初中數(shù)學 數(shù)與式 總復習

初中數(shù)學 數(shù)與式 總復習實數(shù)的有關概念 (1)實數(shù)的組成 注意：1.最簡分數(shù)是有理數(shù)。2. 、最簡根式、e 等是無理數(shù)。 (2)數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一個不可)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。數(shù)軸上任一點對應的數(shù)總大于這個點左邊的點對應的數(shù)， (3)相反數(shù) 實數(shù)的相反數(shù)是一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零) 從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關于原點對稱 (4)絕對值 從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離 (5)倒數(shù) 實數(shù)a(a0)的倒數(shù)是(乘積為1的兩個數(shù)，叫做互為倒數(shù))；零沒有倒數(shù)【例題經(jīng)典】理解實數(shù)的有關概念例1 a的相反數(shù)是-,則a的倒數(shù)是_實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示: 則化簡b-a+=_去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學記數(shù)法表示為約_【點評】本大題旨在通過幾個簡單的填空，讓學生加強對實數(shù)有關概念的理解例2.(-2)3與-23( ) (A)相等 (B)互為相反數(shù) (C)互為倒數(shù) (D)它們的和為16分析：考查相反數(shù)的概念，明確相反數(shù)的意義。例3.-的絕對值是 ；-3 的倒數(shù)是 ；的平方根是 分析：考查絕對值、倒數(shù)、平方根的概念，明確各自的意義，不要混淆。答案：，-2/7，2/3例4.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是 ( ) A-3與 B-3與一 C-3與 D-3與分析：本題考查相反數(shù)和絕對值及根式的概念掌握實數(shù)的分類例1 下列實數(shù)、sin60、（）0、3.14159、-、（-）-2、中無理數(shù)有（ ）個 A1 B2 C3 D4【點評】對實數(shù)進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據(jù)結果去判斷實數(shù)的運算 (1)加法 同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加； 異號兩數(shù)相加。取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值； 任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。 (2)減法 a-b=a+(-b) (3)乘法 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零即 (4)除法 (5)乘方 (6)開方 如果x2a且x0，那么x； 如果x3=a，那么在同一個式于里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減有括號時，先算括號里面3實數(shù)的運算律 (1)加法交換律 a+bb+a (2)加法結合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交換律 abba (4)乘法結合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意實數(shù)運用運算律有時可使運算簡便【例題經(jīng)典】例1、若家用電冰箱冷藏室的溫度是4，冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低22，則冷凍室的溫度（）可列式計算為 A 422 18 22418 22（4）26 42226點評：本題涉及對正負數(shù)的理解、簡單的有理數(shù)運算，試題以應用的方式呈現(xiàn)，同時也強調(diào)“列式”，即過程。例2我國宇航員楊利偉乘“神州五號”繞地球飛行了14周，飛行軌道近似看作圓，其半徑約為671103千米，總航程約為(取314，保留3個有效數(shù)字) ( ) A590 105千米 B590 106千米 C589 105千米 D589106千米分析：本題考查科學記數(shù)法 例3.化簡的結果是( )(A)-2 (B) +2 (C)3(-2) (D)3(+2)分析：考查實數(shù)的運算。例4.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子中正確的有( ) b+c>0a+b>a+cbc>acab>ac(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個分析：考查實數(shù)的運算，在數(shù)軸上比較實數(shù)的大小。例5 計算：-+（-2）2（-1）0- 【點評】按照運算順序進行乘方與開方運算。例5.校學生會生活委員發(fā)現(xiàn)同學們在食堂吃午餐時浪費現(xiàn)象十分嚴重，于是決定寫一張標語貼在食堂門口，告誡大家不要浪費糧食請你幫他把標語中的有關數(shù)據(jù)填上(已知1克大米約52粒) 如果每人每天浪費1粒大米，全國13億人口，每天就要大約浪費 噸大米分析：本題考查實數(shù)的運算。例7.陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級或二級臺階，玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當樓梯的臺階數(shù)為一級、二級、三級逐步增加時，樓梯的上法數(shù)依次為：1，2，3，5，8，13，21，(這就是著名的斐波那契數(shù)列)請你仔細觀察這列數(shù)中的規(guī)律后回答：上10級臺階共有 種上法分析：歸納探索規(guī)律：后一位數(shù)是它前兩位數(shù)之和例8.觀察下列等式(式子中的“!”是一種數(shù)學運算符號) 1!=1，2!=21，3!=321，4!=4321，計算：= 分析：閱讀各算式，探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)100！=100*99*98！ 整 式【回顧與思考】知識點代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項、合并同類項、去括號與去括號法則、冪的運算法則、整式的加減乘除乘方運算法則、乘法公式、正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪。