2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七篇 不等式 第2講　一元二次不等式及其解法教案 理 新人教版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七篇 不等式 第2講一元二次不等式及其解法教案 理 新人教版【xx年高考會(huì)這樣考】1會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型2考查一元二次不等式的解法及其“三個(gè)二次”間的關(guān)系問(wèn)題3以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問(wèn)題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1結(jié)合“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系，掌握一元二次不等式的解法2熟練掌握分式不等式、無(wú)理不等式、含絕對(duì)值不等式、高次不等式、指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法基礎(chǔ)梳理1一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集2一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2一個(gè)技巧一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的確定受a的符號(hào)、b24ac的符號(hào)的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系，可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集若一元二次不等式經(jīng)過(guò)不等式的同解變形后，化為ax2bxc0(或0)(其中a0)的形式，其對(duì)應(yīng)的方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，(x1x2)(此時(shí)b24ac0)，則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”求解集 兩個(gè)防范(1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況；(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)不等式x23x20的解集為()A(，2)(1，) B(2，1)C(，1)(2，) D(1,2)解析(x1)(x2)0，1x2.故原不等式的解集為(1,2)答案D2(2011廣東)不等式2x2x10的解集是()A. B(1，)C(，1)(2，) D.(1，)解析2x2x1(x1)(2x1)0，x1或x.故原不等式的解集為(1，)答案D3不等式9x26x10的解集是()A. B.C. DR解析9x26x1(3x1)20，9x26x10的解集為.答案B4(xx許昌模擬)若不等式ax2bx20的解集為，則ab()A28 B26 C28 D26解析x2，是方程ax2bx20的兩根，a4，b7.ab28.答案C5不等式ax22ax10對(duì)一切xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析當(dāng)a0時(shí)，不等式為10恒成立；當(dāng)a0時(shí)，須即0a1，綜上0a1.答案0,1考向一一元二次不等式的解法【例1】已知函數(shù)f(x)解不等式f(x)3.審題視點(diǎn) 對(duì)x分x0、x0進(jìn)行討論從而把f(x)3變成兩個(gè)不等式組解由題意知或解得：x1.故原不等式的解集為x|x1 解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定判別式的符號(hào)；(3)若0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根，若0，則對(duì)應(yīng)的二次方程無(wú)根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可立即寫(xiě)出不等式的解集【訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)log3(32xx2)的定義域?yàn)開(kāi)解析依題意知解得1x3.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3)答案1,3)考向二含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】求不等式12x2axa2(aR)的解集審題視點(diǎn) 先求方程12x2axa2的根，討論根的大小，確定不等式的解集解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得：x1，x2.a0時(shí)，解集為；a0時(shí)，x20，解集為x|xR且x0；a0時(shí)，解集為.綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|xR且x0；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為. 解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：(1)二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式【訓(xùn)練2】 解關(guān)于x的不等式(1ax)21.解由(1ax)21，得a2x22ax0，即ax(ax2)0，當(dāng)a0時(shí)，x.當(dāng)a0時(shí)，由ax(ax2)0，得a2x0，即0x.當(dāng)a0時(shí)，x0.綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，不等式解集為空集；當(dāng)a0時(shí)，不等式解集為；當(dāng)a0時(shí)，不等式解集為.考向三不等式恒成立問(wèn)題【例3】已知不等式ax24xa12x2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍審題視點(diǎn) 化為標(biāo)準(zhǔn)形式ax2bxc0后分a0與a0討論當(dāng)a0時(shí)，有解原不等式等價(jià)于(a2)x24xa10對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，顯然a2時(shí)，解集不是R，因此a2，從而有整理，得所以所以a2.故a的取值范圍是(2，) 不等式ax2bxc0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a0時(shí)，b0，c0；當(dāng)a0時(shí)，不等式ax2bxc0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a0時(shí)，b0，c0；當(dāng)a0時(shí)，【訓(xùn)練3】 已知f(x)x22ax2(aR)，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍解法一f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xa.當(dāng)a(，1)時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；當(dāng)a1，)時(shí)，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為3,1法二令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.所求a的取值范圍是3,1規(guī)范解答12怎樣求解含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題【問(wèn)題研究】 含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題越來(lái)越受高考的青睞，且由于新課標(biāo)對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強(qiáng)，這些不等式恒成立問(wèn)題往往與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題交織在一起，在近年的高考試題中不難看出這個(gè)基本的命題趨勢(shì).對(duì)含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，破解的方法主要有：分離參數(shù)法和函數(shù)性質(zhì)法.【解決方案】 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將恒成立問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.【示例】(本題滿分14分)(2011浙江)設(shè)函數(shù)f(x)(xa)2ln x，aR.(1)若xe為yf(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x(0,3e，恒有f(x)4e2成立注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 本題對(duì)于(1)問(wèn)的解答要注意對(duì)于結(jié)果的檢驗(yàn)，因?yàn)閒(x0)0，x0不一定是極值點(diǎn)；對(duì)于(2)問(wèn)的解答可以采用分離參數(shù)求最值的方法進(jìn)行突破，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為單邊求最值，相對(duì)分類討論求解要簡(jiǎn)單的多解答示范 (1)求導(dǎo)得f(x)2(xa)ln x(xa)(2ln x1)(2分)因?yàn)閤e是f(x)的極值點(diǎn)，所以f(e)(ea)0，解得ae或a3e.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以ae或a3e.(4分)(2)當(dāng)0x1時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，恒有f(x)04e2成立(5分)當(dāng)1x3e時(shí)，由題意，首先有f(3e)(3ea)2ln(3e)4e2，解得3ea3e(6分)由(1)知f(x)xa.(8分)令h(x)2ln x1，則h(1)1a0，h(a)2ln a0，且h(3e)2ln(3e)12 ln(3e)120.(9分)又h(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x)在(0，)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x0，則1x03e,1x0a.從而，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)0.即f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x0，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a，)內(nèi)單調(diào)遞增所以要使f(x)4e2對(duì)x(1,3e恒成立，只要成立(11分)由h(x0)2ln x010，知a2x0ln x0x0.(3)將(3)代入(1)得4xln3x04e2.又x01，注意到函數(shù)x2ln3x在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增，故1x0e.再由(3)以及函數(shù)2xln xx在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增，可得1a3e.由(2)解得，3ea3e.所以3ea3e.(13分)綜上，a的取值范圍為3ea3e.(14分) 本題考查函數(shù)極值的概念，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生推理論證能力分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力難度較大，做好此類題目，一要有信心，二要結(jié)合題意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，化難為易，化陌生為熟悉【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1，若對(duì)于任意x1,1，都有f(x)0成立，求實(shí)數(shù)a的值嘗試解答(1)若x0，則不論a取何值，f(x)10恒成立(2)若x0，即x(0,1時(shí)，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減g(x)maxg4，從而a4.(3)若x0，即x1,0)時(shí)，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)h(x)，則h(x)，h(x)在1,0)上單調(diào)遞增h(x)minh(1)4，從而a4.綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為4.