【人教版】八年級上冊數(shù)學(xué)：第十四章《整式的乘法與因式分解解讀與拓展》課件：整式的乘法（14.1.4）

教材全面解讀,首頁,末頁,目錄,易錯易混警示,重點題型剖析,中考教材對接,第十四章 整式的乘法與,因式分解,14.1,整式的乘法,(14.1.4),單項式乘單項式,法則敘述,運算步驟,法則依據(jù),單項式乘,單項式,單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式,(1),系數(shù)相乘，積為結(jié)果的系數(shù)；,(2),把單項式里同底數(shù)的冪相乘，積為結(jié)果里的因式；,(3),單項式中獨有的字母的冪仍為結(jié)果里的因式,乘法的交換律與結(jié)合律，同底數(shù)冪的乘法法則,知識解讀,(1),系數(shù)積的符號為結(jié)果中單項式的系數(shù)符號；,(2),結(jié)果中單項式字母的排列順序，一般按各個單項式中字母的先后順序，盡量保持不變；,(3),不要遺漏單項式中單個字母的因式；,(4),單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式,例,1,計算：,(1)(,-,3,x,2,)·2,x,3,(2)-2,xyz,·(-3,x,2,y,3,),2,;,(3),解：（,1,）原式,=(-3)×2·,x,2,·,x,3,=-6,x,5,.,(2),原式,=-2,xyz,·9,x,4,y,6,=-2×9·,x,·,x,4,·,y,·,y,6,·,z,=-18,x,5,y,7,z,.,(3),原式,= × × (-6)·,a,2,·,a,·,a,3,·,b,·,b,2,·,b,3,c,=4,a,6,b,6,c,.,在進行單項式與單項式的乘法運算時，需注意指數(shù)、系數(shù)、符號不要弄錯，若含有乘方運算，應(yīng)先算乘方，再算乘法,.,單項式乘多項式,法則敘述,字母表示,法則依據(jù),單項式乘,多項式,單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加,p,(,a,+,b,+c)=,pa,+,pb,+,pc,乘法分配律,知識解讀,(1),多項式中的項，必須包含項的系數(shù)符號；,(2),多項式中，如果有“,1”,這一項，一定不要遺漏“,1”,和單項式相乘；,(3),單項式,(,非零,),乘多項式的結(jié)果是多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同,與圖形面積關(guān)系,m,(,a,+,b,+c)=,ma+mb+mc,與長方形的面積的關(guān)系,例,2,計算（,1,）,(4,a,-,b,2,)·(-2,b,);,(2)(-2,xy,),2,·(3,x,3,y,-,x,4,y,+,xy,2,).,解：,(1),原式,=4,a,·(-2,b,)+(-,b,2,)·(-2,b,)=-8,ab,+2,b,3,.,(2),原式,=4,x,2,y,2,·3,x,3,y,+4,x,2,y,2,·(-,x,4,y,)+4,x,2,y,2,·,xy,2,=12,x,5,y,3,-4,x,6,y,3,+4,x,3,y,4,.,計算單項式乘多項式時，符號的確定是關(guān)鍵，可把單項式前及多項式各項前的“,+”,或“,-”,看成性質(zhì)符號，把單項式乘多項式的結(jié)果用“,+”,連接，最后寫成省略“,+”,的代數(shù)式和的形式,.,多項式乘多項式,法則敘述,字母表示,方法思想,多項式乘,多項式,多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加,把多項式相乘的問題轉(zhuǎn)化為單項式乘多項式的問題,知識解讀,(1),多項式中的項，必須包含項的系數(shù)符號；,(2),多項式中，如果有“,1”,這一項，一定不要遺漏“,1”,和單項式相乘；,(3),多項式乘多項式一定要按一定的順序依次相乘,;,(4),多項式乘多項式的結(jié)果可能是多項式，也可能是單項式,與圖形面積關(guān)系,(,a,+,b,)(,m,+,n,)=,am+an+bm+bn,與長方形的面積的關(guān)系,例,3,計算：,(1)(,a,+,b,)(,a,-,b,);,(2)(,a,-,b,)(,a,2,+,ab,+,b