期權(quán)二叉樹定價(jià)模型

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,二級(jí),三級(jí),四級(jí),五級(jí),2019年12月11日星期三4時(shí)19分28秒,#,第八講,期權(quán)二叉樹,定,定價(jià),8.1,單步二叉樹,圖,圖,8.1.1,二叉樹圖的,構(gòu),構(gòu)造,問(wèn)題,假設(shè)一種股,票,票當(dāng)前價(jià)格,為,為$20，,三,三個(gè)月后的,價(jià),價(jià)格將可能,為,為$22或$18。假,設(shè),設(shè)股票三個(gè),月,月內(nèi)不付紅,利,利。有效期,為,為3個(gè)月的,歐,歐式看漲期,權(quán),權(quán)執(zhí)行價(jià)格,為,為$21。,如,如何對(duì)該期,權(quán),權(quán)進(jìn)行估值,？,？,思路,根據(jù)期權(quán)的,特,特性，顯然,可,可以用圖8-1所示的,二,二叉樹圖來(lái),描,描述股票和,期,期權(quán)的價(jià)格,運(yùn),運(yùn)動(dòng)。,如果能夠用,這,這種股票和,期,期權(quán)構(gòu)造一,個(gè),個(gè)組合，使,得,得在三個(gè)月,末,末該組合的,價(jià),價(jià)值是確定,的,的，那么，,根,根據(jù),該組合的收,益,益率等于無(wú),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn)收益率,（,（無(wú)套利假,設(shè),設(shè)），可以,得,得到構(gòu)造該,組,組合所需成,本,本（現(xiàn)值）,，,，而組合中,股,股票的價(jià)格,是,是已知的，,于,于是可以得,出,出期權(quán)的價(jià),格,格。,構(gòu)造一個(gè)證,券,券組合，該,組,組合包含一,個(gè),個(gè),股股票多頭,頭,頭寸和一個(gè),看,看漲期權(quán)的,空,空頭頭寸。,是否可有多,種,種構(gòu)造方法,?,由圖8-1,可,可知，當(dāng)股,票,票價(jià)格從$20上升到$22時(shí)，,該,該證券組合,的,的總價(jià)值為22,-1；,當(dāng)股票價(jià)格,從,從$20下,降,降到$18,時(shí),時(shí)，該證券,組,組合的總價(jià),值,值為18,。,完全可以選,取,取某個(gè),值，使得該,組,組合的終值,對(duì),對(duì)在上述兩,種,種情況下是,相,相等的。這,樣,樣，該組合,就,就是一個(gè)無(wú),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn)組合。,由,由,22,1=18,得,=0.25,是否一定為,正,正,?,因此，一個(gè),無(wú),無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組,合,合由0.25股股票和,一,一個(gè)期權(quán)空,頭,頭構(gòu)成。通,過(guò),過(guò)計(jì)算可知,，,，無(wú)論股票,價(jià),價(jià)格是上升,還,還是下降，,在,在期權(quán)有效,期,期的末尾，,該,該組合的價(jià),值,值總是$4.5。,在無(wú)套利假,設(shè),設(shè)下，無(wú)風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)證券組合,的,的盈利必定,為,為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利,率,率。,假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn),利,利率為年率12。則,該,該組合的現(xiàn),值,值應(yīng)為：,4.5,e,-0.12,0.25,=4.3674,股票現(xiàn)在的,價(jià),價(jià)格已知為$20。用,f,表示期權(quán)的,價(jià),價(jià)格。因此,，,，由,200.25,f=4.3674,得,f=0.633,如果期權(quán)價(jià),格,格偏離0.633，則,將,將存在套利,機(jī),機(jī)會(huì)。,8.1.2,一般結(jié)論,考慮一個(gè)無(wú),紅,紅利支付的,股,股票，股票,價(jià),價(jià)格為,S。,基于該股票,的,的某個(gè)衍生,證,證券的當(dāng)前,價(jià),價(jià)格為,f,。假設(shè)當(dāng)前,時(shí),時(shí)間為零時(shí),刻,刻，衍生證,券,券給出了在,T,時(shí)刻的盈虧,狀,狀況。