離散型隨機(jī)變量及其概率分布市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

,Ch2-,*,2.2,離散型隨機(jī)變量及其概率分布,定義,若隨機(jī)變量,X,也許取值是有限,個(gè)或可列個(gè),則稱(chēng),X,為,離散型隨機(jī)變量,描述,X,概率特性慣用,概率分布,或,分布律,X,P,或,離散隨機(jī)變量及分布律,即,2.2,12,第1頁(yè),第1頁(yè),分布律性質(zhì),非負(fù)性,歸一性,X,或,13,第2頁(yè),第2頁(yè),F,(,x,),是分段階梯函數(shù),在,X,也許取,值,x,k,處發(fā)生間斷,間斷點(diǎn)為第一類(lèi)跳躍間,斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度,p,k,.,離散隨機(jī)變量及分布函數(shù),其中,.,14,第3頁(yè),第3頁(yè),解,例1,設(shè)汽車(chē)在開(kāi)往甲地途中需經(jīng),過(guò) 4 盞信號(hào)燈,每盞信號(hào)燈獨(dú)立地,以概率,p,允許汽車(chē)通過(guò).,出發(fā)地,甲地,初次停下時(shí)已通過(guò)信號(hào)燈盞數(shù),求,X,概,率分布與,p=,0.4,時(shí)分布函數(shù).,令,X,表示,例1,15,第4頁(yè),第4頁(yè),0,1,2,3,4,x,x,k,p,k,0 1 2 3 4,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,16,第5頁(yè),第5頁(yè),0,1,2,3,4,x,F,(,x,),o,o,1,o,o,o,17,第6頁(yè),第6頁(yè),用分布律或分布函數(shù)來(lái)計(jì)算事件概率,例2,在上例中,分別用分布律與分布函數(shù)計(jì),算,例2,解,或,此式應(yīng)理解為極限,18,第7頁(yè),第7頁(yè),例3,一門(mén)大炮對(duì)目的進(jìn)行轟擊,假定此目的,必須被擊中,r,次才干被摧毀.若每次擊中目,標(biāo)概率為,p,(0,p,1),且各次轟擊互相獨(dú),立,一次次地轟擊直到摧毀目的為止.求所需,轟擊次數(shù),X,概率分布.,解,P,(,X,=,k,)=,P,(,前,k,1,次擊中,r,1,次，,第,k,次擊中目的),例3,帕斯卡,分 布,19,第8頁(yè),第8頁(yè),注,利用冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì),當(dāng),20,第9頁(yè),第9頁(yè),歸納地,令,21,第10頁(yè),第10頁(yè),作業(yè),P82,習(xí)題二,2 4,習(xí)題,5 6,22,第11頁(yè),第11頁(yè),(1),0 1 分布,是否超標(biāo)等等.,常見(jiàn)離散,r.v.,分布,凡試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果,慣用0 1,分布描述,如產(chǎn)品是否合格、人,口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗,X=x,k,1 0,P,k,p,1,-p,0,p,1,應(yīng)用,場(chǎng)合,或,23,第12頁(yè),第12頁(yè),(2),二項(xiàng)分布,n,重,Bernoulli,試驗(yàn)中,X,是事件,A,在,n,次試,驗(yàn)中發(fā)生次數(shù),P,(,A,)=,p,若,則稱(chēng),X,服從參數(shù)為,n,p,二項(xiàng)分布,，記作,01 分布是,n,=1,二項(xiàng)分布,24,第13頁(yè),第13頁(yè),二項(xiàng)分布取值情況,設(shè),.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000,0 1 2 3 4 5 6 7 8,0,.,273,由圖表可見(jiàn),當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,此時(shí) 稱(chēng)為最也許成功次數(shù),x,P,0,1,2,3,4,5,6,7,8,25,第14頁(yè),第14頁(yè),26,第15頁(yè),第15頁(yè),設(shè),.01 .06.14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20,x,P,1,3,5,7,9,0,2,4,6,8,10,20,由圖表可見(jiàn),當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,0.22,27,第16頁(yè),第16頁(yè),28,第17頁(yè),第17頁(yè),二項(xiàng)分布中最也許出現(xiàn)次數(shù)定義與推導(dǎo),則稱(chēng) 為最也許出現(xiàn)次數(shù),29,第18頁(yè),第18頁(yè),當(dāng)(,n,+1),p=,整數(shù)時(shí),在,k,=,(,n,+1),p,與,(,n,+1),p,1,處概率取得最大值,對(duì)固定,n,、,p,P,(,X,=,k,),取值呈不 對(duì)稱(chēng)分布,固定,p,伴隨,n,增大，其取值分布,趨于對(duì)稱(chēng),當(dāng)(,n,+1),p,整數(shù)時(shí),在,k,=,(,n,+1),p,處概率取得最大值,30,第19頁(yè),第19頁(yè),例4,獨(dú)立射擊5000次,命中率為0.001,例4,解,(1),k,=,(,n,+1),p,=,(5000,+1)0.001=5,求 (1)最也許命中次數(shù)及相應(yīng)概率；,(2)命中次數(shù)不少于1 