（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 思想方法訓(xùn)練3 數(shù)形結(jié)合思想-人教版高三數(shù)學(xué)試題

思想方法訓(xùn)練3　數(shù)形結(jié)合思想 　思想方法訓(xùn)練第6頁(yè)　  一、能力突破訓(xùn)練 1.若i為虛數(shù)單位,圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1,復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D 解析:由題圖知,z=2+i,則z1+i=2+i1+i=2+i1+i·1-i1-i=32?12i,所以復(fù)數(shù)z1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第四象限.故選D. 2.方程sinx-π4=14x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是(　　) A.2 B.3 C.4 D.1 答案:B 解析:在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=sinx-π4與y=14x的圖象,如圖,可知它們有3個(gè)不同的交點(diǎn). 3.若x∈{x|log2x=2-x},則(　　) A.x2>x>1 B.x2>1>x C.1>x2>x D.x>1>x2 答案:A 解析:設(shè)y1=log2x,y2=2-x,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖. 由圖可知,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1<x<2,則有x2>x>1. 4.已知函數(shù)f(x)=1+lnx,0<x≤1,12x-1,x>1,若關(guān)于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 答案:D 解析:f2(x)-(1+a)f(x)+a=0可變形為[f(x)-a][f(x)-1]=0,解得f(x)=a或f(x)=1. 由題可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)x∈(0,1]時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示. 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),f(x)=1. 因?yàn)殛P(guān)于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, 所以f(x)=a恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, 即y=f(x),y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn). 由圖可知當(dāng)0<a<1時(shí),y=f(x),y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn), 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1),故選D. 5.已知函數(shù)f(x)=|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是(　　) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 答案:C 解析:作出f(x)的大致圖象. 由圖象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨設(shè)a<b<c, 則-lga=lgb=-12c+6. ∴l(xiāng)ga+lgb=0,∴ab=1,∴abc=c. 由圖可知10<c<12,∴abc∈(10,12). 6.已知函數(shù)f(x)=4x與g(x)=x3+t.若f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)在直線y=x的兩側(cè),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A.(-6,0] B.(-6,6) C.(4,+∞) D.(-4,4) 答案:B 解析:如圖.因?yàn)閒(x)=4x與g(x)=x3+t圖象的交點(diǎn)位于y=x兩側(cè),則有23+t>2,(-2)3+t<-2, 解得-6<t<6. 7.“a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案:C 解析:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=|x|,f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增; 當(dāng)a<0,x>0時(shí),f(x)=(-ax+1)x=-ax-1ax,結(jié)合二次函數(shù)的圖象(圖略)可知f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增; 當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|的圖象大致如圖. 函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有增有減,從而“a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件,故選C. 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則a的值為　　　　　.  答案:-12 解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=2a和y=|x-a|-1的圖象如圖.由圖可知,要使兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則2a=-1,a=-12. 9.函數(shù)f(x)=2sin xsinx+π2-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　　　　.  答案:2 解析:f(x)=2sinxsinx+π2-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2. 如圖,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=sin2x與y=x2的圖象,當(dāng)x≥0時(shí),兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)x<0時(shí),兩圖象無(wú)交點(diǎn),綜上,兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 10.若不等式9-x2≤k(x+2)-2的解集為區(qū)間[a,b],且b-a=2,則k=　　　　　.  答案:2 解析:令y1=9-x2,y2=k(x+2)-2,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出其圖象,如圖. ∵9-x2≤k(x+2)-2的解集為[a,b],且b-a=2,結(jié)合圖象知b=3,a=1,即直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,22), ∴k=22+21+2=2. 11.已知λ∈R,函數(shù)f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<0的解集是　　　　　.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則λ的取值范圍是　.  答案:(1,4)　(1,3]∪(4,+∞) 解析:當(dāng)λ=2時(shí),f(x)=x-4,x≥2,x2-4x+3,x<2. 當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4. 當(dāng)x<2時(shí),f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3, ∴1<x<2. 綜上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集為(1,4). 分別畫(huà)出y1=x-4和y2=x2-4x+3的圖象如圖. 由函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖象可知1<λ≤3或λ>4. 故λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞). 12.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的部分圖象如圖所示. (1)求f(x)的解析式; (2)設(shè)g(x)=fx-π122,求函數(shù)g(x)在區(qū)間-π6,π3上的最大值,并確定此時(shí)x的值. 