a2，b2，所以c2a2b22abcos C482×2×2×()20，所以c2.8在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin A.(1)求b的值；(2)若sin Bcos B2，求ABC的面積的最大值解：(1)因為sin A，所以，由正弦定理可得cos Bcos C，所以，所以，故b2.(2)因為sin Bcos B2，所以sin(B)1.因為B(0，)，所以B.因為b2，b2a2c22accos B，所以42acac，所以ac4，所以SABCacsin Bac，當(dāng)且僅當(dāng)ac2，即ABC為等邊三角形時，SABC有最大值，最大值為.