次概率.,31,第20頁(yè),第20頁(yè),(2)令,X,表示命中次數(shù),則,X,B(5000,0.001),小概率事件雖不易發(fā)生，但重,復(fù)次數(shù)多了，就成大約率事件,.,本例,啟示,32,第21頁(yè),第21頁(yè),由此可見(jiàn)日常生活中“提升警惕,防火,由于時(shí)間無(wú)限,自然界發(fā)生地震、海,嘯、空難、泥石流等都是必定，早晚,同樣,人生中發(fā)生車(chē)禍、失戀、患絕,癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常,現(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開(kāi)而,防盜”主要性,.,事，不用奇怪，不用驚恐,.,跳物理樓(交大閔行校區(qū)最高樓,),自殺,.,啟示,33,第22頁(yè),第22頁(yè),則對(duì)固定,k,設(shè),Possion,定理,Poisson,定理闡明若,X B,(,n,p,),則當(dāng),n,較大，,p,較小,而 適中,則能夠用近似公式,問(wèn)題,如何計(jì)算？,34,第23頁(yè),第23頁(yè),證,記,35,第24頁(yè),第24頁(yè),類(lèi)似地,從裝有,a,個(gè)白球，,b,個(gè)紅球袋中,不放回地任取,n,個(gè)球,其中恰有,k,個(gè)白球,概率為,當(dāng),時(shí)，,對(duì)每個(gè),n,有,結(jié) 論,超幾何分布極限分布是二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布極限分布是,Poisson,分布,36,第25頁(yè),第25頁(yè),解,令,X,表示命中次數(shù),則,令,此結(jié)果也可直接查,P.378,附表2 泊松,分布表得到，它與用二項(xiàng)分布算得結(jié)果,0.9934僅相差,萬(wàn),分之一,.,利用,Poisson,定理再求,例4,(2),X,B(5000,0.001),37,第26頁(yè),第26頁(yè),例5,某廠(chǎng)產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品,裝箱,若要以不小于 90%概率確保每箱,中至少有 100 個(gè)合格品,則每箱至少應(yīng)裝,解,設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+,n,個(gè),每箱不,合格品個(gè)數(shù)為,X,則,X,B(100+,n,0.03),由題意,3,(100+,n,)0.03=3+0.03,n,取 =3,多少個(gè)產(chǎn)品？,例5,38,第27頁(yè),第27頁(yè),查,Poisson,分布表,=3,得,n,+1=6,n,=5,故每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才干符合要求,.,應(yīng)用,Poisson,定理,39,第28頁(yè),第28頁(yè),在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng),n,20,p,0.05,時(shí),可用上,述公式近似計(jì)算;而當(dāng),n,100,np,10,時(shí),精度更加好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,按二項(xiàng)分布,按,Possion,公式,k,n=,10,p=,0.1,n=,20,p=,0.05,n=,40,p=,0.025,n=,100,p=,0.01,=,np=,1,40,第29頁(yè),第29頁(yè),在,Poisson,定理中，,由此產(chǎn)生了一個(gè)離散型隨機(jī)變量概率分布,Poisson,分布,41,第30頁(yè),第30頁(yè),(3),Poisson,分布,若,其中,是常數(shù)，則稱(chēng),X,服從參數(shù)為,Poisson,分布,.,或,記作,42,第31頁(yè),第31頁(yè),在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：,大賣(mài)場(chǎng)用戶(hù)數(shù)；,某地域撥錯(cuò)號(hào)電話(huà)呼喚次數(shù)；,市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地域發(fā)生交通事故次數(shù).,一個(gè)容器中細(xì)菌數(shù)；,一本書(shū)一頁(yè)中印刷錯(cuò)誤數(shù)；,一匹布上疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；,應(yīng),用,場(chǎng),合,放射性物質(zhì)發(fā)出 粒子數(shù)；,43,第32頁(yè),第32頁(yè),都能夠看作是源源不斷出現(xiàn)隨機(jī),質(zhì)點(diǎn)流,若它們滿(mǎn)足一定條件,則稱(chēng)為,Poisson,流,在 長(zhǎng)為,t,時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)質(zhì),點(diǎn)數(shù),X,t,P,(,t,),44,第33頁(yè),第33頁(yè),例6,設(shè)一只昆蟲(chóng)所生蟲(chóng)卵數(shù)為隨機(jī)變,量,X,例6,設(shè)各個(gè)蟲(chóng)卵是否能發(fā)育成幼蟲(chóng)是,互相獨(dú)立.,已知,X P,(,)，,且每個(gè)蟲(chóng)卵發(fā)育,成幼蟲(chóng)概率為,p,.,求一昆蟲(chóng)所生蟲(chóng)卵發(fā)育成幼蟲(chóng)數(shù),Y,概率分布.,45,第34頁(yè),第34頁(yè),解,昆蟲(chóng),X,個(gè)蟲(chóng)卵,Y,個(gè)幼蟲(chóng),已知,由全概率公式,46,第35頁(yè),第35頁(yè),故,47,第36頁(yè),第36頁(yè),作業(yè),P82,習(xí)題二,8 (1),12,14,15,習(xí)題,48,第37頁(yè),第37頁(yè),每七天一題5(1),自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)調(diào)整以后出,現(xiàn)廢品概率為,p,當(dāng)生產(chǎn),過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)馬上重新,進(jìn)行調(diào)整,求在兩次調(diào)整之,間合格產(chǎn)品數(shù)分布.,問(wèn) 題,第5周,49,第38頁(yè),第38頁(yè),5,(2),已知運(yùn)載火箭在飛行中進(jìn)入其儀,器艙宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為 2 泊,松分布,.,而進(jìn)入儀器艙粒子隨機(jī)落,到儀器主要部位概率為 0.1,求,落到,儀器主要部位,粒子數(shù),概率分布,.,第五周,問(wèn)題,50,第39頁(yè),第39頁(yè),Blaise Pascal,1623-1662,帕斯卡,法國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,思想家,帕斯卡,51,第40頁(yè),第40頁(yè),帕斯卡四歲喪母,在父親精心培養(yǎng),下,16歲時(shí)發(fā)覺(jué)帕斯卡六邊形定理,寫(xiě)成,圓錐曲線(xiàn)論,由此定理導(dǎo)出400余條,推論,這是古希臘阿波羅尼奧斯以來(lái)圓,錐曲線(xiàn)論最大進(jìn)步.,帕斯卡簡(jiǎn)介,1642年創(chuàng)造世界上第一臺(tái)機(jī)械加法,計(jì)算機(jī)帕斯卡計(jì)算器.,52,第41頁(yè),第41頁(yè),他應(yīng)用此辦法處理了擺線(xiàn)問(wèn)題.,1654年研究二項(xiàng)系數(shù)性質(zhì),寫(xiě)出,論算術(shù)三角形一文,還進(jìn)一步討論,不可分原理,這事實(shí)上相稱(chēng)于已知道,1647年他發(fā)覺(jué)了流體靜力學(xué)帕斯卡原理,.,53,第42頁(yè),第42頁(yè),三十歲時(shí)他曾研究過(guò)賭博問(wèn)題,對(duì)早期概率論發(fā)展頗有影響.,1658年完畢了擺線(xiàn)論,這給,G.W.,萊布尼茨以很大啟發(fā),促使了微,積分建立.,在離散型隨機(jī)變量分布中有個(gè),以帕斯卡名字命名分布，它應(yīng)用于,重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件發(fā)生 次場(chǎng),54,第43頁(yè),第43頁(yè),帕斯卡還寫(xiě)過(guò)不少文學(xué)著作.,1654年他進(jìn)入修道院,獻(xiàn)身于哲,合.而有名幾何分布正是其,時(shí)特例.,學(xué)和宗教,.,55,第44頁(yè),第44頁(yè),解,(1)設(shè) 需要配備,N,個(gè)維修工人,設(shè),X,為90 臺(tái),設(shè)備中發(fā)生故障臺(tái)數(shù)，則,X B,(90,0.01),自學(xué),（詳解見(jiàn)教材,P.61,例6),設(shè)同類(lèi)型設(shè)備90臺(tái)，每臺(tái)工作互相獨(dú)立，,每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障概率都是 0.01,.,在通常,情況下，一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障可由一個(gè)人獨(dú)立,維修，每人同時(shí)也只能維修一臺(tái)設(shè)備,.,問(wèn)至少要配備多少維修工人，才干確保當(dāng)設(shè),備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修概率小于0.01?,(2),問(wèn)3個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)還是3個(gè)人各自獨(dú)立負(fù),責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修概率低？,附例,附例,56,第45頁(yè),第45頁(yè),令,則,查附表2得,N=,4,57,第46頁(yè),第46頁(yè),三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能,及時(shí)維修概率為,58,第47頁(yè),第47頁(yè),設(shè)30臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障臺(tái)數(shù)為,Y,B,(30,0.01),設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，第,i,個(gè)人負(fù)責(zé),30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件,A,i,則,三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí),維修為事件,故,三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90 臺(tái)設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！,59,第48頁(yè),第48頁(yè),