2020中考數(shù)學(xué) 九年級(jí)下冊(cè)銳角三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用(含答案)

2020中考數(shù)學(xué) 銳角三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用（含答案） 1.如圖，小軍和小兵要去測(cè)量一座古塔的高度，他們?cè)陔x古塔60米的A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0，已知測(cè)角儀AD=1.5米，則塔CB的高為多少米？ 參考答案:解：過A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E 則AE=CD=60米，則∠AEB=90，EC=AD=1.5 在Rt△ABE中， 即 ∴ 所以，古塔高度為：米 2.如圖，小強(qiáng)在家里的樓頂上的點(diǎn)A處，測(cè)量建在與小明家樓房同水平線上相鄰的電梯樓的高，在點(diǎn)A處看電梯樓頂點(diǎn)B處的仰角為60，看樓底點(diǎn)C的俯角為45，兩棟樓之間的距離為30米，則電梯樓的高BC為多少米？ 參考答案:解：過A作AD∥地面，交BC于D 則在Rt△ABD中，，即，∴ 在Rt△ACD中，，即，∴ ∴樓高BC為： 3.小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測(cè)得B，C兩點(diǎn)的俯角分別為45，35。已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100米，請(qǐng)求出熱氣球離地面的高度。（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，） 參考答案:解：過A作AD⊥BC于點(diǎn)D 則AD即為熱氣球的高度，且∠1=∠2=45 ∴可設(shè)AD=BD=x 則CD=x+100 在Rt△ADC中 ，即 得： 即熱氣球的高度為米 4.如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB，且點(diǎn)A，B，C在同一直線上．小紅在D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為47，觀測(cè)旗桿底部B的仰角為42．已知點(diǎn)D到地面的距離DE為1.56m，EC=21m，求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：tan47≈1.07，tan42≈0.90）． 參考答案:解：根據(jù)題意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90,∠DEC=90． 過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F． 則∠DFC=90,∠ADF=47,∠BFD=42． 可得四邊形DECF為矩形． ∴DF=EC=21,FC=DE=1．56． 在Rt△DFA中， ∴AF=DFtan47≈21107=22.47． 在Rt△DFB中， ∴BF=DFtan42≈210.90=18.90． 于是，AB=AF-BF=22.47-18.90=3.57≈3.6, BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5． 5.如圖所示，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象．在廢墟一側(cè)面上選兩探測(cè)點(diǎn)A、B，AB相距2米，探測(cè)線與該面的夾角分別是30和45（如圖）．試確定生命所在點(diǎn)C與探測(cè)面的距離．（參考數(shù)據(jù),） 參考答案:解：過C作CD⊥AB于點(diǎn)D， 則∠DBC=45=∠BCD ∴可設(shè)BD=CD=x 在Rt△ACD中可得： 即： 得 即，點(diǎn)C與探測(cè)面的 距離大約為2.73米。 6.如圖所示，如圖所示，我市某中學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量釜溪河沙灣段的寬度。小宇同學(xué)在A處觀測(cè)對(duì)岸C點(diǎn)，測(cè)得∠CAD＝45，小英同學(xué)在距A處50米遠(yuǎn)的B處測(cè)得∠CBD＝30，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬。（精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)， ，） 參考答案:解：在Rt△ACE中，∠CAE=45 ∴可設(shè)CE=EA=x 在Rt△BCE中，，即，得 即，河寬約為68.3米 7.