原（逆）命題、原（逆）定理 (3)

,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第十八章 平行四邊形,導(dǎo)入新課,講授新課,當(dāng)堂練習(xí),課堂小結(jié),18.2.2,菱 形,第,2,課時(shí) 菱形的判定,學(xué)習(xí)目標(biāo),1,.,經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判,定定理,（重點(diǎn)）,2.,會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算,.,（難點(diǎn)）,一組鄰邊相等,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形,平行四邊形,菱形的性質(zhì),菱形,兩組對(duì)邊平行,四條邊相等,兩組對(duì)角分別相等,鄰角互補(bǔ),兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角,邊,角,對(duì)角線,復(fù)習(xí)引入,導(dǎo)入新課,問題,菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？,根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個(gè)判定的方法：,AB,=,AD,，,四邊形,ABCD,是平行四邊形，,四邊形,ABCD,是菱形,.,數(shù)學(xué)語言,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形,.,A,B,C,D,思考,還有其他的判定方法嗎？,講授新課,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,一,前面我們用一長一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)平行四邊形,.,那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形,?,對(duì)此你有什么猜想？,猜想：,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,.,你能證明這一猜想嗎？,A,B,C,O,D,已知：如圖，四邊形,ABCD,是平行四邊形,對(duì)角線,AC,與,BD,相交于點(diǎn),O,，,AC,BD,.,求證：,ABCD,是菱形,.,證明：,四邊形,ABCD,是平行四邊形,.,OA,=,OC,.,又,AC,BD,BD,是線段,AC,的垂直平分線,.,BA,=,BC,.,四邊形,ABCD,是菱形（菱形的定義）,.,證一證,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形,是菱形,AC,BD,幾何語言描述：,在,ABCD,中，,AC,BD,ABCD,是菱形,.,A,B,C,D,菱形,ABCD,A,B,C,D,ABCD,菱形的判定定理：,歸納總結(jié),例,1,如圖，,ABCD,的兩條對(duì)角線,AC,、,BD,相交于點(diǎn),O,，,AB,=5,，,AO,=4,，,BO,=3.,求證：四邊形,ABCD,是菱形,.,A,B,C,D,O,又,四邊形,ABCD,是平行四邊形，,OA,=4,OB,=3,AB,=5,，,證明：,即,AC,BD,，,AB,2,=,OA,2,+,OB,2,，,AOB,是直角三角形，,典例精析,四邊形,ABCD,是菱形,.,例,2,如圖,矩形,ABCD,的對(duì)角線,AC,的垂直平分線與邊,AD,、,BC,分別交于點(diǎn),E,、,F,求證：四邊形,AFCE,是菱形,A,B,C,D,E,F,O,1,2,證明,:,四邊形,ABCD,是矩形,AEFC,，,1=2,.,EF,垂直平分,AC,，,AO,=,OC,.,又,AOE,=,COF,，,AOE,COF,，,EO,=,FO,.,四邊形,AFCE,是平行四邊形,.,又,EF,AC,四邊形,AFCE,是菱形,.,練一練,在四邊形,ABCD,中，對(duì)角線,AC,，,BD,互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形,ABCD,是菱形，則這個(gè)條件可以是 （）,A,ABC,=90,B,AC,BD,C,AB,=,CD,D,AB,CD,B,四條邊相等的四邊形是菱形,二,小剛：,分別以,A,、,C,為圓心,以大于,AC,的長為半徑作弧,兩條 弧分別相交于點(diǎn),B,D,依次連接,A,、,B,、,C,、,D,四點(diǎn),.,已知線段,AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形,ABCD,使,AC,為菱形的一條對(duì)角線嗎？,C,A,B,D,想一想：,根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗(yàn)證小剛的作法對(duì)嗎？