高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列課件 湘教版.ppt

第五章 數(shù) 列,5.1 數(shù)列的概念與簡單表示 5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 5.4 數(shù)列求和 5.5 數(shù)列模型的應(yīng)用 5.6 數(shù)列綜合性問題,5.1 數(shù)列的概念與簡單表示,1.數(shù)列的概念 按照 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，一般用 表示.,一定順序,2.數(shù)列的分類,有限,無限,=,正整數(shù)集N*(或N*的有限子集1,2,3,，n),函數(shù)值,解析法,圖象法,列表法,序號n,由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng),1.由所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征： （1）分式中分子、分母的特征； （2）相鄰項(xiàng)的變化特征； （3）拆項(xiàng)后的特征； （4）各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.,2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對于正負(fù)符號變化，可用（-1）n或（-1）n+1來調(diào)整. 3.觀察、分析問題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，觀察出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列（如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等）轉(zhuǎn)換而使問題得到解決.,由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式,【變式訓(xùn)練】2.已知下面數(shù)列an的遞推關(guān)系和前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式： (1)Sn3nb； （2）a11，an13an2，求an.,【解析】(1) a1S13b， 當(dāng)n2時，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1. 當(dāng)b1時，a1適合此等式.當(dāng)b1時，a1不適合此等式. 當(dāng)b1時，an23n1； 當(dāng)b1時，an 3b，n1， 23n1，n2.,數(shù)列的性質(zhì)研究,1.數(shù)列的概念及簡單表示 數(shù)列中的數(shù)是有序的,要注意辨析數(shù)列的項(xiàng)和數(shù)集中元素的異同;數(shù)列的簡單表示要類比函數(shù)的表示方法來理解.數(shù)列an可以看成是以正整數(shù)集N*（或N*的有限子集1,2,3，n）為定義域的函數(shù)an=f（n），當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.,2.由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出其通項(xiàng)公式 據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時,需仔細(xì)觀察分析,抓住其幾方面的特征:（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項(xiàng)的變化特征；（3）拆項(xiàng)后的特征；（4）各項(xiàng)符號特征和絕對值特征，并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.,通過對近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出,本節(jié)主要考查數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、求通項(xiàng)公式、an與Sn的關(guān)系.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時，通常將其變形成等差數(shù)列、等比數(shù)列或與函數(shù)的周期性等有關(guān)的問題.,(2013全國新課標(biāo)卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為 .,【規(guī)范解答】由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)， 知a1a100，a1a15 . 兩式相減，得a15a10 5d，所以d ，a13. 所以nSnnna1 d . 令f(x) ，x0， 則f(x) x(3x20)，由函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f(x)在x 時取得最小值，檢驗(yàn)n6時，6S648，而n7時，7S749，故nSn的最小值為49.,【閱后報告】本題求出的nSn的表達(dá)式可以看作是一個定義在正整數(shù)集N*上的三次函數(shù)，因此可以采用導(dǎo)數(shù)法求解.,3.(2014全國新課標(biāo)卷)數(shù)列an滿足an1 ，a82，則a1 . 【解析】由題易知a8 2，得a7 ； a7 ，得a61； a6 1，得a52， 于是可知數(shù)列an具有周期性，且周期為3，所以a1a7 . 【答案】,課 時 作 業(yè),5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,2,同一個常數(shù),公差,A,2.在等差數(shù)列an中，已知a47，a3a616，an31，則n為( ) A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】由已知可得a4a57a5a3a616，得a51679，故公差da5a4972，同時解得a11，由1(n1)231，解得n16. 【答案】D,3.(2014荊州高三調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，且S1060，則S20( ) A.80 B.160 C.320 D.640,4.