,2,);,(3)(-,xy,2,+2,x,2,yz,2,)(,xy,2,z,2,-,xy,+1).,解：（,1,）原式,=,a,2,-,ab,+,ba,-,b,2,=,a,2,-,b,2,.,(2),原式,=,a,3,+,a,2,b,+,ab,2,-,a,2,b,-,ab,2,-,b,3,=,a,3,-,b,3,.,(3),原式,=-,x,2,y,4,z,2,+,x,2,y,3,-,xy,2,+2,x,3,y,3,z,4,-2,x,3,y,2,z,2,+2,x,2,yz,2,.,同底數(shù)冪的除法,法則敘述,字母表示,方法思想,同底數(shù)冪的除法,同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減,a,m,÷,a,n,=,a,m-n,(,a,0,m,n,都是正整數(shù)，并且,m,n,),a,m,-,n,·a,n,=,a,m,(,a,0,m,n,為正整數(shù),，,且,m,n,),知識解讀,法則適用的前提,(1),底數(shù)相同；,(2),除法運算；,(3),a,0,法則運算的結(jié)果,(1),底數(shù)不變；,(2),指數(shù)相減,底數(shù),a,的代表性,可以是單項式或多項式，但,a,的值不為,0,法則的推廣,:,(1),a,m,÷,a,m,=,a,m,-,m,=,a,0,=1(,m,為正整數(shù)，,a,0),，即任何不為,0,的數(shù)的,0,次冪都等于,1,；,(2),a,m,÷,a,n,÷,a,p,=,a,m,-,n,-,p,(,m,n,p,為正整數(shù)，且,m,n,+,p,，,a,0);,法則的逆用,:,a,m,-,n,=,a,m,÷,a,n,(,a,0,，,m,n,為正整數(shù)，且,m,n,).,例,4,計算：,(1)(,x,-,y,),5,÷(,x,-,y,),2,;,(2)(2×10,4,),3,÷(2×10,4,),2,;,(3)(-2,y,),4,÷2,y,·(-2,y,),3,;(4)(-,a,2,b,),3,÷(-,a,2,b,),0,.,解：,(1),原式,=,（,x,-,y,）,5-2,=(,x-y,),3,.,(2),原式,=(2×10,4,),3-2,=2×10,4,.,(3),原式,=(2,y,),4,÷2,y,·(-2,y,),3,=(2,y,),3,·,-(2,y,),3,=-(2,y,),3,·(2,y,),3,= -,（,2y,）,6,=-64,y,6,.,（,4,）原式,=(-,a,2,b,),3,÷1=-,a,6,b,3,.,不是同底數(shù)的冪相除，需先將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相除的形式，在轉(zhuǎn)化的過程中要注意符號是否改變,.,單項式除以單項式,法則敘述,運算步驟,單項式除以單項式,單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式,(1),系數(shù)相除，商為結(jié)果的系數(shù)；,(2),把單項式里同底數(shù)的冪相除，商為結(jié)果里的因式；,(3),被除式中獨有的字母的冪仍為結(jié)果里的因式,知識解讀,(1),系數(shù)商的符號為結(jié)果中單項式的系數(shù)符號；,(2),結(jié)果中單項式字母的排列順序，一般按各個單項式中字母的先后順序，盡量保持不變；,(3),不要遺漏單項式中單個字母的因式；,(4),單項式除以單項式的結(jié)果仍然是單項式,例,5,計算：,(1)(-5,x,4,y,6,)÷ ;,(2)(-3.6×10,10,)÷(-2×10,2,),2,;,(3)4,a,3,m,+1,÷(-8,a,2,m,-1,);,(4)-24,m,5,n,4,÷(-6,m,2,n,2,)÷ .,解：（,1,）原式,=-5÷,x,4-2,y,6-2,=-10,x,2,y,4,.,(2),原式,=,（,-3.6×10,10,）,÷(4×10,4,)= ×10,10-4,=-0.9×10,6,=-9×10,5,.,(3),原式,= ×,a,3,m,+1-(2,m,-1),=-,a,m,+2,.,(4),原式,=-24,m,5,n,4,÷(-6,m,2,n,2,)÷,m,2,n,2,=,·,m,5-2-2,·,n,4-2-2,=16,mn,0,=16,m,.,多項式除以單項式,法則敘述,字母表示,方法思想,多項式除以單項式,多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加,(am+bm+cm)÷m=,a+b+c,轉(zhuǎn)化為單項式相除,知識解讀,(1),多項式中的項，必須包含項的系數(shù)符號；,(2),多項式除以單項式的結(jié)果是多項式，其項數(shù)與被除式中多項式的項數(shù)相同,解：,(,1,),原式,=,=,(,2,),原式,=,=,例,6,計算：,(1),;,(2),.,多項式除以單項式要轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式來解決，利用法則進行運算時，不能漏項，特別是多項式中與除式相同的項，相除的結(jié)果為,1.,運算時要注意符號的變化,.,例,7,計算：,(3,a,2,b,-4,ab,2,-5,ab,-1),·,(-2,ab,2,).,遺漏多項式中項的符號,解：,原式,=3,a,2,b,·,(,-2,ab,2,)-4,ab,2,·,(,-2,ab,2,)-5,ab,·,(,-2,ab,2,)-1,·,(,-2,ab,2,),=,-,6,a,3,b,3,+8,a,2,b,4,+10,a,2,b,3,+2,ab,2,.,(1),由于疏忽大意，運算中易出現(xiàn)冪指數(shù)的計算錯誤；,(2),計算時，忽略多項式中“,1”,的作用,.,例,8,計算：,沒把作為除式的單項式當(dāng)作一個整體,解：,題型一,單項式的乘除,例,9,已知單項式,9,a,m+,1,b,n+,1,與,-2,a,2,m-,1,b,2,n-,1,的積與,5,a,3,b,6,是同類項，求,m,n,的值,.,思路導(dǎo)圖,利用單項式與單項式的乘法法則計算,把結(jié)果與,5,a,3,b,6,比較，令相同字母的指數(shù)相等，建立方程組,解方程組得,m,n,的值,解：,9,a,m+,1,b,n+,1,·,(,-,2,a,2m-,1,b,2,n-,1,),=,9×(-2),·,a,m+,1,·,a,2,m-,1,·,b,n+,1,·,b,2,n-,1,=-,18,a,3m,b,3n,.,因為,-,18,a,3,m,b,3,n,與,5a,3,b,6,是同類項，所以,解得 故,m,n,的值分別是,1,2.,方法點撥,若兩個單項式為同類項，則它們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，利用相等關(guān)系列方程,(,組,),求解即可,.,題型二,整式的乘除,例,10,計算下列各題：,(1)5,x,(,x,2,+,2,x+,1),-,(2,x+,3)(,x-,5);,(2)(2,ab),2,(,a,2,-b,2,),-,(2,a,2,b,2,),2,÷4,b,2,+,4,a,2,b,4,.,思路導(dǎo)圖,利用整式的運算法則計算,有同類項的合并同類項,從而得出最簡結(jié)果,方法點,撥,(1),本題屬于混合運算題，計算順序仍然是先乘除，后加減，有括號的先去括號,.,混合運算的結(jié)果有同類項的需合并同類項，從而得到最簡結(jié)果,.(2),單項式與多項式的每一項都要相乘，不能漏乘,.,解：（,1,）原式,=,（,5,x,3,+10,x,2,+5,x,）,-(2,x,2,-7,x,-15),=5,x,3,+10,x,2,+5,x,-2,x,2,+7,x,+15=5,x,3,+8,x,2,+12,x,+15.,(2),原式,=4,a,2,b,2,(,a,2,-,b,2,)-4,a,4,b,4,÷4,b,2,+4,a,2,b,4,=4,a,4,b,2,-4,a,2,b,4,-,a,4,b,2,+4,a,2,b,4,=3,a,4,b,2,.,題型三,整式的化簡求值,例,11,(1),先化簡，再求值：,3,a,(2,a,2,-,4,a,)-(2,a,2,+,1),·,(3,a+,2),其中,a=,-2;,(2),當(dāng),x,=-16, y=,1,時，,求,(3,x,2,y-,7,xy,2,)÷6,xy-,(15,x,2,-,10,x,)÷10,x-,(9,y,2,+,3,y,)÷(-3,y,),的值,.,思路導(dǎo)圖,利用整式的運算法則,合并同類項，將式子化簡,把,a,x,y,的值分別代入計算，得出結(jié)果,解：,(,1,),原