2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題(含答案解析)

幾何證明壓軸題(中考)1、如圖，在梯形 ABCD 中，AB /CD, / BCD=90 ，且 AB=1 , BC=2, tan/ADC=2.(1)求證：DC=BC;(2) E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且/ EDC=/FBC, DE=BF ,試判斷 ECF的形 狀，并證明你的結(jié)論；(3)在(2)的條件下，當(dāng) BE: CE=1 : 2, / BEC=135 時，求 sin/BFE 的值.BCD 90翁軍析(1)過A作DC的垂線AM交DC于M,則 AM=BC=2.2又 tan / ADC=2所以 DM 1.即 DC=BC.2(2)等腰三角形.證明：因為 DE DF, EDC FBC,DC BC .所以， DE隼 BFC所以，CE CF, ECD BCF .所以， ECF BCF BCE ECD BCE即 ECF是等腰直角三角形.(3)設(shè) BE k,則 CE CF 2k,所以 EF 2 J2k.因為 BEC 135 ,又 CEF 45 ,所以 BEF 90所以 BF ,k2 (2.2k)2 3kk 1所以 sin BFE - -.3k 3BD是對角線，AG / DB2、已知：如圖，在 DABCD 中，E、F分別為邊 AB、CD的中點,交CB的延長線于G.(1)求證： ADEA CBF;(2)若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形 AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.解析 (1)二.四邊形 ABCD是平行四邊形, ./ 1=/ C, AD = CB, AB = CD . 點E、F分別是AB、CD的中點， - AE= 1 AB , CF= 1CD . 22AE = CFADEA CBF .(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形. 四邊形ABCD是平行四邊形，AD / BC . AG / BD ,.四邊形AGBD是平行四邊形.四邊形BEDF是菱形，. DE=BE .AE = BE ,. AE = BE = DE .1=7 2, / 3=/ 4. / 1+Z 2+Z 3+Z 4=180 , .2/2+2/3=180 .2+Z 3= 90 .即/ ADB =90 .四邊形AGBD是矩形3、如圖131, 一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD 一起.現(xiàn)正方形 ABCD保持不動，將三角尺 GEF繞斜邊EF的中點O 按順時針方向旋轉(zhuǎn).(1)如圖132,當(dāng)EF與AB相交于點 M, GF與BD相交于點的兩條邊分別重合在 (點O也是BD中點)N時，通過觀察或測量BM, FN的長度，猜想BM, FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖133所示的位置時，線段 FE的延長線與AB的延長 線相交于點M,線段BD的延長線與GF的延長線相交于點 N,此時，(1)中的猜 想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.圖 13 1圖 13 2圖 13-3解析BM=FN.證明:. GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形,(2)(3)/ABD =/F =45 又. / BOM=Z FON,OB = OF.AOBMA OFN .BM=FN.BM = FN仍然成立.證明：. GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形, ./DBA=/GFE=45 , OB = OF. ./ MBO = Z NFO=135 .又. / MOB = /NOF, AOBMA OFN .BM = FN.4、如圖，已知。O的直徑AB垂直于弦 CD于E,連結(jié) AD、BD、OC、OD,且OD=5。(1)若 sin / BAD 3 ,求 CD 的長；5(2)若/ADO : / EDO =4: 1,求扇形OAC (陰影部分)的面積(結(jié)果保留)。解析(1)因為AB是。O的直徑，OD = 5所以/ ADB = 90 , AB = 10BD在 RtAABD 中，sin/BAD AB又sin/BAD 3 ,所以 股 3 ,所以BD 65105AD . AB2 BD 2102 62 8因為/ ADB = 90 , AB XCD所以 DE - AB AD BD , CE DE所以DE 10 8 6所以DE 24 5所以 CD 2DE 48 5(2)因為AB是。