(2014武漢高三聯(lián)考)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大的n是 . 【解析】a1a3a5105a335，a2a4a699a433，則an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此當(dāng)Sn取得最大值時，n20. 【答案】20,等差數(shù)列的判斷與證明,等差數(shù)列的基本運(yùn)算,等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,【變式訓(xùn)練】3.在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2). (1)證明數(shù)列 是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)； (3)若an 對任意n2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.,【解析】(1)證明:將3anan1anan10(n2)整理得 3(n2). 所以數(shù)列 為以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)可得 13(n1)3n2，所以an13n2. (3)若an 對n2的整數(shù)恒成立， 即3n23n1對n2的整數(shù)恒成立, 整理得(3n1)(3n2)/3(n1).,【規(guī)范解答】(1)由題意得，a15a3(2a22)2， 由a110，an為公差為d的等差數(shù)列得， d23d40，解得d1或d4. 所以ann11(nN*)或an4n6(nN*). (2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐0，由(1)得d1，ann11，,所以當(dāng)n11時， |a1|a2|a3|an|Sn n2 n； 當(dāng)n12時， |a1|a2|a3|an|Sn2S11 n2 n110. 綜上所述， |a1|a2|a3|an| n2 n，n11， n2 n110，n12.,【閱后報告】(1)不能盲目認(rèn)為|a1|，|a2|，|an|是等差數(shù)列，要分段研究. (2)當(dāng)n11時，是求Sn，而不是求S11. (3)討論n11和n12后，要有總結(jié)結(jié)論.,1.(2014遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若數(shù)列 為遞減數(shù)列，則( ) A.d0 B.d0 C.a1d0 D.a1d0 【解析】令 bn=2a1an，因?yàn)閿?shù)列 為遞減數(shù)列， 所以 1，所以a1d0. 【答案】D,2.(2014北京卷)若等差數(shù)列an滿足a7a8a90，a7a100，a7a10a8a90，a90，n8時，數(shù)列an的前n項(xiàng)和最大. 【答案】8,3.(2014湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.,【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d， 依題意得，2，2d，24d成等比數(shù)列， 故有(2d)22(24d)， 化簡得d24d0，解得d0或d4. 當(dāng)d0時，an2； 當(dāng)d4時，an2(n1)44n2. 從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2或an4n2.,課 時 作 業(yè),5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,第2項(xiàng),前一項(xiàng),同一個,公比,q,等比數(shù)列,ab,等比,3.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S312，則S9S3=( ) A.12 B.23 C.34 D.13 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6S3，S9S6仍成等比數(shù)列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，將S61/2S3代入得S9/S33/4. 【答案】C,等比數(shù)列的判定與證明,(3)假設(shè)存在，則mn2s，(am1)(an1)(as1)2， 因?yàn)閍n ，所以 化簡，得3m3n23s. 因?yàn)?m3n 23s，當(dāng)且僅當(dāng)mn時等號成立.又m，s，n互不相等，所以3m3n23s不成立，所以不存在滿足條件的m，n，s.,等比數(shù)列的基本運(yùn)算,等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程（組）所求問題可迎刃而解.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式,并靈活運(yùn)用.在運(yùn)算過程中,還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.,【變式訓(xùn)練】2.已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)TnSn (nN*)，求數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q， 因?yàn)镾3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列， 所以S5a5S3a3S4a4S5a5， 即4a5a3，于是q2a5a3 . 又an不是遞減數(shù)列且a1 ，所以q . 故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an n1(1)n1 . (2)由(1)得Sn1 1 ，n為奇數(shù)， 1 ，n為偶數(shù).,當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1Sn S2 . 綜上，對于nN*，總有 Sn . 所以數(shù)列Tn最大項(xiàng)的值為 ，最小項(xiàng)的值為 .,(2013湖北卷)已知等比數(shù)列an滿足：|a2a3|10，a1a2a3125. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)m，使得 1？