高中數(shù)學(xué) 第3章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.4.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用課件 蘇教版必修1.ppt

3.4.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用,1.解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟 (1)閱讀理解、認(rèn)真審題. (2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立函數(shù)模型. (3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答,求得結(jié)果. (4)根據(jù)具體問題作出合理解答. 交流1 在數(shù)學(xué)應(yīng)用題中,所建立的函數(shù)如何確定其定義域? 提示可從兩個(gè)方面確定函數(shù)的定義域:一是函數(shù)自身對(duì)自變量的要求;二是實(shí)際問題中對(duì)自變量的限制,如時(shí)間、長(zhǎng)度、面積等一般均大于零.,2.常見函數(shù)模型 一次函數(shù)模型:y=kx+b(k0),二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a0),分段函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型y=abx+c(a0,b0,且b1),對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=mlogax+n(m0,a0,且a1),冪函數(shù)模型y=axn+b(a0)以及y=ax+ 函數(shù)模型等. 交流2 對(duì)于具體的數(shù)學(xué)應(yīng)用題,應(yīng)怎樣選擇函數(shù)模型? 提示一是根據(jù)題目中給出的函數(shù)類型,用待定系數(shù)法求解;二是根據(jù)題目中的對(duì)應(yīng)關(guān)系列式表達(dá);三是利用數(shù)據(jù)擬合法,選擇最優(yōu)函數(shù)類型.,3.解實(shí)際問題的程序 實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型得到數(shù)學(xué)結(jié)果解決實(shí)際問題,其中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵. 交流3 (1)某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè)現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞,分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是 . (2)汽車的油箱是長(zhǎng)方體形狀容器,它的長(zhǎng)是a cm,寬為b cm,高為c cm,汽車開始行駛時(shí)油箱內(nèi)裝滿汽油.已知汽車的耗油量是n cm3/km,則汽車行駛的路程y(km)與油箱內(nèi)剩余油量的液面高度x cm的函數(shù)關(guān)系為 . 提示(1)y=2x+1,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,一、一次、二次函數(shù)模型 某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí),可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元. (導(dǎo)學(xué)號(hào)51790119) (1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時(shí),能租出多少輛車? (2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少? 思路分析(1)由已知可以求出未租出的車輛數(shù),從而可求出租出的車輛數(shù). (2)要求最大收益,可先把收益表示為月租金的函數(shù),建立函數(shù)模型再求解該函數(shù)的最大值.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,1.已知A、B兩地相距150 km,某人開汽車以60 km/h的速度從A地到達(dá)B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地,把汽車離開A地的距離x表示成時(shí)間t的函數(shù),表達(dá)式是 .,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,2.有一批材料可以建成200 m的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地,中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖),則圍成的矩形最大面積為 m2.(圍墻厚度不計(jì)) (導(dǎo)學(xué)號(hào)51790120) 答案:2 500 解析:設(shè)矩形寬為x m, 則矩形長(zhǎng)為(200-4x)m, 則矩形面積為S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500(0x50). x=25時(shí),S有最大值為2 500 m2.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,分析與解答應(yīng)用問題時(shí)的思維過程:,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,二、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型 燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬,研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn),兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù) ,單位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(導(dǎo)學(xué)號(hào)51790121) (1)燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位? (2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí),它的飛行速度是多少? 思路分析由題意可知,飛行速度是耗氧量的對(duì)數(shù)型函數(shù),由函數(shù)表達(dá)式分別給變量賦值,求出另外的量即可.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,某林區(qū)2015年木材蓄積量為200萬立方米,由于采取了封山育林、嚴(yán)禁采伐的措施,使木材蓄積量的年平均遞增率達(dá)到5%. (導(dǎo)學(xué)號(hào)51790122) (1)若經(jīng)過x(xN*)年后,該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米,求f(x)的解析式. (2)約經(jīng)多少年后,林區(qū)的木材蓄積量達(dá)到300萬立方米?,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,解(1)現(xiàn)有木材蓄積量為200萬立方米. 