,一個(gè)證券組,合,合由,股的股票多,頭,頭和一個(gè)衍,生,生證券空頭,構(gòu),構(gòu)成。,如果股票價(jià),格,格上升,在,有,有效期末該,組,組合的價(jià)值,為,為：,如果股票價(jià),格,格下降，在,有,有效期末該,組,組合的價(jià)值,為,為：,當(dāng)兩個(gè)價(jià)值,相,相等時(shí),即,（9.1）,該組合是無(wú),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn)的，收,益,益必得無(wú)風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)利率。在,T,時(shí)刻的兩個(gè),節(jié),節(jié)點(diǎn)之間運(yùn),動(dòng),動(dòng)時(shí)，,是衍生證券,價(jià),價(jià)格變化與,股,股票價(jià)格變,化,化之比。,用,r,表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn),利,利率，該組,合,合的現(xiàn)值應(yīng),為,為：,而構(gòu)造該組,合,合的成本是,：,：,因此,將式（9.1）代入上,式,式，得到,其中,（9.3）,風(fēng)險(xiǎn)中性概,率,率,運(yùn)用單步二,叉,叉樹圖方法,，,，式（9.2）和（9.3）就可,為,為衍生證券,估,估值。,8.1.3,股票預(yù)期收,益,益的無(wú)關(guān)性,衍生證券定,價(jià),價(jià)公式（9.2）并沒(méi),有,有用到股票,上,上升和下降,的,的概率。這,似,似乎不符合,人,人們的直覺,，,，因?yàn)槿藗?很,很自然地假,設(shè),設(shè)假設(shè)如果,股,股票價(jià)格上,升,升的概率增,加,加，基于該,股,股票的看漲,期,期權(quán)價(jià)值也,增,增加，看跌,期,期權(quán)的價(jià)值,則,則減少。,之所以如此,，,，原因在于,，,，我們并不,是,是在完全的,條,條件下為期,權(quán),權(quán)估值，而,只,只是根據(jù)標(biāo),的,的股票的價(jià),格,格估計(jì)期權(quán),的,的價(jià)值。未,來(lái),來(lái)上升和下,降,降的概率已,經(jīng),經(jīng)包含在股,票,票的價(jià)格中,。,。它說(shuō)明，,當(dāng),當(dāng)根據(jù)股票,價(jià),價(jià)格為期權(quán),估,估值時(shí)，我,們,們不需要股,票,票價(jià)格上漲,下,下降的概率,。,。,8.2,風(fēng)險(xiǎn)中性估,值,值,8.2.1,風(fēng)險(xiǎn)中性估,值,值原理,式（9.2,）,）中的變量,p,可以解釋為股票價(jià)格上,升,升的概率，,于,于是變量1,p,就是股票價(jià),格,格下降的概,率,率。這樣，,pf,u,+(1-p)f,d,就是衍生證,券,券的預(yù)期收,益,益。于是，,式,式（9.2,）,）可以表述,為,為：衍生證,券,券的價(jià)值是,其,其未來(lái)預(yù)期,值,值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn),利,利率貼現(xiàn)的,值,值。,同樣，按照,上,上式對(duì),p,的解釋，在,T,時(shí)刻預(yù)期的,股,股票價(jià)格,即,將式,（,（9.2,）,）中,的,的,p,代入,上,上式,，,，得,E(S,T,)=Se,rT,（9.4,）,）,這表,明,明，,平,平均,來(lái),來(lái)說(shuō),，,，股,票,票價(jià),格,格以,無(wú),無(wú)風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)利,率,率增,長(zhǎng),長(zhǎng)。,因,因此,，,，設(shè),定,定上,升,升運(yùn),動(dòng),動(dòng)的,概,概率,等,等于,p,就是,等,等價(jià),于,于假,設(shè),設(shè)股,票,票收,益,益等,于,于無(wú),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn),利,利率,。,。,我們,把,把每,一,一個(gè),人,人是,風(fēng),風(fēng)險(xiǎn),中,中性,的,的世,界,界稱,為,為風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)中,性,性世,界,界（,risk-ne,utralwo,rld,）,。