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q， 則由已知可得 a31q3125，解得 a1 ， |a1qa1q2|10， q3 或 a15， q1. 故an 3n1或an5(1)n1. (2)若an 3n1，則 ，則 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.,從而 1. 若an5(1)n1，則 (1)n1， 故1an是首項(xiàng)為15，公比為1的等比數(shù)列， 從而 ，n2k1(kN*)， 0，n2k(kN*)， 故 1. 綜上，對任何正整數(shù)m，總有 1. 故不存在正整數(shù)m，使得 1成立.,【閱后報告】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.,3.(2014全國新課標(biāo)卷) 已知數(shù)列an滿足a11， an13an1. (1)證明 是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式； (2)證明 .,【解析】(1)由an13an1得an1 3(an ). 又a1 ，所以an 是首項(xiàng)為 ，公比為3的等比數(shù)列，所以an ，因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an . (2)證明：由(1)知 . 因?yàn)楫?dāng)n1時，3n123n1， 所以 ，即 . 于是 1 13n32. 所以 .,課 時 作 業(yè),5.4 數(shù)列求和,【解析】f(x)mxm1a2x1， m2，a1. f(x)x2x，f(n)n2n. Sn 【答案】,分組轉(zhuǎn)化求和,(2014湖州質(zhì)檢)在等比數(shù)列an中，已知a13，公比q1，等差數(shù)列bn滿足b1a1，b4a2，b13a3. (1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式； (2)記cn(1)nbnan，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，等差數(shù)列bn的公差為d. 由已知，得a23q，a33q2，b13，b433d，b13312d， 故 3q33d， q1d， 3q2312d q214d q3或1(舍去). 所以d2，所以an3n，bn2n1.,(2)由題意，得cn(1)nbnan(1)n(2n1)3n， Snc1c2cn (35)(79)(1)n1(2n1)(1)n(2n1)3323n. 當(dāng)n為偶數(shù)時，Snn ； 當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn(n1)(2n1) . 所以Sn ，n為偶數(shù)， ，n為奇數(shù).,錯位相減法求和,(2014武漢高三調(diào)研)已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足6Sna2n3an2，且a1，a2，a6是等比數(shù)列bn的前三項(xiàng). (1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式； (2)記Tna1bna2bn1anb1，nN*，證明：3Tn12bn1an1(nN*).,裂項(xiàng)相消法求和,【閱后報告】(1)一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式.,1.(2013全國新課標(biāo)卷)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則( ) A.Sn2an1 B.Sn3an2 C.Sn43an D.Sn32an,2.(2013遼寧卷)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和.若a1，a3是方程x25x40的兩個根，則S6 . 【解析】因?yàn)閍1，a3是方程x25x40的兩個根，且數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，所以a11，a34，q2，所以S6（126）/(12)63. 【答案】63,【解析】(1)因?yàn)镾1a1，S22a1 22a12， S44a1 24a112， 由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1. (2)由題意可知， bn(1)n1 (1)n1 (1)n1 .,當(dāng)n為偶數(shù)時， Tn(1 )( )( )( )1 = . 當(dāng)n為奇數(shù)時， Tn(1 )( )( )+( )1 = . 所以Tn ，n為奇數(shù)， ，n為偶數(shù).(或Tn ),課 時 作 業(yè),5.5 數(shù)列模型的應(yīng)用,1.數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,其解題的基本步驟,可用圖表示如下:,2.氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 元(nN*)，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的平均耗資最少)為止，一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天,【解析】由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 元（nN*），可知每天的維修保養(yǎng)費(fèi)構(gòu)成以 =5為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列. 設(shè)一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為 當(dāng)且僅當(dāng) 時取得最小值，此時n800. 【答案】B,4.(2014成都一模)現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿，自上而下每節(jié)的長度依次構(gòu)成等差數(shù)列，最上面一節(jié)長為10 cm，最下面的三節(jié)長度之和為114 cm，第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項(xiàng)，則n .,【解析】設(shè)每節(jié)竹竿的長度對應(yīng)的數(shù)列為an，公差為d(d0). 由題意知a110，anan1an2114，a26a1an. 