式,將,a,=-2,代入，得,原式,=-16×(-2),2,-3×(-2)-2=-64+6-2=-60.,(,2),原式,將,x,= ,y,=1,代入，得原式,=,方法點,撥,對于整式的化簡求值題，一般是先化簡，再代,入求值,.,在計算時，一定要注意符號的變化,.,題型四,整式的乘除與方程或不等式,例,12,(1),解方程：,2,y,(,y+,1),-y,(3,y-,2),+,2,y,2,=y,2,-2;,(2),解不等式：,3,x,(7,-x,),18-(3,x-,15),x,.,思路導(dǎo)圖,利用整式的運算法則進行計算,移項、合并同類項,得出結(jié)果,解：,(1),整理方程，得,2,y,2,+,2,y-,3,y,2,+,2,y+,2,y,2,=y,2,-,2,即,4,y,=-2,所以,y= .,(2),整理不等式，得,21,x-,3,x,2,18,-,3,x,2,+,15,x,，即,6,x,18,所以,x,3.,方法點,撥,解整式乘除與方程或不等式的綜合題，實質(zhì)是利用整式的運算法則，把方程或不等式轉(zhuǎn)化為簡易方程或不等式求解,.,題型五,整式的乘除與圖形面積,例,13,計算圖,14-1-1,中陰影部分的面積,.,思路導(dǎo)圖,通過面積的割補，表示出陰影部分的面積,方法一：把陰影部分分割成小長方形，用字母表示出陰影部分的面積；方法二：用補全后的大長方形的面積減去空白部分長方形的面積,計算并化簡含有字母的整式，得出陰影部分的面積,圖,14-1-1,解：,(,方法一,),S,陰影,=,b,(3,b+,2,a,)+2,a,·,3,a,=3,b,2,+,2,ab+,6,a,2,.,(,方法二,),S,陰影,=(,b+,3,a)(a+,3,b+a,)-3,b,·,3,a,=(,b+,3,a,)(2,a+,3,b,)-9,ab,=,3,b,2,+,2,ab+,6,a,2,.,方法點,撥,先用含字母的代數(shù)式表示出陰影部分的面積，再利用整式的乘法法則進行計算，最后化簡，從而得出陰影部分的面積,.,題型六,整式的運算結(jié)果中不含有某一項，求待定系數(shù)的值,例,14,計算已知,(x,2,+px+8),與,(,x,2,-3x+q,),的乘積中不含,x,2,項和,x,3,項，求,p,q,的值,.,思路導(dǎo)圖,利用多項式與多項式的乘法法則進行計算,合并同類項并將結(jié)果按,x,的降冪排列,令,x,3,和,x,2,的項的系數(shù)為,0,，建立方程組,解方程組求出,p,q,的值,解：,(,x,2,+px+,8)(,x,2,-3,x+q,),=,x,4,-3,x,3,+qx,2,+px,3,-3,px,2,+pqx+,8,x,2,-24,x+,8,q,=,x,4,+,(,p-,3),x,3,+,(,q,-3,p+,8),x,2,+,(,pq-,24),x+,8,q,.,乘積中不含,x,2,項和,x,3,項,解得,故,p,，,q,的值分別為,3,，,1.,方法點撥,實際上，解答本題時可以不用把兩個多項式直接相乘，由于這兩個多項式乘積中含,x,2,的項可由因式中含,x,2,的項與常數(shù)項的積以及兩因式中的一次項的積，再合并同類項得到，而,x,3,項只能是兩個因式中含,x,2,的項與含,x,的項的積，再合并同類項得到,.,因此，只要找出有關(guān)項相乘，再合并同類項，由題意列出方程或方程組求解即可,.,解讀中考,：,整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的重點知識之一，在中考中所占比例較大，常見題型以選擇題、填空題為主，個別情況下會結(jié)合圖形的排列規(guī)律或式子的規(guī)律考查整式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題，整式的化簡求值是經(jīng)常出現(xiàn)的命題形式。整式的乘除常與解方程,(,組,),、不等式,(,組,),綜合，所以必須掌握好法則，并靈活運用，以達到準(zhǔn)確進行整式的乘除運算的目的,.,考點一,整式的乘法運算,例,15,(,江蘇淮安中考,),下列計算正確的是,(,),A.,a,2,·,a,3,=a,6,B,.(ab),2,=a,2,b,2,C.(,a,2,),3,=a,5,D,.a,2,+a,2,=a,4,解析：,A.,a,2,·a,3,=a,5,此選項錯誤；,B.