的直徑，ABXCDc c c c所以 CB BD , AC AD所以/ BAD = / CDB , / AOC = / AOD因為 AO = DO ,所以/ BAD = / ADO所以/ CDB =/ ADO設(shè)/ ADO = 4x,則/ CDB = 4x由/ ADO : / EDO = 4: 1,則/ EDO=x因為/ ADO +Z EDO + Z EDB =90所以 4x 4x x 90所以x=10所以/AOD =180 (/ OAD + /ADO) = 100所以/ AOC =Z AOD = 100S扇形OAC10036052125185、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓。上一點，CHXAB于點H ,直線AC與過B點的切線相交于點 D, E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F,直線CF交直線AB于點G.(1)求證：點F是BD中點；(2)求證：CG是。的切線；(3)若FB=FE=2 ,求。O的半徑.解析證明：I CH AB , DBX, .AEHsAFB, ACEsadfEHBFAE CE , HE= EC, .1. BF = FDAF FD(2)方法一：連接 CB、OC,. AB是直徑，ACB =90 -F是BD中點，/ BCF= / CBF=90 -/ CBA= / CAB= / ACO/ OCF=90 ,. CG 是O O 的切線6 方法二：可證明 OCFA OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分)解：由 FC=FB=FE 得：/ FCE=/FEC可證得：FA=FG,且AB = BG由切割線定理得：(2+FG) 2=BGXAG=2BG2 Q在RHBGF中，由勾股定理得：BG2 = FG2 BF2由O、Q 得：FG2-4FG-12=0解之得：FGi = 6, FG2=2(舍去).AB =BG= 4再.O O半徑為2垃6、如圖，已知 O為原點，點A的坐標(biāo)為(4, 3),OA的半徑為2.過A作直線l平行于X軸，點P在直線l上運動.(1)當(dāng)點P在O O上時，請你直接寫出它的坐標(biāo);(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12,試判斷直線 OP與。A的位置關(guān)系芳說明理由解析解：點P的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3）作AC OP, C為垂足. / ACP=/OBP= 90,/1 = / 1 ACPA OBP,AC AP OB OP在 Rt obp 中，op Job2 bp2AC= 24153 1.941.94<2OP與。A相交.1A53,又 AP=12-4=8,AC 83.1537、如圖，延長。O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線, 垂足為點C.求證：/ACB=1/OAC.3解析 證明：連結(jié) OE、AE,并過點 A作AFXDE于點: DE是圓的一條切線，E是切點，/. OEXDC,又 ; BCXDE,/. OE / AF / BC. ./1 = /ACB, /2=/3. ; OA=OE ,. /4=/3./. /4=/2.又點A是OB的中點，點F是EC的中點.AE=AC./. /1 = /2./4=/2=/ 1.-1即/ACB= /OAC.3ON上，梯子與地面的傾8、如圖1 , 一架長 4米的梯子AB斜靠在與地面 OM垂直的墻壁斜角a為60 .求AO與BO的長；若梯子頂端 A沿NO下滑，同時底端 B沿OM向右滑行.如圖2,設(shè)A點下滑到C點，B點向右滑行到 D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米；如圖3,當(dāng)A點下滑到A點，B點向右滑行到B點時，梯子AB的中點P也隨之運 動到P點.若/ POP = 15，試求AA的長.解析OA設(shè)OC Rt AOB 中，/O=90, Z a =60, / OAB=30，又AB= 4米，-1OB AB2AB sin 60oAC 2x,BD 2.3 2x,OD2米.42>/3 米.-23x,在 Rt COD 中,根據(jù)勾股定理：OC3x, CD 4（3分）圖10D圖22 ,3 2x 2 13x212 8.3- x 013x8,3 12 x 1316 3 24AC=2x=13OD22 3xCD242（5分）128,3（7分）即梯子頂端A沿NO下滑了 16向 24米.13（8 分）二點P和點P分別是Rt AOB的斜邊 AB與Rt AOB的斜邊AB的中點 PA PO PAO PAO PAO PAO ： PAOP A AOP, PAO PAO30o45oPOPAOAOPPOPAOP -AOP 15o-（9 分） （10 分）（11 分）圖3 AO A B cos45o 4 -2 2.22AA OA AO （273 272）米.-（12 分）（13 分）