2019-2020年高三數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前n項和導(dǎo)學(xué)案.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前n項和導(dǎo)學(xué)案.doc
2019-2020 年高三數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前 n 項和導(dǎo)學(xué)案 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 理解等差數(shù)列的概念; 探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式; 體會等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系;等差數(shù)列前項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系; 掌握等差數(shù)列的一些基本性質(zhì); 【自主學(xué)習(xí)】 1.要點梳理 1、等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從 起,每一項與它的前一項的差都等于 ,那么這個數(shù)列就叫做 等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ,通常用字母 表示。 2、等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列的首項為,公差是,則其通項公式為 ;掌握公式的推導(dǎo)方法 3、等差中項 如果三個數(shù)成 ,則叫做和的等差中項,且有= 4、等差數(shù)列的前項和公式 = = (二次型);掌握公式的推導(dǎo)方法 5、等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法: 是等差數(shù)列 (2)等差中項: 是等差數(shù)列 (3)通項公式法: 是等差數(shù)列 (4)前項和法: 是等差數(shù)列 6、等差數(shù)列的性質(zhì) (1)通項公式的推廣: (2)若是等差數(shù)列,且 Nnmlklk,,則 (3)若是等差數(shù)列 ,公差為,則也是等差數(shù)列,公差為 (4)若是等差數(shù)列 ,則 akk,2 組成公差為 的等差數(shù)列。 (5)若、是等差數(shù)列 ,則是 7、 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和有關(guān)的性質(zhì) (1)若是等差數(shù)列,則也成 數(shù)列,其首項與首項相同,公差是公差的 (2)分別是的前項,前項,前項的和, 成等差數(shù)列 ,公差為 (3)若項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有 1212 nnnaaS ; , (4 若項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有 中,; , , (5)若、是等差數(shù)列 ,設(shè)其前項和分別為 ,則 (6)是等差數(shù)列若有 值,何時取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對稱 軸來確定。 若有 值,何時取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對稱軸來確定。 (7)等差數(shù)列中,若 Nnmanm, ,則 等差數(shù)列中,若 S,,則 等差數(shù)列中,若 n ,則 8、常用的方法與技巧 (1)三數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法:、 、 ,為公差。 四數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法:、 、 、 ,公差 。 (2)會用方程的思想處理等差數(shù)列的有關(guān)問題:等差數(shù)列的通項公式和前項和公式涉及 五個量:, “知三求二” ,同時還應(yīng)注意整體代換。 2、基礎(chǔ)自測 1、等差數(shù)列的前項和為,若,則 ( ) A、12 B、10 C、8 D、6 2、等差數(shù)列中,已知 3,4,3152naa,則為( ) A、48 B、49 C、50 D、51 3、首項為-24 的等差數(shù)列,從第十項起開始為正數(shù),則公差的取值范圍是( ) A、 B、 C、 D、 4、一個有限項的等差數(shù)列,它的前 5 項和為 34,最后 5 項和為 146,所有項和為 234,則 它的第七項等于( ) A、22 B、21 C、 19 D、18 5、設(shè)等差數(shù)列、 ,其前項和分別為 ,若對任意的自然數(shù)都有,則的值為 【典例分析】 等差數(shù)列的基本運算等差數(shù)列的基本運算 例 1、設(shè)是一個公差為的等差數(shù)列,它的前 10 項和且成等比數(shù)列。 (1)證明; (2)求公差的值和數(shù)列的通項公式。 例 2、(xx 安徽卷文)已知為等差數(shù)列, ,則等于( ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7 例 3、 (四川文 7)等差數(shù)列 an中, a1=1,a3+a5=14,其前 n 項和 Sn=100,則 n=( ) A9 B10 C11 D12 例 4、(xx 全國卷理)已知等差數(shù)列滿足, ,則它的前 10 項的和( ) A138 B135 C95 D23 練習(xí): 1、等差數(shù)列的前項和為,已知。 (1)求通項及前項和; (2)若,求。 2、在等差數(shù)列中, ,則=( ) A、 24 B、 22 C、 20 D、-8 3、一個等差數(shù)列的前 10 項和為 100,前 100 項和為 10,則前 110 項和為 4、 (xx 福建卷理)等差數(shù)列的前 n 項和為,且 =6,=4, 則公差 d 等于( )A B C.- 2 D 3 5、 (xx 寧夏海南卷理)等比數(shù)列的前 n 項和為,且 4,2,成等差列。若=1,則=( ) (A)7 (B)8 (3)15 (4)16 6、xx 寧夏海南卷理)等差數(shù)列前 n 項和為。已知+-=0,=38,則 m=_ 7、(xx 海南、寧夏文)已知a n為等差數(shù)列,a 3 + a8 = 22,a 6 = 7,則 a5 = _ 8、已知等差數(shù)列中, ,前 10 項和。 (1)求數(shù)列的通項公式; (2)若從數(shù)列中依次取出第 2,4,8, ,項,按原來的順序排列成一個 新的數(shù)列,試求新的數(shù)列的前項和 9、等差數(shù)列的前項和為,若,則 ;一般地,若,則 10、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若 80,1532321aa,則等于( ) A、 120 B、 105 C、 90 D、75 10、下表給出一個“等差數(shù)陣”: 4 7 ( ) ( ) ( ) 7 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 其中每行、每列都是等差數(shù)列,表示位于第行第列的數(shù)。 (1)寫出的值; (2)寫出的計算公式,以及 xx 這個數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個位置。 11、已知,數(shù)列的前項和為,點在曲線上,且, (1)求數(shù)列的通項公式 (2)數(shù)列的首項,前項和為,且 3816221naTn,求數(shù)列 的通項公式 等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定 例 5、已知數(shù)列的前項和為,且滿足 21,021anSan 。 (1)求證:是等差數(shù)列; (2) 求的表達式。 練習(xí): 1、已知數(shù)列滿足,令,求證:數(shù)列 是等差數(shù)列。 2、數(shù)列滿足,又,則使得為等差數(shù)列的實數(shù) 3、設(shè)實數(shù),且函數(shù) axaxf 122有最小值,若數(shù)列的前項和,令 ,3,242nbn ,求證:數(shù)列是等差數(shù)列。 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 例 6、 (1)設(shè)等差數(shù)列的前項和為,已知前 6 項和為 36,,最后 6 項和為 180,求數(shù)列的項數(shù) 及; (2)等差數(shù)列、設(shè)其前項和分別為 ,且,求的值。 (3)若,則 ; (4)若項數(shù)為奇數(shù),且奇數(shù)項和為 44,偶數(shù)項和為 33,求數(shù)列的中間項及項數(shù)。 練習(xí): 1、等差數(shù)列中, ,則 2、已知等差數(shù)列的前項和為為 377,項數(shù)為奇數(shù),且前項奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為:6,則 中間項為 3、等差數(shù)列中,已知 240),9(30,1849 nnSaS,則= 4、設(shè)是等差數(shù)列的前項和,已知,則等于( ) A、13 B、35 C、 49 D、63 5、在各項均不為零的等差數(shù)列中,若,則( ) A、-2 B、 0 C、 1 D、2 6、如果為各項都大于零的等差數(shù)列,公差,則( ) A、 B、 C、 D、 7、等差數(shù)列的奇數(shù)項和為 216,偶數(shù)項和為 192,首項為 1,項數(shù)為奇數(shù),求此數(shù)列的末和 通項公式。 8、等差數(shù)列中,其前項和為, 20527,081 Sa,則的值為 9、 等差數(shù)列的公差為 2,若,則的值為 10、設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則等于( ) A、 B、 C、 D、 11、 已知兩個等差數(shù)列、 ,其前項和分別為 ,且,則使得 為正整數(shù)的個數(shù)是( ) 。 A、 2 B、 3 C、4 D、5 等差數(shù)列的前項和的最值問題等差數(shù)列的前項和的最值問題 例 7、在等差數(shù)列中,已知,前項和為,且,求當(dāng)取何值時, 取得最大值,并求出它的最大 值。 練習(xí): 1、已知數(shù)列, (1)求證:是等差數(shù)列; (2)若,求數(shù)列的前項和為的最小值。 2、設(shè)等差數(shù)列的前項和為已知。 (1)求公差的取值范圍; (2)中哪一個值最大?并說明理由。 3、在等差數(shù)列中,其前項和為,若,則在, ,中最大的是( ) A、 B、 C、 D、 4、在等差數(shù)列中, ,且,若的前項和為,則的最大值是( ) A、17 B、 18 C、 19 D、20 5、(xx 四川理)設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則的最大值為_。 6、已知是一個等差數(shù)列,且。 (1)求的通項公式 (2)求的前項和為的最大值