,在這,樣,樣的,世,世界,中,中，,投,投資,者,者對(duì),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn),不,不要,求,求補(bǔ),償,償，,所,所有,證,證券,的,的預(yù),期,期收,高,高效,益,益是,無(wú),無(wú)風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)利,率,率。,式（9.4）,說(shuō),說(shuō)明,，,，當(dāng),設(shè),設(shè)定,上,上升,運(yùn),運(yùn)動(dòng),的,的概,率,率為,p,時(shí)，,我,我們,就,就在,假,假設(shè),一,一個(gè),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn),中,中性,世,世界,。,。,式（9.2）,說(shuō),說(shuō)明,，,，衍,生,生證,券,券的,價(jià),價(jià)值,是,是其,預(yù),預(yù)期,收,收益,在,在風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)中,性,性世,界,界中,按,按無(wú),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn),利,利率,貼,貼現(xiàn),的,的值,。,。,以上,過(guò),過(guò)程,表,表明,，,，當(dāng),為,為期,權(quán),權(quán)和,其,其它,衍,衍生,證,證券,估,估值,時(shí),時(shí)，,完,完全,可,可以,假,假設(shè),世,世界,是,是風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)中,性,性的,。,。這,就,就是,所,所謂,風(fēng),風(fēng)險(xiǎn),中,中性,（,（,risk-neutralvaluation,）,）,原理,。,。在風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)中,性,性世,界,界中,得,得到,的,的價(jià),格,格，,在,在現(xiàn),實(shí),實(shí)世,界,界中,也,也是,正,正確,的,的。,8.2.2,風(fēng)險(xiǎn),中,中性,估,估值,舉,舉例,我們,將,將風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)中,性,性估,值,值原,理,理運(yùn),用,用于,圖,圖8-1,的,的例,子,子。,在風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)中,性,性世,界,界，,股,股票,的,的預(yù),期,期收,益,益率,一,一定,等,等于,無(wú),無(wú)風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)利,率,率12,。,。則,有,有：,22,p+18(1-p)=20e,0.12,0.25,即4,p=20e,0.12,0.25,-18,得,p=0.6523,在三,個(gè),個(gè)月,末,末尾:看,漲,漲期,權(quán),權(quán)價(jià),值,值為$1,的,的概,率,率為0.6523,，,，價(jià),值,值為,零,零的,概,概率,為,為0.3477。,因,因此,，,，看,漲,漲期,權(quán),權(quán)的,期,期望,值,值為,：,：,0.6523,1+0.34770=$0.6523,按無(wú),風(fēng),風(fēng)險(xiǎn),利,利率,貼,貼現(xiàn),得,得期,權(quán),權(quán)現(xiàn),在,在的,價(jià),價(jià)值,：,：,f=0.6523e,-0.120.25,=0.633,8.3,兩步,二,二叉,樹,樹圖,8.3.1,兩步,二,二叉,樹,樹圖,的,的構(gòu),造,造,假設(shè),一,一種,股,股票,開,開始,的,的價(jià),格,格為$20，,并,并在,圖,圖8-3,所,所示,的,的兩,步,步二,叉,叉樹,圖,圖的,每,每個(gè),單,單步,二,二叉,樹,樹圖,中,中，,股,股票,價(jià),價(jià)格,可,可以,上,上升10,或,者,者下,降,降10,。,。,假設(shè),在,在每,個(gè),個(gè)單,步,步二,叉,叉樹,的,的步,長(zhǎng),長(zhǎng)是,三,三個(gè),月,月，,無(wú),無(wú)風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn)利,率,率是,年,年率12,。考慮,一,一個(gè),執(zhí),執(zhí)行,價(jià),價(jià)格,為,為$21,的,的期,權(quán),權(quán)。