由anan1an2114，得3an1114，解得an138， (a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)， 解得d2，所以an1a1(n2)d38， 即102(n2)38，解得n16. 【答案】16,等差數(shù)列模型的應(yīng)用,解等差數(shù)列應(yīng)用題,首先要認(rèn)真審題,深刻理解問題的實(shí)際背景,理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系,把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列問題,使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化.然后用等差數(shù)列知識求解,這其中體現(xiàn)了把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的能力,也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力.,祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù).某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi) 12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設(shè)f(n)表示前n年的純收入.(f(n)前n年的總收入前n年的總支出投資額),(1)從第幾年開始該臺商獲利？ (2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項(xiàng)目， 有兩種處理方案：年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？,【解析】由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，則f(n)50n 722n240n72. (1)獲取純利潤就是要求f(n)0， 故有2n240n720，解得2n18. 又nN*，可知從第三年開始獲利. (2)平均利潤為 40 16，當(dāng)且僅當(dāng)n6時取等號.,故此方案獲利2624067248144(萬美元)，此時 n6. f(n)2n240n722(n10)2128， 當(dāng)n10時，f(n)max128. 故此方案共獲利12816144(萬美元). 比較兩種方案，第種方案只需6年，第種方案需要10年，故選擇第種方案更合算.,等比數(shù)列模型的應(yīng)用,某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給股東們分紅500萬元.該企業(yè)2011年年底分紅后的資金為1 000萬元. （1）求該企業(yè)2015年年底分紅后的資金； (2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元.,【解析】設(shè)an為(2011n)年年底分紅后的資金，其中nN*， 則a121 0005001 500， a221 5005002 500，an2an1500(n2). an5002(an1500)(n2)， 即數(shù)列an500是首項(xiàng)為a15001 000，公比為2的等比數(shù)列. an5001 0002n1， an1 0002n1500.,(1)a41 0002415008 500， 該企業(yè)2015年年底分紅后的資金為8 500萬元. (2)由an32 500，即2n132，得n6， 該企業(yè)從2018年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元.,遞推數(shù)列模型的應(yīng)用,某企業(yè)為加大對新產(chǎn)品的推銷力度，決定從今年起每年投入100萬元進(jìn)行廣告宣傳，以增加新產(chǎn)品的銷售收入.已知今年的銷售收入為250萬元，經(jīng)市場調(diào)查，預(yù)測第n年與第n1年銷售收入an與an1(單位：萬元)滿足關(guān)系式：anan1 100. (1)設(shè)今年為第1年，求第n年的銷售收入an； (2)依上述預(yù)測，該企業(yè)前幾年的銷售收入總和Sn最大.,【解析】(1)由題意可知anan1 100(n2)， an1an2 100， a3a2 100， a2a1 100， a1250 . 以上各式相加得，an500 100(n1) 500 100(n1)500 100(n1).,(2)要求銷售收入總和Sn的最大值，即求年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和. an500 100(n1)， 要使an0，即500 100(n1)0， 也就是 1. 令bn ， 則bnbn1 ， 顯然，當(dāng)n3時，bnbn1，而b51，a50，a60. 該企業(yè)前5年的銷售收入總和最大.,(2012湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.,(1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為 4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).,【閱后報告】用數(shù)列知識解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論.,課 時 作 業(yè),5.6 數(shù)列綜合性問題,1.(2014濟(jì)南模擬)數(shù)列an中，an1(1)nan2n1，則數(shù)列an的前12項(xiàng)和等于 ( ) A.76 B.78 C.80 D.82,【解析】由已知an1(1)nan2n1， 得an2(1)n1an12n1， 得an2an(1)n(2n1)(2n1). 取n1,5,9及n2,6,10，結(jié)果相加可得 S12a1a2a3a4a11a1278. 【答案】B,2.在如圖所示的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么xyz的值為( ) A1 B2 C3 D4,等差、等比數(shù)列的綜合,1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn). 2.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時注意公比q的取值.