《更高更妙的物理》物體系間的速度

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,物系相關速度,物系相關速度共性,研究對象,剛體,不發(fā)生形變的理想物體,實際物體在外力作用下發(fā)生的形變效應不顯著可被忽略時,即可將其視作剛體,基本特征,具有剛體的力學性質，剛體上任意兩點之間的相對距離是恒定不變的;,剛體運動的速度法則,角速度,剛體上每一點的速度都是與基點(可任意選擇)速度相同的平動速度和相對于該基點的轉動速度的矢量和.,轉動速度,v=r,，,r,是對基點的轉動半徑，,是剛體轉動角速度,任何剛體的任何一種復雜運動都是由平動與轉動復合而成的.,剛體各質點自身轉動角速度總相同且與基點的選擇無關,A,B,C,D,v,2,v,2,d,v,1,v,1,d,O,在同一時刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速度.,沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時相同.,相交雙方沿對方切向運動分速度的矢量和.,物系相關速度特征,桿或繩約束物系各點速度的相關特征是：,接觸物系接觸點速度的相關特征是：,線狀相交物系交叉點的速度是:,v,1,v,0,v,2,v,1,v,v,t,v,n,v,n,v,1,d,v,0,v,2,d,如圖所示，,AB,桿的,A,端以勻速,v,運動，在運動時桿恒與一,半圓周相切，半圓周的半徑為,R,，當桿與水平線的交角為,時，求桿的角速度,及桿上與半圓相切點,C,的速度,專題5-例1,這是桿約束相關速度問題,考察桿切點,C,由于半圓靜止,C,點速度必沿桿!,v,C,B,R,A,v,1,v,2,v,c,桿,A,點速度必沿水平!,以,C,為基點分解,v,:,由桿約束相關關系:,v,2,是,A,點對,C,點的轉動速度,故,B,2,A,1,A,2,如圖所示，合頁構件由三個菱形組成，其邊長之比為321，頂點,A,3,以速度,v,沿水平方向向右運動，求當構件所有角都為直角時，頂點,2,的速度,v,B2,專題5-例2,這是桿約束相關速度問題,A,0,A,1,A,2,A,3,B,1,B,2,B,3,v,v,A,2,v,A,1,v,2,v,1,分析頂點,A,2,、,A,1,的速度：,頂點,B,2,，既是,A,1,B,2,桿上的點，又是,A,2,B,2,桿上的點，分別以,A,1、,A,2,為基點，分析,B,2,點速度：,v,1,v,2,v,B,2,由圖示知,由幾何關系,D,C,v,x,B,A,v,BA,這是繩約束相關速度問題,繩,BD,段上各點有與繩端,D,相同的沿繩,BD,段方向的分速度,v,；,設,A,右移速度為,v,x,，,即相對于,A,，繩上,B,點是以速度,v,x,從動滑輪中抽出的，即,引入,中介參照系-物,A,，在沿繩,BD,方向上，繩上,B,點速度,v,是其相對于參照系,A,的速度,v,x,與參照系,A,對靜止參照系速度,v,x,cos,的合成，即,v,由上,v,x,cos,如圖所示，物體,A,置于水平面上，物,A,前固定有動滑輪,B,，,D,為定滑輪，一根輕繩繞過,D,、,B,后固定在,C,點，,BC,段水平，當以速度,v,拉繩頭時，物體,A,沿水平面運動，若繩與水平面夾角為，物體,A,運動的速度是多大？,專題5-例3,如圖所示，半徑為,R,的半圓凸輪以等速,v,0,沿水平面向右運動，帶動從動桿,AB,沿豎直方向上升，,O,為凸輪圓心，,P,為其頂點求當,AOP,=,時，,AB,桿的速度,專題5-例4,這是接觸物系接觸點相關速度問題,P,A,O,B,v,0,v,A,v,0,根據接觸物系觸點速度相關特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即,如圖所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子,A,上，以恒定的速度,v,拉繩，當繩與豎直方向成角時，求線軸中心,O,的運動速度,v,0,線軸的外徑為,R,、內徑為,r,，線軸沿水平面做無滑動的滾動,專題5-例5,R,r,O,v,A,O,B,考察繩、軸接觸的切點,B,速度,軸上,B,點具有與軸心相同的平動速度,v,0,與對軸心的轉動速度,r,：,v,0,r