大綱要求考查重點1代數(shù)式的有關概念 (1)代數(shù)式：代數(shù)式是由運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式 (2)代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果p叫做代數(shù)式的值 求代數(shù)式的值可以直接代入、計算如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值(3)代數(shù)式的分類2整式的有關概念1、 單項式的有關概念（1） 單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字母也叫做單項式。例如： 注意：單項式不含加減運算，只含字母與字母或字母的乘法（包括乘方）運算（2） 單項式的系數(shù)：單項式中數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。例如：單項式的系數(shù)分別是，當單項式系數(shù)是1或1時，“1”通常省略不寫，如就是，系數(shù)是1；就是，系數(shù)是1.（3） 單項式的次數(shù)（指數(shù)）：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如的次數(shù)是1，的次數(shù)是2+3+16；數(shù)學的次數(shù)是0，如3，9等可以當作0次單項式。一個單項式的次數(shù)是幾就叫做幾次單項式，如中，與的指數(shù)和為4，則是四次單項式。例1：指出下列各單項式的系數(shù)和次數(shù) 提示：圓周率是常數(shù)，當單項式中含有時，是單項式的系數(shù)，且在計算單項式的次數(shù)時應注意不要加上的指數(shù)。2、 多項式的有關概念（1） 多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。如是多項式，它的項分別是，和5，其中5是常數(shù)項。（2） 多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)。如的次為是3，即“”的次數(shù)。一個多項式中含有幾項，最高次數(shù)是幾次就叫幾次幾項式。如叫做四次三項式。在多項中，含有字母的項的次數(shù)是幾次就叫做幾次項。如中，就是它的三次項，二次項是，一次項是b，常數(shù)項是5.3、 整式的概念 單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。判斷一個式子是不是整式應注意幾點（1）分母不含字母；（2）根號里面不含字母整式 單項式代數(shù)式 多項式分式 根式 (1)單項式：只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式 對于給出的單項式，要注意分析它的系數(shù)是什么，含有哪些字母，各個字母的指數(shù)分別是什么。 (2)多項式：幾個單項式的和，叫做多項式對于給出的多項式，要注意分析它是幾次幾項式，各項是什么，對各項再像分析單項式那樣來分析(3)多項式的降冪排列與升冪排列 把一個多項式技某一個字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列 把個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來，叫做把這個多項式技這個字母升冪排列， 給出一個多項式，要會根據(jù)要求對它進行降冪排列或升冪排列 (4)同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類頃 要會判斷給出的項是否同類項，知道同類項可以合并即 其中的X可以代表單項式中的字母部分，代表其他式子。3整式的運算 (1)整式的加減：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接整式加減的一般步驟是： (i)如果遇到括號按去括號法則先去括號：括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉。括號里各項都不變符號，括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉括號里各項都改變符號 (ii)合并同類項： 同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)字母和字母的指數(shù)不變 (2)整式的乘除：單項式相乘(除)，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘(除)，對于只在一個單項式(被除式)里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積(商)的一個因式相同字母相乘(除)要用到同底數(shù)冪的運算性質： 多項式乘(除)以單項式，先把這個多項式的每一項乘(除)以這個單項式，再把所得的積(商)相加 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加 遇到特殊形式的多項式乘法，還可以直接算： (3)整式的乘方 單項式乘方，把系數(shù)乘方，作為結果的系數(shù)，再把乘方的次數(shù)與字母的指數(shù)分別相乘所得的冪作為結果的因式。 單項式的乘方要用到冪的乘方性質與積的乘方性質： 多項式的乘方只涉及 【例題經(jīng)典】代數(shù)式的有關概念例1、已知1b0， 0a1，那么在代數(shù)式ab、a+b、a+b2、a2+b中，對任意的a、b，對應的代數(shù)式的值最大的是（ ）(A) a+b (B) ab (C) a+b2 (D) a2+b評析：本題一改將數(shù)值代人求值的面貌，要求學生有良好的數(shù)感。同類項的概念例1 若單項式2am+2nbn-2m+2與a5b7是同類項，求nm的值【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得 解出即可。例2 一套住房的平面圖如右圖所示，其中衛(wèi)生間、廚房的面積和是（ ）A4xy 3xy 2xy xy評析：本題是一道數(shù)形結合題，考查了平面圖形的面積的計算、合并同類項等知識，同時又隱含著對代數(shù)式的理解。冪的運算性質例1（1）aman=_（m，n都是正整數(shù)）；（2）aman=_（a0，m，n都是正整數(shù)，且m>n），特別地：a0=1（a0），a-p=（a0，p是正整數(shù)）；（3）（am）n=_（m，n都是正整數(shù)）；（4）（ab）n=_（n是正整數(shù)）（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_（6）完全平方公式：（ab）2=_【點評】能夠熟練掌握公式進行運算.例2.下列各式計算正確的是( ) (A)(a5)2=a7 (B)2x-2= (c)4a32a2=8a6 (D)a8a2=a6分析：考查學生對冪的運算性質及同類項法則的掌握情況。例3.下列各式中，運算正確的是 ( ) Aa2a3=a6 B(-a+2b)2=(a-2b)2 c(a+bO) D分析：考查學生對冪的運算性質 例4、(泰州市)下列運算正確的是A ; B(2x)3=2x3 ;C(ab)(ab)=a22abb2 ; D評析：本題意在考查學生冪的運算法則、整式的乘法、二次根式的運算等的掌握情況。