如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m，在A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角∠EAD為45，在B點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角∠CBD為60，求這兩座建筑物的高度（結(jié)果保留根號(hào)） 參考答案:解：如圖，過A作AF⊥CD于點(diǎn)F， 在Rt△BCD中，∠DBC=60，BC=30m， ∵ ∴CD=BC?tan60=m， ∴乙建筑物的高度為m； 在Rt△AFD中，∠DAF=45， ∴DF=AF=BC=30m， ∴AB=CF=CD﹣DF=m， ∴甲建筑物的高度為m． 8.如圖所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在B處發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)確定，遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45方向上，且BC＝60海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60方向上有一艘海監(jiān)船A，恰好位于B處的正西方向．于是命令海監(jiān)船A前往搜救，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)，問漁船在B處需要等待多長時(shí)間才能得到海監(jiān)船A的救援？(參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到0.1小時(shí)) 參考答案:解：因?yàn)锳在B的正西方，延長AB交南北軸于點(diǎn)D，則AB⊥CD于點(diǎn)D ∵∠BCD＝45，BD⊥CD ∴BD＝CD 在Rt△BDC中，∵cos∠BCD＝，BC＝60海里 即cos45＝，解得CD＝海里 ∴BD＝CD＝海里 在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝ 即 tan60＝，解得AD＝海里 ∵AB＝AD－BD ∴AB＝－＝30()海里 ∵海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí) 則漁船在B處需要等待的時(shí)間為 ＝＝≈2.45－1.41＝1.04≈1.0小時(shí) ∴漁船在B處需要等待1.0小時(shí) 9.隨著人們生活水平的不斷提高，旅游已成為人們的一種生活時(shí)尚．為開發(fā)新的旅游項(xiàng)目，我市對(duì)某山區(qū)進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)一瀑布．為測(cè)量它的高度，測(cè)量人員在瀑布的對(duì)面山上D點(diǎn)處測(cè)得瀑布頂端A點(diǎn)的仰角是30，測(cè)得瀑布底端B點(diǎn)的俯角是10，AB與水平面垂直．又在瀑布下的水平面測(cè)得CG＝27m，GF＝17.6m(注：C、G、F三點(diǎn)在同一直線上，CF⊥AB于點(diǎn)F)．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40．求瀑布AB的高度． (參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin40≈0.64，cos40≈0.77，tan40≈0.84，sin10≈0.17，cos10≈0.98，tan10≈0.18) 參考答案:解：過點(diǎn)D作DM⊥CE，交CE于點(diǎn)M，作DN⊥AB，交AB于點(diǎn)N，如圖所示． 在Rt△CMD中，CD＝20m，∠DCM＝40，∠CMD＝90， ∴CM＝CD?cos40≈15.4m，DM＝CD?sin40≈12.8m， ∴DN＝MF＝CM＋CG＋GF＝60m． 在Rt△BDN中，∠BDN＝10，∠BND＝90，DN＝60m， ∴BN＝DN?tan10≈10.8m． 在Rt△ADN中，∠ADN＝30，∠AND＝90，DN＝60m， ∴AN＝DN?tan30≈34.6m． ∴AB＝AN＋BN＝45.4m． 答：瀑布AB的高度約為45.4米． 10.如圖，斜坡BE，坡頂B到水平地面的距離AB為3米，坡底AE為18米，在B處，E處分別測(cè)得CD頂部點(diǎn)D的仰角為30，60，求CD的高度．(結(jié)果保留根號(hào)) 參考答案:解：作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF＝x米， 在Rt△DBF中，， 則， 在直角△DCE中，DC＝x＋CF＝3＋x(米)， 在直角△ABF中，，則米． ∵BF－CE＝AE，即． 解得：， 則CD＝(米)． 答：CD的高度是米． 11.如圖，站在高出海平面100m的懸崖C處，俯視海平面上一搜捕魚船A，并測(cè)得其俯角為30，則船與觀察者之間的水平距離是多少？船向觀察者方向行進(jìn)了一段距離到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得船的俯角為60，求船航行了多少米？ 