(,ab,),2,=,a,2,b,2,，此選 項正確,;C.(,a,2,),3,=,a,6,，此選項錯誤；,D.,a,2,+,a,2,=2,a,2,此選項錯誤,.,故選,B.,B,例,16,(,甘肅定西中考,),計算：,(-5,a,4,)·(-8,ab,2,)= _.,解析,：,(-5,a,4,)·(-8,ab,2,)=40,a,5,b,2,.,40,a,5,b,2,例,17,(,北京中考,),圖,14-1-2,中的四邊形均為長方形，根據(jù)圖形，寫出一個正確的等式：,_.,圖,14-1-2,答案：,m,(,a,+,b,+,c,)=,ma+mb+mc,(,答案不唯一,),m,(,a,+,b,+,c,)=,ma,+,mb,+,mc,例,18,(,浙江寧波中考,),先化簡，再求值：,(,x+,1),·,(,x-,1),+x,(3,-x,),其中,x=,2,.,解：原式,=,x,2,-x+x,-1,+,3,x-x,2,=,3,x,-1.,當(dāng),x,=2,時，,原式,=3×2-1=5.,考點二 整式的除法運算,例,19,(,四川巴中中考,),下列計算正確的是,(,),A.(,a,2,b,),2,=,a,2,b,2,B.,a,6,÷a,2,=a,3,C.(3,xy,2,),2,=6,x,2,y,4,D.(-,m,),7,÷(-,m,),2,=-,m,5,D,例,20,(,湖北武漢中考,),下列計算正確的是,(,),A.,a·a,2,=a,2,B.,2a·a=2a,2,C,.(2a,2,),2,=2a,4,D.,6a,8,÷3a,2,=2a,4,解析：,A.,a,·,a,2,=a,3,此選項錯誤,;B.,2a,·,a,=2,a,2,，此選項正確；,C.(2,a,2,),2,=4,a,4,此選項錯誤；,a,8,÷3,a,2,=2,a,6,，此選項錯誤,.,故選,B.,B,例,21,(,陜西中考,),下列計算正確的是,(,),A.,x,2,+,3,x,2,=,4,x,4,B.,x,2,y,·,2,x,3,=,2,x,4,y,C.(6,x,2,y,2,),÷,(3,x,),=,2,x,2,D.(,-,3,x,),2,=,9,x,2,解析：,A.,x,2,+,3,x,2,=,4,x,2,，此選項錯誤；,B.,x,2,y·,2,x,3,=,2,x,5,y,，,此選項錯誤,；,C.(6,x,2,y,2,)÷(3,x,)=2,xy,2,，,此選項錯誤,；,D.(-3,x,),2,=9,x,2,，,此選項正確,.,故選,D.,D,考點三 實數(shù)運算中的零指數(shù)冪,例,22 (,廣東茂名中考,),計算：,解：原式,=,例,23,在日歷上，可以看到一些數(shù)字所滿足的某些規(guī)律，圖,14-1-3,是,2016,年,11,月份的日歷,.,(1),我們?nèi)我膺x擇如圖,14-1-3(1),中的陰影部分，將其中每個陰影部分的,4,個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，發(fā)現(xiàn)：,3×9-2×10=7,，,15×21-14×22=7,，想一想能否用代數(shù)式的運算加以說明,.,(2),如果選擇圖,14-1-3(2),中的陰影部分，那么其中的,4,個數(shù)又有什么規(guī)律呢？先計算表格中的數(shù)據(jù)，寫出規(guī)律，再用代數(shù)式的運算加以說明,.,(1),(2),核心素養(yǎng),圖,14-1-3,解：,(,1),設(shè)每個陰影部分最小的數(shù)為,x,.,根據(jù)題意，得,(,x+,1)(,x+,7),-x,(,x+,8),=x,2,+,7,x+x+,7,-x,2,-8,x=,7,，,則每個陰影部分的,4,個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減的差為,7.,(2),圖,14-1-3(2),中的,4,個數(shù)有：,3×8-2×9=6,；,19×24-18×25=6.,設(shè)每個陰影部分最小的數(shù)為,y,.,根據(jù)題意,得,(,y+,1)(,y+,6)-,y,(,y+,7)=,y,2,+,6,y+y+,6,-y,2,-,7,y,=6.,規(guī)律：每個陰影部分的,4,個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減的差為,6,.,