整式的化簡與運算例5 計算：9xy(-x2y)= ；先化簡，再求值：（x-y）2+（x+y）（x-y）2x其中x=3，y=-15【點評】本例題主要考查整式的綜合運算，學生認真分析題目中的代數(shù)式結構，靈活運用公式，才能使運算簡便準確【回顧與思考】因式分解考查重點與常見題型考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。因式分解知識點 多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多項式其中m叫做這個多項式各項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式 (2)運用公式法，即用 寫出結果 (3)十字相乘法對于二次項系數(shù)為l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則對于一般的二次三項式尋找滿足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則 (4)分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變符號.(5)求根公式法：如果有兩個根X1，X2，那么 【例題經(jīng)典】掌握因式分解的概念及方法例1、分解因式： x3-x2=_; x2-81=_; x2+2x+1=_; a2-a+=_; a3-2a2+a=_.【點評】運用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來解答即可。例2.把式子x2-y2-xy分解因式的結果是 分析：考查運用提公因式法進行分解因式。例3.分解因式：a24a+4= 分析：考查運用公式法分解因式。分 式1考查整數(shù)指數(shù)冪的運算，零運算，有關習題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中，如：下列運算正確的是（ ）（A）-40 =1 (B) (-2)-1= (C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-12.考查分式的化簡求值。在中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)分式的計算就或化簡求值，有關習題多為中檔的解答題。注意解答有關習題時，要按照試題的要求，先化簡后求值，化簡要認真仔細，如： 化簡并求值：. +(2),其中x=cos30,y=sin90知識要點1分式的有關概念 設A、B表示兩個整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式如果分子分母有公因式，要進行約分化簡2、分式的基本性質 （M為不等于零的整式）3分式的運算 (分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似) (異分母相加，先通分)； 4零指數(shù) 5負整數(shù)指數(shù) 注意正整數(shù)冪的運算性質 可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負整數(shù)熟練掌握分式的概念：性質及運算例4 （1）若分式的值是零，則x=_ 【點評】分式值為0的條件是：有意義且分子為0 （2）同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是（ ） Ax-4且x-2 Bx=-4或x=2 Cx=-4 Dx=2 （3）如果把分式中的x和y都擴大10倍，那么分式的值（ ） A擴大10倍 B縮小10倍 C不變 D擴大2倍例5：化簡()的結果是 分析：考查分式的混合運算，根據(jù)分式的性質和運算法則。例6.已知a=，求的值分析：考查分式的四則運算，根據(jù)分式的性質和運算法則，分解因式進行化簡。例7.已知|a-4|+ =0，計算的值答案：由條件，得a-4=0且b-9=0 a=4 b=9原式=a2/b2例8.計算(xy+)(x+y-)的正確結果是( ) A y2-x2 B.x2-y2 cx2-4y2 D4x2-y2 分析：考查分式的通分及四則運算。因式分解與分式化簡綜合應用例1 先化簡代數(shù)式：，然后選取一個使原式有意義的x的值代入求值 【點評】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無意義例2、有一道題“先化簡，再求值：，其中?！毙×嶙鲱}時把“”錯抄成了“”，但她的計算結果也是正確的，請你解釋這是怎么回事？點評：化簡可發(fā)現(xiàn)結果是，因此無論還是其計算結果都是7。 可見現(xiàn)在的考試特別重視應用和理解?！净仡櫯c思考】內(nèi)容分析 1二次根式的有關概念 (1)二次根式 式子叫做二次根式注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或O (2)最簡二次根式 被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式 (3)同類二次根式 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式 2二次根式的性質 3二次根式的運算 (1)二次根式的加減 二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類三次根式分別合并 (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各個因式的被開方數(shù)的積的算術平方根，即 二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進行 兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個三次根式互為有理化因式 (3)二次根式的除法 二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號化去(或分子、分母約分)把分母的根號化去，叫做分母有理化考查重點與常見題型1.考查平方根、算術平方根、立方根的概念。有關試題在試題中出現(xiàn)的頻率很高，習題類型多為選擇題或填空題。2.考查最簡二次根式、同類二次根式概念。有關習題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中。3.考查二次根式的計算或化簡求值，有關問題在中考題中出現(xiàn)的頻率非常高，在選擇題和中檔解答題中出現(xiàn)的較多?！纠}經(jīng)典】理解二次根式的概念和性質例1 （1）式子有意義的x取值范圍是_ 【點評】從整體上看分母不為零，從局部看偶次根式被開方數(shù)為非負 （2）已知a為實數(shù)，化簡 【點評】要注意挖掘其隱含條件：a<0掌握最簡二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法例2下列根式中能與合并的二次根式為（ ） A 【點評】抓住最簡二次根式的條件，結合同類二次根式的概念去解決問題掌握二次根式化簡求值的方法要領例3 先化簡，再求值: 若a=4+，b=4-，求 【點評】注意對求值式子進行變形化簡約分，再對已知條件變形整體代入14