同時對于兩種數(shù)列的性質(zhì),要熟悉它們的推導(dǎo)過程,利用好性質(zhì),可降低題目的難度,解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解.,數(shù)列與解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用,【解析】(1)由題意得(1a2)2a1(a31)， 即(1 a1)2a1( a11)，解得a1 ，an . 設(shè)bn的公差為d， 又 T1b2， 即 8(8d)， T22b3， 16d2(82d)， 解得 ，或 1， d8 d0(舍去)， .,(2)由(1)知Sn1 ， Sn ， 又Tn4n24n， ， (1 )( ) (1 ) ， 由可知 Sn.,遞推數(shù)列,已知數(shù)列an，bn滿足：a10，b12 013，且對任意的正整數(shù)n，an，an1，bn和an1，bn1，bn均成等差數(shù)列. (1)求a2，b2的值； (2)證明：anbn和an2bn均成等比數(shù)列； (3)是否存在唯一的正整數(shù)c，使得ancbn恒成立？證明你的結(jié)論.,【解析】(1)a2 ，b2 . (2)證明：依題意，對任意的正整數(shù)n，有 an1 ， an1 an bn， bn1 bn1 an bn， 因?yàn)?，nN*， 又a1b12 0130，所以anbn是首項(xiàng)為2 013，公比為1/4的等比數(shù)列；,因?yàn)?，nN*， 又a12b14 0260， 所以an2bn是首項(xiàng)為4 026，公比為1的等比數(shù)列. (3)由(2)得 an2bn4 026， anbn ， 解得 an1 342 ， bn1 342 ，nN*. 顯然，an是單調(diào)遞增數(shù)列，bn是單調(diào)遞減數(shù)列，且an 1 342bn，nN*.,即存在正整數(shù)c1 342，使得對任意的nN*，有an1 342. 而2101 024，2124 096，所以2n212，n7. 所以對任意的nN*，當(dāng)n7時，1 341an1 342bn1 343， 所以正整數(shù)c1 342也是唯一的. 綜上所述，存在唯一的正整數(shù)c1 342，使得對任意的nN*，有ancbn恒成立.,1.數(shù)列綜合題的四種題型 （1）數(shù)列與其他章節(jié)的綜合題 數(shù)列綜合題,包括數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、不等式知識的綜合，另外，數(shù)列知識在復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何部分也有廣泛應(yīng)用. （2）數(shù)列的探索性問題 探索性問題是高考的熱點(diǎn),常在數(shù)列解答題中出現(xiàn),探索性問題對分析問題、解決問題的能力有較高的要求. （3）等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 解決此類問題須從整體著眼考查所研究的問題中的數(shù)列特征、結(jié)構(gòu)特征，以探求解題思路，從而優(yōu)化、簡化解題過程的思想方法，在數(shù)列中，倘若抓住等差、等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)，整體代換可簡化解答過程.,2遞推數(shù)列問題的一般處理方法 （1）利用化歸思想，將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列問題化歸為等差或等比數(shù)列問題進(jìn)行解決； （2）借助歸納思想，通過不完全歸納形成猜想后用數(shù)學(xué)歸納法解決問題； （3）依托函數(shù)思想，設(shè)法求出所給數(shù)列的通項(xiàng)公式后一般性解決問題. 3由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法 累加法、累乘法、疊代法、歸納法、換元法、待定系數(shù)法、特征方程法、不動點(diǎn)法等.,由于數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列與自然數(shù)n的對應(yīng)、數(shù)列求和與不等式放縮的聯(lián)系以及“能力立意”命題的需求，使得具有一定難度和一定綜合性要求的數(shù)列試題常常光顧解答題中的后三題的位置，很多情況下甚至就是高考壓軸題.這一類綜合性問題，往往會與數(shù)列的遞推公式相關(guān)，用于全面考查數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查邏輯運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力，學(xué)會處理這類問題往往成為高考中奪取數(shù)學(xué)高分的關(guān)鍵.求解時除了可以直接由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式來研究數(shù)列的性質(zhì)外，一般不需要求通項(xiàng)公式，也能直接利用遞推關(guān)系來研究數(shù)列的性質(zhì).,【閱后報告】 本題屬高難度試題，以解析幾何問題為載體主要考查了數(shù)列的函數(shù)屬性，要求綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和不等式的相關(guān)知識，對考生的思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力提出了較高的要求.,【證明】(1)對每個nN*，當(dāng)x0時，fn(x)1 0，故fn(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增 由于f1(1)0，當(dāng)n2時，fn(1) 0.故fn(1)0.又fn( )1 所以存在唯一的xn ,1滿足fn(xn)0.,(2)當(dāng)x0時，fn1(x)fn(x) fn(x)， 故fn1(xn)fn(xn)fn1(xn1)0. 由fn1(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，xn1xn， 故xn為單調(diào)遞減數(shù)列從而對任意n，pN*，xnpxn. 對任意pN*，由于fn(xn)1xn 0，,fnp(xnp)1xnp 0， 式減去式并移項(xiàng)，利用0xnpxn1，得 xnxnp 因此，對任意pN*，都有0xnxnp .,