參考答案:解：由題可知∠CAD=30，∠CBD=60，CD=100 ∴在Rt△ADC中，，即，∴ ∴在Rt△BDC中，，即，∴ ∴船與觀察者之間的水平距離為：，船航行了 12.有一艘漁輪在海上C處作業(yè)時(shí)，發(fā)生故障，立即向搜救中心發(fā)出救援信號(hào)，此時(shí)搜救中心的兩艘救助輪救助一號(hào)和救助二號(hào)分別位于海上A處和B處，B在A的正東方向，且相距100里，測(cè)得地點(diǎn)C在A的南偏東60，在B的南偏東30方向上，如圖所示，若救助一號(hào)和救助二號(hào)的速度分別為40里/小時(shí)和30里/小時(shí)，問搜救中心應(yīng)派那艘救助輪才能盡早趕到C處救援？（≈1.7） 參考答案:解：作CD⊥AB交AB延長線于D， 由已知得：∠EAC=60，∠FBC=30， ∴∠1=30，∠2=90-30=60， ∵∠1+∠3=∠2， ∴∠3=30， ∴∠1=∠3， ∴AB=BC=100， 在Rt△BDC中，， ∴， ∵AD=AB+BD=150， ∴在Rt△ACD中，， ∴，， ∵， ∴搜救中心應(yīng)派2號(hào)艘救助輪才能盡早趕到C處救援． 13.一艘漁船位于港口A的北偏東60方向，距離港口20海里B處，它沿北偏西37方向航行至C處突然出現(xiàn)故障，在C處等待救援，B，C之間的距離為10海里，救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達(dá)C處，求救援的艇的航行速度.（sin37≈0.6，cos37≈0.8，≈1.732，結(jié)果取整數(shù)） 參考答案:解：輔助線如圖所示： BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF， 有題意知，∠FAB=60，∠CBE=37， ∴∠BAD=30， ∵AB=20海里， ∴BD=10海里， 在Rt△ABD中， 在Rt△BCE中， ∴CE=BC?sin37≈0.610=6海里， ∵ ∴EB=BC?cos37≈0.810=8海里， EF=AD=17.32海里， ∴FC=EF﹣CE=11.32海里， AF=ED=EB+BD=18海里， 在Rt△AFC中， 21.263≈64海里/小時(shí). 答：救援的艇的航行速度大約是64海里/小時(shí). 14.今年，我國海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動(dòng)，堅(jiān)決把“洋垃圾”拒于國門之外．如圖，某天我國一艘海監(jiān)船巡航到港口正西方的處時(shí)，發(fā)現(xiàn)在的北偏東方向，相距150海里處的點(diǎn)有一可疑船只正沿方向行駛，點(diǎn)在港口的北偏東方向上，海監(jiān)船向港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從港口沿方向駛出，在處成功攔截可疑船只，此時(shí)D點(diǎn)與點(diǎn)的距離為海里． （1）求點(diǎn)到直線的距離； （2）執(zhí)法船從到航行了多少海里?（結(jié)果保留根號(hào)） 參考答案:解：（1）過點(diǎn)B作交CA的延長線于點(diǎn)H， 答：點(diǎn)到直線的距離為75海里。 （2） BH=75 在中， (海里) 答：執(zhí)法船從到航行了海里。 15.為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD，并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A（此時(shí)∠AEB=∠FED），在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為39.3，平面鏡E的俯角為45，F(xiàn)D=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan39.3≈0.82，tan84.3≈10.02） 參考答案:解：由題意，可得∠FED=45. 在直角△DEF中，∵∠FDE=90，∠FED=45， ∴DE=DF=1.8米，米. ∵∠AEB=∠FED=45， ∴∠AEF=180﹣∠AEB﹣∠FED=90. 在直角△AEF中，∵∠AEF=90，∠AFE=39.3+45=84.3， ∴AE=EF?tan∠AFE≈10.02=18.036（米）. 在直角△ABE中，∵∠ABE=90，∠AEB=45， ∴ 故旗桿AB的高度約為18米. 16.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿的高度。已知小亮站著測(cè)量，眼睛與地面的距離（AB）是1.7米，看旗桿頂部E的仰角為30；小敏蹲著測(cè)量，眼睛與地面的距離（CD）是0.7米，看旗桿頂部E的演講為45；兩人相距5米且位于旗桿同側(cè)（點(diǎn)B、D、F在同一直線上）。 （1）求小敏到旗桿的距離DF；（結(jié)果保留根號(hào)） （2）求旗桿EF的高度。 