高中數(shù)學(xué) 第1章 數(shù)列 章末歸納總結(jié)課件 北師大版必修5.ppt
成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 必修5,數(shù) 列,第一章,本章歸納總結(jié),第一章,一、數(shù)列的概念與函數(shù)特征 1數(shù)列的定義:按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列還可以看作一個(gè)定義域?yàn)镹(或它的有限子集1,2,n)的函數(shù)的一列函數(shù)值 2通項(xiàng)公式:如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,4數(shù)列的分類 (1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列 (2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系,可以分為以下幾類: 一般地,一個(gè)數(shù)列an,如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng),即an1an,那么這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列 一個(gè)數(shù)列an,如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng),即an1an,那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列 一個(gè)數(shù)列an,如果從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng),那么這個(gè)數(shù)列叫作擺動(dòng)數(shù)列 一個(gè)數(shù)列an,如果它的每一項(xiàng)都相等,那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列,5根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式判定數(shù)列的單調(diào)性 (1)已知anf(n),若f(x)的單調(diào)性可以確定,則an的單調(diào)性可以確定 (2)比較法 作差比較法 nN,an1an0an為遞增數(shù)列; nN,an1an0an為常數(shù)列; nN,an1an0an為遞減數(shù)列,5等差數(shù)列的性質(zhì): (1)已知等差數(shù)列an的公差為d,且第m項(xiàng)為am,第n項(xiàng)為an,則anam(nm)d; (2)在等差數(shù)列an中,若mnpq,(m、n、p、qN)則amanapaq; (3)若數(shù)列an滿足Snan2bn,則an為等差數(shù)列,且a1ab,d2a; (4)若數(shù)列an滿足Snan2bnc(c0),則an從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列;,數(shù)列的通項(xiàng)公式是給出數(shù)列的主要方式,其本質(zhì)就是函數(shù)的解析式根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式,不僅可以判斷數(shù)列的類型,研究數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢與規(guī)律,而且有利于求數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心問題之一現(xiàn)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征把常見求通項(xiàng)公式的方法總結(jié)如下:,數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn23n1,求通項(xiàng) an.,2累加法 例2 (2014全國大綱文,17)數(shù)列an滿足a11,a22,an22an1an2. (1)設(shè)bnan1an,證明bn是等差數(shù)列; (2)求an的通項(xiàng)公式,方法總結(jié) 已知a1a,an1anf(n),其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù),求通項(xiàng)an. 若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù),累加后可分組求和; 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和; 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù),累加后可裂項(xiàng)求和,已知an中,a11,且an1an3n(nN),求通項(xiàng) an.,分析 利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化后求解,在數(shù)列an中,已知a11,an12nan,求an.,分析 通過整理變形,進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)間接求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,方法總結(jié) 已知a1且an1panq(p,q為常數(shù))的形式均可用上述構(gòu)造法,特別地,若p1,則an為等差數(shù)列;若q0,p0,則an為等比數(shù)列,已知數(shù)列an滿足a11,an13an2(nN)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,求數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列運(yùn)算的重要內(nèi)容之一,也是歷年高考考查的熱點(diǎn)對(duì)于等差、等比數(shù)列,可以直接利用求和公式計(jì)算,對(duì)于一些具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)列,常用倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等求和 1分組轉(zhuǎn)化法 如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)是由幾個(gè)獨(dú)立的項(xiàng)組合而成,并且各獨(dú)立項(xiàng)也可組成等差或等比數(shù)列,則該數(shù)列的前n項(xiàng)和可考慮拆項(xiàng)后利用公式求解,數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,已知數(shù)列1,12,1222,12222n, (1)求其通項(xiàng)公式an; (2)求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.,2裂項(xiàng)相消法 對(duì)于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消的項(xiàng)的一類數(shù)列,在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”,分式的求和多利用此法可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng),相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律,即消去哪些項(xiàng),保留哪些項(xiàng),3錯(cuò)位相減法 若數(shù)列an為等差數(shù)列,數(shù)列bn是等比數(shù)列,由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為anbn,當(dāng)求該數(shù)列的前n項(xiàng)的和時(shí),常常采用將anbn的各項(xiàng)乘以公比q,并項(xiàng)后錯(cuò)位一項(xiàng)與anbn的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減,即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和,所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯(cuò)位相減法 例7 (2015山東高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知2Sn3n3. (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an,求bn的前n項(xiàng)和Tn.,已知數(shù)列an中,a13,點(diǎn)(an,an1)在直線yx2上 (1)求數(shù)列an有通項(xiàng)公式; (2)若bnan3n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 解析 (1)點(diǎn)(an,an1)在直線yx2上, an1an2, 即an1an2. 數(shù)列an是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列, an32(n1)2n1.,4倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列an與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和,可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加,就得到一個(gè)常數(shù)列的和,這一求和的方法稱為倒序相加法,