連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布,定義,設(shè),X,是一隨機(jī)變量，若存在一個非負(fù)可積函數(shù),f,(,x,),使得,其中,F,(,x,),是它分布函數(shù)，,則稱,X,是,連續(xù)型隨機(jī)變量,，,f,(,x,),是它,概率密度函數(shù)(,p.d.f.,),，,簡稱為,密度函數(shù),或,概率密度,連續(xù)型隨機(jī)變量概念,第1頁,第1頁,p.d.f.,f,(,x,),性質(zhì),常利用這兩個性質(zhì)檢查一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)，或求其中未知參數(shù),在,f,(,x,),連續(xù)點(diǎn)處，,f,(,x,),描述了,X,在,x,附近單位長度區(qū)間內(nèi),取值概率,第2頁,第2頁,分布函數(shù),F,(,x,),與密度函數(shù),f,(,x,),幾何意義,x,f,(,x,),x,F,(,x,),第3頁,第3頁,積分,不是,Cauchy,積分，而是,Lesbesgue,意義下積分，所得變上限函數(shù)是絕對連續(xù)，因此幾乎處處可導(dǎo),線段質(zhì)量,長度,密度,第4頁,第4頁,注意,對于連續(xù)型隨機(jī)變量,X,，,P,(,X=a,)=0,這里,a,能夠是隨機(jī)變量,X,一個也許取值,命題,連續(xù)型隨機(jī)變量取任一常數(shù)概率為零,強(qiáng)調(diào),概率為1(零,),事件未必發(fā)生(不發(fā)生,),事實(shí)上,第5頁,第5頁,對于連續(xù)型隨機(jī)變量,X,b,x,f,(,x,),a,第6頁,第6頁,x,f,(,x,),a,第7頁,第7頁,例1,有一批晶體管，已知每只使用壽命,X,為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù),為：,(,c,為常數(shù)),(1),求常數(shù),c,(2),已知一只收音機(jī)上裝有3只這樣晶體管，每只晶體管能否正常工作互相獨(dú)立，求在使用最初1500小時只有一個損壞概率.,其它,解,(1),c,=1000,第8頁,第8頁,設(shè)事件,A,表示一只晶體管壽命小于,1500小時,設(shè)在使用最初1500小時三只晶體管中損壞只數(shù)為,Y,(2),已知一只收音機(jī)上裝有3只這樣晶體管，每只晶體管能否正常工作互相獨(dú)立，求在使用最初1500小時只有一個損壞概率.,第9頁,第9頁,(1),均勻分布,(,a,b,),上均勻分布,記作,常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布,若,X,密度函數(shù)為 ，則稱,X,服從,區(qū)間,其中,X,分布函數(shù)為,其它,第10頁,第10頁,x,f,(,x,),a,b,x,F,(,x,),b,a,第11頁,第11頁,即,X,取值在(,a,，,b,),內(nèi)任何長為,d c,小區(qū)間概率與小區(qū)間位置無關(guān),只與其長度成正比這正是幾何概型情形,在進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時，假如在小數(shù)點(diǎn)后第,k,位進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生誤差能夠看作服從,應(yīng)用場合,第12頁,第12頁,(2),指數(shù)分布,若,X,密度函數(shù)為,則稱,X,服從,參數(shù)為,指數(shù)分布,記作：,X,分布函數(shù)為：,0,為常數(shù)，,第13頁,第13頁,1,x,F,(,x,),0,x,f,(,x,),0,第14頁,第14頁,對于任意,0,a,b,應(yīng)用場合,用指數(shù)分布描述實(shí)例有：,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)時間；,電話問題中通話時間；,無線電元件壽命；,動物壽命,指數(shù)分布常作為各種,“壽命”分布近似,第15頁,第15頁,若,X,(,),，則,因此，又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”分布,指數(shù)分布“無記憶性”,事實(shí)上,第16頁,第16頁,(3),正態(tài)分布,若,X,密度函數(shù)為,則稱,X,服從,參數(shù)為,，,正態(tài)分布,記作,X,N,(,，,),為常數(shù)，,第17頁,第17頁,N,(-3,1.2,),-6,-5,-4,-3,-2,-1,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,第18頁,第18頁,f,(,x,),性質(zhì),圖形關(guān)于直線,x=,對稱：,f,(,+,x,)=,f,(,-,x,),在,x=,時,f,(,x,),取得最大值,在,x,=,時,曲線,y,=,f,(,x,),在相應(yīng)點(diǎn)處有拐點(diǎn),曲線,y,=,f,(,x,),以,x,軸為漸近線,曲線,y,=,f,(,x,),圖形呈單峰狀,第19頁,第19頁,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,第20頁,第20頁,f,(,x,),兩個參數(shù)：,位置參數(shù),即固定 ,對于不同 ,對應(yīng) f(x),形狀不改變，只是位置不同,形狀參數(shù),固定 ，對于不同，f(x)形狀不同,附近值概率更大.,x=,1,所相應(yīng),拐點(diǎn),比,x=,2,所相應(yīng)拐點(diǎn)更靠近直線,x=,若,1,2,則,前者取,第21頁,第21頁,大,小,第22頁,第22頁,應(yīng)用場合,若隨機(jī)變量,X,受到眾多互相獨(dú)立隨機(jī)原因影響，而每一個別原因影響都是微小，,且這些影響能夠疊加，則,X,服從正態(tài)分布,.,可用正態(tài)變量描述實(shí)例非常之多：,各種測量誤差；人生理特性；,工廠產(chǎn)品尺寸；農(nóng)作物收獲量；,海洋波浪高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；,熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們考試成績；,第23頁,第23頁,一個主要正態(tài)分布,：,N,(0,1),原則正態(tài)分布,(,x,),是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對稱,它分布函數(shù)記為,(,x,),，,其值有專門表可查,第24頁,第24頁,5,.,0,),0,(,=,F,-3,-2,-1,1,2,3,0.1,0.2,0.3,0.4,第25頁,第25頁,-x,x,0.1,0.2,0.3,0.4,第26頁,第26頁,對普通正態(tài)分布,：,X N,(,2,),其分布函數(shù),作變量代換,第27頁,第27頁,例2,設(shè),X,N,(1，4)，,求,P,(0,X,1.6,),解,P380,附表,3,第28頁,第28頁,例3,已知,且,P,(2,X,4,)=0.3，,求,P,(,X,0),解一,第29頁,第29頁,解二,圖解法,由圖,0.2,-2,2,4,6,0.05,0.1,0.15,0.2,0.3,第30頁,第30頁,例4,3,原理,設(shè),X,N,(,2,),，,求,解,第31頁,第31頁,原則正態(tài)分布上,分位數(shù),z,設(shè),X,N,(0，1)，0,1,，,稱滿足,點(diǎn),z,為,X,上,分位數(shù),慣用幾種數(shù)據(jù),z,0.1,0.2,0.3,0.4,第32頁,第32頁,作業(yè),P 144,習(xí)題二,8，16，18，22，25,第33頁,第33頁,作業(yè),P144,習(xí)題二,9，10,第34頁,第34頁,