,繩上,B,點沿繩方向速度,v,和與軸,B,點相同的法向速度,v,n,：,v,n,由于繩、軸點點相切，有,線軸沿水平面做純滾動,C,v,0,若,線軸逆時針滾動，則,如圖所示，線軸沿水平面做無滑動的滾動，并且線端,A,點速度為,v,，方向水平以鉸鏈固定于,B,點的木板靠在線軸上，線軸的內、外徑分別為,r,和,R,試確定木板的角速度,與角,的關系,專題5-例6,考察板、軸接觸的切點,C,速度,板上,C,點與線軸上,C,點有相同的法向速度,v,n,且板上,v,n,正是,C,點關于,B,軸的轉動速度,：,C,A,B,C,v,n,C,v,n,線軸上,C,點的速度：它應是,C,點對軸心,O,的轉動速度,v,Cn,和與軸心相同的平動速度,v,O,的矢量和，而,v,Cn,是沿,C,點切向的，則,C,點法向速度,v,n,應是：,v,0,v,v,Cn,v,0,v,線軸為剛體且做純滾動，故以線軸與水平面切點為基點，應有,D,R,r,如圖所示，水平直桿,AB,在圓心為,O,、半徑為,r,的固定圓圈上以勻速,u,豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點處一小滑環(huán),M,的速度，設,OM,與豎直方向的夾角為,專題5-例7,這是線狀交叉物系交叉點相關速度問題,B,O,M,將桿的速度,u,沿桿方向與圓圈切線方向分解:,u,滑環(huán)速度即交叉點速度,方向沿圓圈切向;,根據交叉點速度是,相交雙方沿對方切向運動分速度的矢量和,，滑環(huán)速度即為桿沿圓圈切向分速度:,如圖所示，直角曲桿,OBC,繞,O,軸在圖示平面內轉動，使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿,OA,滑動已知,OB,=10 cm，曲桿的角速度=0.5 rad/s，求=60時，小環(huán),M,的速度,專題5-例8,這是線狀交叉物系交叉點相關速度問題,O,A,B,M,C,60,由于剛性曲桿,OBC,以,O,為軸轉動，故,BC,上與,OA,直桿交叉點,M,的速度方向垂直于轉動半徑,OM,、大小是:,根據交叉點速度相關特征，該速度沿,OA,方向的分量即為小環(huán)速度，故將,v,BCM,沿,MA、MB,方向分解成兩個分速度:,v,BCM,小環(huán),M,的速度即為,v,MA,：,v,MA,v,MB,30,O,A,B,C,d,O,1,O,2,如圖所示，一個半徑為,R,的軸環(huán),O,1,立在水平面上，另一個同樣的軸環(huán),O,2,以速度,v,從這個軸環(huán)旁通過，試求兩軸環(huán)上部交叉點,A,的速度,v,A,與兩環(huán)中心之距離,d,之間的關系軸環(huán)很薄且第二個軸環(huán)緊傍第一個軸環(huán),專題5-例9,d,O,1,A,O,2,v,本題求線狀交叉物系交叉點,A,速度,A,v,1,v,2,v,軸環(huán),O,2,速度為,v,，將此速度沿軸環(huán),O,1,、,O,2,的交叉點,A,處的切線方向分解成,v,1,、,v,2,兩個分量:,O,2,由線狀相交物系交叉點相關速度規(guī)律可知，交叉點,A,的速度即為,沿對方速度分量,v,1,!,由圖示幾何關系可得:,O,頂桿,AB,可在豎直滑槽,K,內滑動，其下端由凸輪,M,推動凸輪繞,O,軸以勻角速轉動，在圖示時刻，,OA,r,，凸輪輪緣與,A,接觸處法線,n,與,OA,之間的夾角為，試求頂桿的速度,小試身手題1,M,n,A,K,B,桿與凸輪接觸點有相同的法向速度!,v,桿,r,r,根據接觸物系觸點速度相關特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即,一人身高,h,，在燈下以勻速率,v,A,沿水平直線行走如圖所示，設燈距地面高度為,H,，求人影的頂端,點沿地面移動的速度,小試身手題2,H,M,h,借用繩桿約束模型,設人影端點,M,移動速度為,v,影,以光源為基點,將,v,A,和,v,影,分解為沿光線方向“伸長速度”和對基點的“轉動速度”,v,A,由幾何關系,由一條光線上各點轉動角速度相同：,v,0,如圖所示,纏在線軸,A,上的線被繞過滑輪,B,以恒定速率,v,0,拉出，這時線軸沿水平面無滑動地滾動求線軸中心,O,點的速度隨線與水平方向的夾