,在圖8-3中,，,，很,容,容易,得,得到,，,，在,節(jié),節(jié)點(diǎn),D，,期權(quán),價(jià),價(jià)格,為,為$3.2；,在,在節(jié),點(diǎn),點(diǎn),E,和,F，,期權(quán),價(jià),價(jià)格,為,為零,。,。,在節(jié),點(diǎn),點(diǎn),B,的期,權(quán),權(quán)價(jià),格,格計(jì),算,算如,下,下：,u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523.,在,節(jié),節(jié),點(diǎn),點(diǎn),B,的,期,期,權(quán),權(quán),價(jià),價(jià),格,格,為,為,：,：,e,-0.12,0.25,(0.6523,3.2,十0.3477,0)=2.0257,在,節(jié),節(jié),點(diǎn),點(diǎn),C,，,，,期,權(quán),權(quán),價(jià),價(jià),格,格,為,為0,。,。,在,節(jié),節(jié),點(diǎn),點(diǎn),A,的,期,期,權(quán),權(quán),價(jià),價(jià),格,格,為,為,：,：,e,-0.12,0.25,(0.6523,2.0257,十0.3477,0)=1.2823,在,構(gòu),構(gòu),造,造,這,這,個(gè),個(gè),例,例,子,子,時(shí),時(shí),，,，,u,和,d(,股,票,票,價(jià),價(jià),格,格,上,上,升,升,和,和,下,下,降,降,的,的,比,比,率,率),在,在,樹,樹,圖,圖,的,的,每,每,個(gè),個(gè),節(jié),節(jié),點(diǎn),點(diǎn),上,上,是,是,相,相,同,同,的,的,，,，,每,每,個(gè),個(gè),單,單,步,步,二,二,叉,叉,樹,樹,的,的,時(shí),時(shí),間,間,長(zhǎng),長(zhǎng),度,度,是,是,相,相,等,等,的,的,。,。由,式,式,（,（9.3,）,）,可,可,得,得,風(fēng),風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn),中,中,性,性,的,的,概,概,率,率,p,，,，,它,在,在,每,每,個(gè),個(gè),節(jié),節(jié),點(diǎn),點(diǎn),都,都,是,是,相,相,同,同,的,的,。,。,8.3.2,一,般,般,結(jié),結(jié),論,論,如,圖,圖8-4,所,所,示,示,，,，,初,初,始,始,股,股,票,票,價(jià),價(jià),格,格,為,為,S,。,。,在,每,每,個(gè),個(gè),單,單,步,步,二,二,叉,叉,樹,樹,中,中,，,，,股,股,票,票,價(jià),價(jià),格,格,或,或,者,者,上,上,升,升,到,到,初,初,始,始,值,值,的,的,u,倍,，,，,或,或,下,下,降,降,到,到,初,初,始,始,值,值,的,的,d,倍,。,。,假,假,設(shè),設(shè),無(wú),無(wú),風(fēng),風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn),利,利,率,率,是,是,r,。,。,每,個(gè),個(gè),單,單,步,步,二,二,又,又,樹,樹,的,的,時(shí),時(shí),間,間,長(zhǎng),長(zhǎng),度,度,是,是,t,年,。,。,重,復(fù),復(fù),式,式,（,（9.2,）,）,的,的,計(jì),計(jì),算,算,，,，,給,給,出,出,：,：,（9.5,）,）,（9.6,）,）,（9.7,）,）,將,式,式,（,（9.5,）,）,和,和,（,（9.6,）,）,代,代,入,入,式,式,（,（9.7,）,）,，,，,得,得,到,到,：,：,式,中,中,，,，,p,2,，,2p(1-p),和,(1-,p),2,是,達(dá),達(dá),到,到,最,最,后,后,上,上,、,、,中,中,、,、,下,下,三,三,個(gè),個(gè),節(jié),節(jié),點(diǎn),點(diǎn),的,的,概,概,率,率,。,。,衍,生,生,證,證,券,券,的,的,價(jià),價(jià),格,格,等,等,于,于,它,它,在,在,它,它,在,在,風(fēng),風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn),中,中,性,性,世,世,界,界,的,的,預(yù),預(yù),期,期,收,收,益,益,按,按,無(wú),無(wú),風(fēng),風(fēng),險(xiǎn),險(xiǎn),利,利,率,率,貼,貼,現(xiàn),現(xiàn),的,的,值,值,。,。,如,果,果,在,在,樹,樹,圖,圖,中,中,加,加,入,入,更