經(jīng)過1年后,木材蓄積量為200+2005%=200(1+5%)萬立方米; 經(jīng)過2年后,木材蓄積量為200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2萬立方米; 經(jīng)過x年后,木材蓄積量為200(1+5%)x萬立方米. f(x)=200(1+5%)x(xN*). (2)由題意,若經(jīng)x年后,林區(qū)的木材蓄積量達(dá)到300萬立方米,則有200(1+5%)x=300, 故約經(jīng)過9年后,林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬立方米.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,指數(shù)函數(shù)模型在生活中應(yīng)用比較廣泛,如增長(zhǎng)率(減少率)、存款利率、復(fù)利計(jì)算等.指數(shù)類型的函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用主要有以下兩類:平均增長(zhǎng)率問題:若原來產(chǎn)值的基數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為P,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y=N(1+P)x;儲(chǔ)蓄中的復(fù)利問題:若本金為a元,每期利率為r,本利和為y,存期為x,則y=a(1+r)x.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,三、模擬函數(shù)類型的建立 某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過調(diào)查,得到西紅柿種植成本Q(單位:元/102 kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:(導(dǎo)學(xué)號(hào)51790123) (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系. Q=at+b;Q=at2+bt+c; Q=abt;Q=alogbt. (2)利用你選取的函數(shù),求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,思路分析分析表格中的數(shù)據(jù)(50,150),(110,108),(250,150)可知函數(shù)模型. (2)當(dāng)t=150天時(shí),西紅柿種植成本最低為100元/102 kg.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn),某種新產(chǎn)品在投放市場(chǎng)的100天中,前40天,其價(jià)格直線上升(價(jià)格是一次函數(shù)),而后60天,其價(jià)格則呈直線下降趨勢(shì).現(xiàn)抽取其中4天的價(jià)格如表所示:(導(dǎo)學(xué)號(hào)51790124) (1)寫出價(jià)格f(x)關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式(x表示投放市場(chǎng)的第x天); (2)若銷售量g(x)與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系是g(x)= (1x100,xN),求日銷售額的最大值,并求第幾天銷售額最高.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),一,二,三,建立實(shí)際情境函數(shù)的模型時(shí),可采用以下步驟:,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),1,2,3,4,5,1.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂一次(由1個(gè)分裂成2個(gè)),則這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4 096個(gè)需經(jīng)過 ( ). A.2小時(shí) B.3小時(shí) C.4小時(shí) D.5小時(shí) 答案:B 解析:設(shè)共分裂了x次,則有2x=4 096, 2x=212,即x=12. 又每15分鐘分裂一次, 1512=180(分),即3小時(shí).,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),1,2,3,4,5,2.受國際經(jīng)濟(jì)衰退影響,某型號(hào)產(chǎn)品今年連續(xù)兩次降價(jià),單價(jià)由原來的2 000元降到1 280元,則這種產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率是( ). A.10% B.20% C.30% D.40% 答案:B 解析:設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x, 則2 000(1-x)2=1 280,x=0.2=20%.,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),1,2,3,4,5,3.某種茶杯,每個(gè)2.5元,把買茶杯的錢數(shù)y(元)表示為茶杯個(gè)數(shù)x(個(gè))的函數(shù),則y= . 答案:2.5x(xN),典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),1,2,3,4,5,4.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量為 臺(tái). 答案:150 解析:設(shè)生產(chǎn)者恰好不虧本時(shí)的產(chǎn)量為x臺(tái),依題意,得25x-3 000-20x+0.1x2=0,即x2+50x-30 000=0. 解得x=-200(舍去)或x=150, 生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量為150臺(tái).,典例導(dǎo)學(xué),即時(shí)檢測(cè),1,2,3,4,5,5.一家庭(父親、母親和孩子們)計(jì)劃去某地旅游.甲旅行社說:“如果父親買全票一張,其余人可享受半票優(yōu)惠.”乙旅行社說:“家庭旅行為集體票,按原價(jià)的 優(yōu)惠.”這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的.試就家庭里不同的孩子數(shù),分別建立表達(dá)式,計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi),并討論哪家旅行社更優(yōu)惠.(導(dǎo)學(xué)號(hào)51790125) 解設(shè)家庭中孩子數(shù)為x(x1,xN*),旅游收費(fèi)為y,旅游原價(jià)為a.,