參考答案: 解：過C作CP⊥EF于點(diǎn)P，過A作AQ⊥EF于點(diǎn)Q，則QP=1.7-0.7=1 則在Rt△ECD中可設(shè)CD=ED=x ∴EQ=x-1 在Rt△AEQ中，AQ=BD+CD=5+x ∴，即 得 ∴，小敏到旗桿的距離為 17.如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側(cè)的A、B兩點(diǎn)分別表示車站和超市，CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直．馬路寬20米，A，B相距62米，∠A＝67，∠B＝37． （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B．求他沿折線A→D→C→B到達(dá)超市比直線橫穿馬路多走多少米． （參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 參考答案:【解】（1）如圖（第20題圖）設(shè)CD與AB的距離為x米． ∵CD∥AB，CF∥DE，CD⊥DE，∴四邊形CDEF是矩形， ∴CF＝DE＝x（米），EF＝CD＝20（米）， 又∵AB⊥CF，AB⊥DE， ∴AE＝≈，BF＝≈， ∴AB＝AE＋EF＋BF＝＋20＋≈62， 解得，x≈24（米） 即CD與AB的距離約為24米． （2）在Rt△ADE中，AD＝ ，同理，BC≈， ∴（AD＋DC＋CB）－AB≈26＋20＋40－62＝24（米） 即沿折線A→D→C→B去超市B比直線橫穿馬路多走約24米． 18.如圖，一艘游輪在A處測(cè)得北偏東45的方向上有一燈塔B．游輪以海里/時(shí)的速度向正東方向航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得燈塔B在C處北偏東15的方向上，求A處與燈塔B相距多少海里？(結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，) 參考答案:解：過點(diǎn)C作CM⊥AB，垂足為M， 在Rt△ACM中，∠MAC＝90－45＝45，則∠MCA＝45， ∴AM＝MC， 由勾股定理得：AM2＋MC2＝AC2＝(202)2， 解得：AM＝CM＝40， ∵∠ECB＝15， ∴∠BCF＝90－15＝75， ∴∠B＝∠BCF－∠MAC＝75－45＝30， 在Rt△BCM中，tanB＝tan30＝，即， ∴BM＝40， ∴AB＝AM＋BM＝40＋40≈40＋401.73≈109(海里)， 答：A處與燈塔B相距109海里． 19.如圖，輪船從點(diǎn)A處出發(fā)，先航行至位于點(diǎn)A的南偏西15且與點(diǎn)A相距100km的點(diǎn)B處，再航行至位于點(diǎn)B的北偏東75且與點(diǎn)B相距200km的點(diǎn)C處。 （1）求點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離。（保留根號(hào)） （2）確定點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的方向。 參考答案:解：過A作AD⊥BC于點(diǎn)D， 由圖可知：∠ABD=60 在Rt△ABD中，，∴BD=50 ，∴ 在Rt△ADC中，由勾股定理可得： ∴ ∴銳角∠DAC=60 ∴點(diǎn)C在點(diǎn)A的南偏西75 20.如圖1，水壩的橫截面是梯形ABCD，∠ABC＝37，壩頂DC＝3m，背水坡AD的坡度i(即tan∠DAB)為1:0.5，壩底AB＝14m． (1)求壩高； (2)如圖2，為了提高堤壩的防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時(shí)拓寬加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的長．(參考數(shù)據(jù)：，，) 參考答案:解：(1)作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N． 由題意：tan∠DAB＝＝2，設(shè)AM＝x，則DM＝2x， ∵四邊形DMNC是矩形， ∴DM＝CN＝2x， 在Rt△NBC中，tan37＝， ∴BN＝x， ∵x＋3＋x＝14， ∴x＝3， ∴DM＝6， 答：壩高為6m． (2)作FH⊥AB于H．設(shè)DF＝y(tǒng)，則AE＝2y，EH＝3＋2y－y＝3＋y，BH＝14＋2y－(3＋y)＝11＋y， 由△EFH∽△FBH，可得， 即， 解得y＝－7＋2或－7－2(舍棄)， ∴DF＝2－7， 答：DF的長為(2－7)m． 21.如圖，線段AB，CD分別表示甲、乙兩座建筑物的高。某九年級(jí)課外興趣活動(dòng)小組未來測(cè)量者兩座建筑物的高，用自制測(cè)角儀在A處測(cè)得D點(diǎn)的仰角為α，在B處測(cè)得D點(diǎn)的仰角為β。已知甲乙兩座建筑物之間的距離BC=m，請(qǐng)你通過計(jì)算，用含有α、β，m的式子分別表示甲乙兩座建筑物的高度 參考答案:解：假設(shè)過A的水平線交CD于點(diǎn)E，則由題可知：AE⊥DC，AE=BC=m 在Rt△ADE中，，即 ∴ 在Rt△BDC中，，即 ∴ 所以，乙建筑物高 甲建筑物高：