解:(1)由題圖知A=2,T4=π3,則2πω=4×π3,得ω=32. ∵f-π6=2sin32×-π6+φ=2sin-π4+φ=0, ∴sinφ-π4=0. ∵0<φ<π2,-π4<φ-π4<π4,∴φ-π4=0,即φ=π4, ∴f(x)的解析式為f(x)=2sin32x+π4. (2)由(1)可得fx-π12 =2sin32x-π12+π4=2sin32x+π8, g(x)=fx-π122=4×1-cos3x+π42 =2-2cos3x+π4. ∵x∈-π6,π3,∴-π4≤3x+π4≤5π4, ∴當(dāng)3x+π4=π,即x=π4時(shí),g(x)max=4. 二、思維提升訓(xùn)練 13.已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=0,0<x≤1,|x2-4|-2,x>1.若關(guān)于x的方程f(x)+m=g(x)恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是(　　) A.[0,ln 2] B.(-2-ln 2,0] C.(-2-ln 2,0) D.[0,2+ln 2] 答案:B 解析:設(shè)h(x)=f(x)+m,則h(x)的圖象可由f(x)的圖象沿著直線x=1上下平移得到. 當(dāng)x=1時(shí),h(1)=f(1)+m=ln1+m=m, 所以直線x=1與函數(shù)h(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,m). 當(dāng)x=1時(shí),g(1)=0,當(dāng)x=2時(shí),g(2)=-2,所以直線x=2與函數(shù)g(x)的圖象的交點(diǎn)為(2,-2). 當(dāng)x=2時(shí),h(2)=ln2+m,所以直線x=2與函數(shù)h(x)的圖象的交點(diǎn)為(2,ln2+m),要使方程f(x)+m=g(x)恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則等價(jià)為h(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則滿足?(1)≤g(1),?(2)>g(2),即m≤0,m+ln2>-2,得m≤0,m>-2-ln2, 即-2-ln2<m≤0, 即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-2-ln2,0],故選B. 14.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是(　　) A.-32e,1 B.-32e,34 C.32e,34 D.32e,1 答案:D 解析:設(shè)g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),則不等式f(x)<0即為g(x)<h(x). 因?yàn)間'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 當(dāng)x<-12時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x>-12時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增. 所以g(x)的最小值為g-12. 而函數(shù)h(x)=a(x-1)表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0),斜率為a的直線. 如圖,分別作出函數(shù)g(x)=ex(2x-1)與h(x)=a(x-1)的大致圖象. 顯然,當(dāng)a≤0時(shí),滿足不等式g(x)<h(x)的整數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè). 函數(shù)g(x)=ex(2x-1)的圖象與y軸的交點(diǎn)為A(0,-1),與x軸的交點(diǎn)為D12,0. 取點(diǎn)C-1,-3e. 由圖可知,不等式g(x)<h(x)只有一個(gè)整數(shù)解時(shí),須滿足kPC≤a<kPA. 而kPC=0--3e1-(-1)=32e,kPA=0-(-1)1-0=1, 所以32e≤a<1.故選D. 15.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),f(x)=-x2+1,-1≤x≤1,-|x-2|+1,1<x≤3.若方程f(x)-ax=0有5個(gè)實(shí)根,則正數(shù)a的取值范圍是(　　) A.14,13 B.16,14 C.16,8-215 D.16-67,16 答案:C 解析:由f(x+4)=f(x),知函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象,由圖象可得方程y=-(x-4)2+1=ax, 即x2+(a-8)x+15=0在區(qū)間(3,5)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 由Δ=(a-8)2-60>0,32+3(a-8)+15>0,52+5(a-8)+15>0,3<8-a2<5,解得0<a<8-215. 由方程f(x)=ax在區(qū)間(5,6)內(nèi)無(wú)解可得,6a>1,a>16. 綜上可得,16<a<8-215,故選C. 16.三名工人加工同一種零件,他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示,其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3. (1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是　　　　　;  (2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是　　　　　.  答案:(1)Q1　(2)p2 解析:(1)連接A1B1,A2B2,A3B3,分別取線段A1B1,A2B2,A3B3的中點(diǎn)C1,C2,C3,顯然Ci的縱坐標(biāo)即為第i名工人一天平均加工的零件數(shù). 由圖可知點(diǎn)C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1. (2)設(shè)某工人上午、下午加工的零件數(shù)分別為y1,y2,工作時(shí)間分別為x1,x2,則該工人這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)為p=y1+y2x1+x2=y1+y22x1+x22=kOC(C為點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2)的中點(diǎn)).由圖可得kOC2>kOC1>kOC3,故p1,p2,p3中最大的是p2. 17.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它們的圖象在x=1處的切線互相平行. (1)求b的值; (2)若函數(shù)F(x)=f(x),x≤0,g(x),x>0,且方程F(x)=a2有且僅有四個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:函數(shù)g(x)=bx2-lnx的定義域?yàn)?0,+∞). (1)f'(x)=3ax2-3a?f'(1)=0.因?yàn)間'(x)=2bx-1x, 所以g'(1)=2b-1.依題意2b-1=0,得b=12. (2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)=x-1x<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)=x-1x>0. 所以當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得極小值g(1)=12. 當(dāng)a=0時(shí),方程F(x)=a2不可能有且僅有四個(gè)解. 當(dāng)a<0,x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)>0,所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖①所示. 從圖象可以看出F(x)=a2不可能有四個(gè)解. 當(dāng)a>0,x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)<0,所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極大值f(-1)=2a. 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖②所示. 從圖象看出方程F(x)=a2有四個(gè)解,則12<a2<2a, 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是22,2. 圖① 圖②