高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第21練 基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第21練基本量法破解等差、等比數(shù)列的法寶題型分析·高考展望等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn)，經(jīng)常以一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，再加一個(gè)解答題的形式考查，題目難度可大可小，有時(shí)為中檔題，有時(shí)解答題難度較大解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量，即通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì)體驗(yàn)高考1(2016·課標(biāo)全國乙)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100等于()A100 B99C98 D97答案C解析由等差數(shù)列性質(zhì)，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故選C.2(2015·福建)若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()A6 B7C8 D9答案D解析由題意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2這三個(gè)數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4，pq9，故選D.3(2016·北京)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_.答案6解析a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S66×6×(2)6.4(2015·安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于_答案2n1解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a11，a48，從而a1q38，q2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n1.5(2016·課標(biāo)全國乙)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_答案64解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，即解得a1a2an(3)(2)(n4)n(n7)，當(dāng)n3或4時(shí)，取到最小值6，此時(shí)取到最大值26，a1a2an的最大值為64.高考必會題型題型一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a311，S324.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn中的最小的項(xiàng)解(1)a3a12d，S33a1d3a13d，an5(n1)×33n2.(2)bnn2 .當(dāng)且僅當(dāng)n，即n2時(shí)，bn取得最小值，數(shù)列bn中的最小的項(xiàng)為.點(diǎn)評等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)基本量：在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本的元素(2)解題思路：設(shè)基本量a1和公差d(公比q)；列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少計(jì)算量變式訓(xùn)練1(1)等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則數(shù)列an的公比為_(2)(2015·課標(biāo)全國)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7等于()A21 B42 C63 D84答案(1)(2)B解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則當(dāng)q1時(shí)，S1a1,2S24a1,3S39a1，S1,2S2,3S3不成等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，4S2S13S3，即4×a13×，即3q24q10，q1(舍)或q.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a13，a1a3a521，得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142，故選B.題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2(1)(2015·廣東)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若27a3a60，則_.答案(1)10(2)28解析(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)由題可知an為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以·28.點(diǎn)評等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)類型等差數(shù)列等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)2akamal(m，k，lN*，且m，k，l成等差數(shù)列)aam·al(m，k，lN*，且m，k，l成等差數(shù)列)amanapaq(m，n，p，qN*，且mnpq)am·anap·aq(m，n，p，qN*，且mnpq)和的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：Snna當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：q(公比)依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，構(gòu)成等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q1)變式訓(xùn)練2(1)an為等差數(shù)列，若<1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n等于()A11 B17 C19 D21(2)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，3a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則等于()A3或1 B9或1C1 D9答案(1)C(2)D解析(1)Sn有最大值，d<0，又<1，a11<0<a10，a10a11<0，S2010(a1a20)10(a10a11)<0，S1919a10>0，S19為最小正值(2)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0)，依題意，a33a12a2，a1q23a12a1q，整理得：q22q30，解得q3或q1(舍)，q29.題型三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，公比q>1，且3(an2an)10an10(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnan是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn.解(1)3(an2an)10an10，3(anq2an)10anq0，即3q210q30，公比q>1，q3.又首項(xiàng)a13，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n.(2)bnan是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，bnan12(n1)，即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n13n1.前n項(xiàng)和Sn(13323n1)13(2n1)(3n1)n2.點(diǎn)評(1)對數(shù)列an，首先弄清是等差還是等比，然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基本量，從而確定an、Sn.(2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，也是解決此類題目的主要方法變式訓(xùn)練3(2015·北京)已知等差數(shù)列an滿足a1a210，a4a32.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2a3，b3a7，問：b6與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等？解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍4a32，所以d2.又因?yàn)閍1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，)(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閎2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64×261128.由1282n2，得n63，所以b6與數(shù)列an的第63項(xiàng)相等高考題型精練1設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1等于()A2 B2 C. D答案D解析因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Snna1d，所以S1，S2，S4分別為a1,2a11,4a16.因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a11)2a1·(4a16)解得a1.2已知無窮等差數(shù)列an，前n項(xiàng)和Sn中，S6<S7，且S7>S8，則()A在數(shù)列an中a7最大B在數(shù)列an中，a3或a4最大C前三項(xiàng)之和S3必與前10項(xiàng)之和S10相等D當(dāng)n8時(shí)，an<0答案D解析由于S6<S7，S7>S8，所以S7S6a7>0，S8S7a8<0，所以數(shù)列an是遞減的等差數(shù)列，最大項(xiàng)為a1，所以A，B均錯(cuò)，D正確S10S3a4a5a107a7>0，故C錯(cuò)誤3已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為()A110 B90 C90 D110答案D解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，(a112)2(a14)·(a116)，解得a120.S1010×20×10×9×(2)110.4(2016·哈爾濱六中期中)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，給出下列五個(gè)命題：d<0；S11>0；使Sn>0的最大n值為12；數(shù)列Sn中的最大項(xiàng)為S11；|a6|>|a7|，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A5 B4 C3 D1答案B解析S6>S7>S5，a7<0，a6>0，a6a7>0，因此|a6|>|a7|；da7a6<0；S1111a6>0；S126(a6a7)>0，而S1313a7<0，因此滿足Sn>0的最大n值為12；由于a7<0，a6>0，數(shù)列Sn中的最大項(xiàng)為S6，錯(cuò)，正確，故選B.5在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和為Sn，且a3，a2，a4成等差數(shù)列，則S7的值為()A125 B126 C127 D128答案C解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，且a11，由a3，a2，a4成等差數(shù)列，得2a2a4a3，即2a1qa1q3a1q2.因?yàn)閝>0，所以q2q20.解得q1(舍)或q2.則S7127.6已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A2 B3C4 D5答案D解析由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得7 (nN*)，故當(dāng)n1,2,3,5,11時(shí)，為整數(shù)即正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.7(2016·江蘇)已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_答案20解析設(shè)等差數(shù)列an公差為d，由題意可得：解得則a9a18d48×320.8已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是_答案20解析等差數(shù)列an的公差為d，則即Sn39n×(2)n240n(n20)2400，當(dāng)n20時(shí)，Sn取得最大值9公差不為0的等差數(shù)列an的部分項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，且k11，k22，k36，則k4_.答案22解析根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1a1(n1)·(3a1)64a1，解得n22，即k422.10若數(shù)列an對任意的正整數(shù)n和m等式aan×an2m都成立，則稱數(shù)列an為m階梯等比數(shù)列若an是3階梯等比數(shù)列有a11，a42，則a10_.答案8解析由題意有，當(dāng)an是3階梯等比數(shù)列，aanan6，aa1a7，所以a74，由aa4a10，有a108.11(2016·北京)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，bn的公比為q，由得bn的通項(xiàng)公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通項(xiàng)公式ana1(n1)d1(n1)×22n1(n1,2,3，)(2)設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.cnanbn2n13n1，Snc1c2c3cn2×11302×21312×31322n13n12(12n)n2×nn2.即數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為n2.12在等差數(shù)列an中，a2a723，a3a829.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列anbn是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，a3a8(a2a7)2d6，d3.a2a72a17d23，解得a11.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2.(2)數(shù)列anbn是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1.Sn147(3n2)(1qq2qn1)(1qq2qn1)，故當(dāng)q1時(shí)，Snn；當(dāng)q1時(shí)，Sn.