角,的變化關系線軸的內、外半徑分別為,R,與,r,小試身手題3,A,B,O,V,V,A,V,0,考察繩、軸接觸的切點,A,速度,軸上,A,點具有對軸心的轉動速度,V=R,和與軸心相同的平動速度,V,0,：,v,0,V,0,C,繩上,A,點具有沿繩方向速度,v,0,和與軸,A,點相同的法向速度,v,n,：,v,n,由于繩、軸點點相切，有,由于純滾動，有,圖中的,AC,、,BD,兩桿以勻角速度分別繞相距為,l,的,A,、,兩固定軸在同一豎直面上轉動，轉動方向已在圖上示出小環(huán),M,套在兩桿上，,t,=0時圖中,=,=60，試求而后任意時刻,t,（,M,未落地）,M,運動的速度大小,小試身手題4,A,B,C,D,M,因兩桿角速度相同，,AMB=,60,不變,本題屬線狀交叉物系交叉點速度問題,套在兩桿交點的環(huán),M,所在圓周半徑為,60,O,l,R,2,桿,D,轉過,圓周角，,M,點轉過同弧上2,的圓心角,環(huán),M,的角速度為,2,!,環(huán),M,的線速度為,如圖,一個球以速度,v,沿直角斜槽,ACB,的棱角做無滑動的滾動,AB,等效于球的瞬時轉軸試問球上哪些點的速度最大？這最大速度為多少？,小試身手題5,本題屬剛體各點速度問題,A,C,B,球心速度為,v,，則對瞬時轉軸,AB,:,O,則球角速度,球表面與瞬時轉軸距離最大的點有最大速度!,根據剛體運動的速度法則:,如圖，由兩個圓環(huán)所組成的滾珠軸承，其內環(huán)半徑為,R,2,，外環(huán)半徑為,R,1,，在二環(huán)之間分布的小圓球（滾珠）半徑為,r,，外環(huán)以線速度,v,1,順時針方向轉動，而內環(huán)則以線速度,v,2,順時針方向轉動，試求小球中心圍繞圓環(huán)的中心順時針轉動的線速度,v,和小球自轉的角速度，設小球與圓環(huán)之間無滑動發(fā)生,小試身手題6,R,1,R,2,v,已知滾珠球心速度為,v,，角速度為，,v,1,v,2,A,r,根據剛體運動的速度法則:,滾珠與內環(huán)接觸處,A,速度,滾珠與外環(huán)接觸處,B,速度,r,B,滾珠與兩環(huán)無滑動，兩環(huán)與珠接觸處,A,、,B,切向速度相同,本題屬剛體各點速度及接觸點速度問題,一片膠合板從空中下落，發(fā)現在某個時刻板上,a,點速度和,b,點速度相同：,v,a,=,v,b,=,v,，且方向均沿板面；同時還發(fā)現板上,c,點速度大小比速度,v,大一倍，,c,點到,a、b,兩點距離等于,a、b,兩點之間距離試問板上哪些點的速度等于3,v,？,小試身手題7,本題屬剛體各點速度問題,板上,a、b,兩點速度相同，故,a、b,連線即為板瞬時轉動軸!,v,v,c,a,b,l,根據剛體運動的速度法則,C,點速度為:,v,c,=,2,v,v,v,cn,=l,矢量圖示,同理,速度為3,v,的點滿足,V=,3,v,v,n,=x,如圖,A,、,B,、,C,三位芭蕾演員同時從邊長為,l,的三角形頂點,A,、,B,、,C,出發(fā)，以相同的速率,v,運動，運動中始終保持,A,朝著,B,，,B,朝著,C,，,C,朝著,A,試問經多少時間三人相聚？每個演員跑了多少路程？,小試身手題8,A,B,C,由三位舞者運動的對稱性可知，他們會合點在三角形,ABC,的中心,O,O,O,v,n,每人的運動均可視做,繞,O,轉動的同時向,O,運動，,v,t,考慮,A,處舞者沿,AO,方向分運動考慮,到達,O,點歷時,由于舞者勻速率運動,則,如圖所示，一個圓臺，上底半徑為,r,，下底半徑為,R,，其母線,AB,長為,L,，放置在水平地面上，推動它以后，它自身以角速度旋轉，整體繞,點做勻速圓周運動，若接觸部分不打滑，求旋轉半徑,OA,及旋轉一周所需時間,T,小試身手題9,A,B,L,O,r,R,設旋轉半徑為,x,，則由幾何關系:,接觸處不打滑，則,A,點（即接觸點）移動速度即為,v,A,則,如圖所示，繩的一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為,R,，放在與水平面成角的光滑斜面上，當繩變?yōu)樨Q直方向時，圓筒轉動角速度為(此時繩未松馳)，試求此刻圓筒與繩分離處,A,的速度以及圓筒與斜面切點,C,的速度,小試身手題10,A,O,繩豎直時設圓筒中心速度