,猜想：,四條邊相等的四邊形,是,菱形,.,證明：,AB,=,BC,=,CD,=,AD,;,AB,=,CD,BC=AD,.,四邊形,ABCD,是平行四邊形,.,又,AB,=,BC,四邊形,ABCD,是菱形,.,A,B,C,D,已知：如圖，四邊形,ABCD,中,AB,=,BC=CD=AD.,求證：四邊形,ABCD,是菱形,.,證一證,四條邊都相等,的四邊形是菱形,AB,=,BC=CD=AD,幾何語言描述：,在四邊形,ABCD,中，,AB,=,BC=CD=AD,，,四邊形,ABCD,是菱形,.,A,B,C,D,菱形,ABCD,菱形的判定定理：,歸納總結(jié),四,邊形,ABCD,A,B,C,D,下列命題中正確的是 （）,A.,一組鄰邊相等的四邊形是菱形,B.,三條邊相等的四邊形是菱形,C.,四條邊相等的四邊形是菱形,D.,四個(gè)角相等的四邊形是菱形,C,練一練,證明：,1=,2,又,AE,=,AC,AD,=,AD,ACD,AED,(SAS).,同理,ACF,AEF,(SAS).,CD,=,ED,CF,=,EF,.,又,EF,=,ED,CD,=,ED,=,CF,=,EF,四邊形,ABCD,是菱形,.,2,例,3,如圖,在,ABC,中,AD,是角平分線,點(diǎn),E,、,F,分別在,AB,、,AD,上,且,AE,=,AC,EF,=,ED,.,求證：四邊形,CDEF,是菱形,.,A,C,B,E,D,F,1,典例精析,例,4,如圖，在,ABC,中，,B,90,，,AB,6cm,，,BC,8cm.,將,ABC,沿射線,BC,方向平移,10cm,，得到,DEF,，,A,，,B,，,C,的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是,D,，,E,，,F,，連接,AD,.,求證：四邊形,ACFD,是菱形,證明：由平移變換的性質(zhì)得,CF,AD,10cm,，,DF,AC,.,B,90,，,AB,6cm,，,BC,8cm,，,AC,DF,AD,CF,10cm,，,四邊形,ACFD,是菱形,四邊形的條件中存在多個(gè)關(guān)于邊的等量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用四條邊都相等來判定一個(gè)四邊形是菱形比較方便,歸納,H,G,F,E,D,C,B,A,證明：連接,AC,、,BD,.,四邊形,ABCD,是矩形，,AC,=,BD,.,點(diǎn),E,、,F,、,G,、,H,為各邊中點(diǎn)，,EF,=,FG,=,GH,=,HE,，,四邊形,EFGH,是菱形,.,例,5,如圖，順次連接矩形,ABCD,各邊中點(diǎn)，得到四邊形,EFGH,，求證：四邊形,EFGH,是菱形,.,C,A,B,D,E,F,G,H,【變式題】,如圖，順次連接對(duì)角線相等的四邊形,ABCD,各邊中點(diǎn)，得到四邊形,E,F,G,H,是什么四邊形？,解：四邊形,EFGH,是菱形,.,又,AC,=,BD,點(diǎn),E,、,F,、,G,、,H,為各邊中點(diǎn)，,EF,=,FG,=,GH,=,HE,，,四邊形,EFGH,是菱形,.,順次連接對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，得到四邊形是菱形,.,歸納,理由如下：連接,AC,、,BD,A,B,C,D,E,F,G,H,拓展,1,如圖，順次連接平行四邊形,ABCD,各邊中點(diǎn)，得到四邊形,EFGH,是什么四邊形？,解：連接,AC,、,BD,.,點(diǎn),E,、,F,、,G,、,H,為各邊中點(diǎn)，,四邊形,EFGH,是平行四邊形,.,拓展,2,如圖，若四邊形,ABCD,是菱形，順次連接,菱形,ABCD,各邊中點(diǎn)，得到四邊形,EFGH,是什么四邊形？,四邊形,EFGH,是矩,形,.,同學(xué)們自己去解答吧,思考,在學(xué)平行四邊形的時(shí)候我們知道把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起得到的四邊形是平行四邊形，你能進(jìn)一步判斷重疊部分,ABCD,的形狀嗎？,A,C,D,B,分析：,易知四邊形,ABCD,是,平行四邊形,，只需證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可,.,由題意可知,BC,邊上的高和,CD,邊上的高相等，,然后通過證,ABE,ADF,，即得,AB,=,AD,.,請(qǐng)補(bǔ)充完整的證明過程,E,F,例,3,如圖，在,ABC,中，,D,、,E,分別是,AB,、,AC,的中點(diǎn)，,BE,2,DE,，延長,DE,到點(diǎn),F,，使得,EF,BE,，連接,CF,.,(1)求證：四邊形,BCFE,是菱形；,(1)證明：,D,、,E,分別是,AB,、,AC,的中點(diǎn)，,DE,BC,且2,DE,BC,.,又,BE,2,DE,，,EF,BE,，,EF,BC,，,EF,BC,，,四邊形,BCFE,是平行四邊形,又,EF,BE,，,四邊形,BCFE,是菱形；,菱形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用,三,(2)解：,BCF,120，,EBC,60，,EBC,是等邊三角形，,菱形的邊長為4，高為 ，,菱形的面積為 .,(2)若,CE,4，,BCF,120，求菱形,BCFE,的面積,判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，要結(jié)合條件靈活選擇方法如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，可以先嘗試證出這個(gè)四邊形是平行四邊形,歸納,練一練,如圖，在平行四邊形,ABCD,中，,AC,平分,DAB,，,AB,=2，求平行四邊形,ABCD,的周長,.,解：四邊形,ABCD,為平行四邊形，,ADBC,，,ABCD,，,DAC,=,ACB,，,BAC,=,ACD,，,AC,平分,DAB,，,DAC,=,BAC,，,DAC,=,ACD,，,AD,=,DC,，,四邊形,ABCD,為菱形，,四邊形,ABCD,的周長=42=8,當(dāng)堂練習(xí),1.,判斷下列說法是否正確,(1),對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；,(2),對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；,(3),對(duì)角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的,四邊形是菱形；,(4),兩條鄰邊相等，且一條對(duì)角線平分一組,對(duì)角的四邊形是菱形,2.,一邊長為,5cm,平行四邊形的兩條對(duì)角,線的長分別為,24cm,和,26cm,，那么平行四邊形的面積是,.,312cm,2,3.如圖，將,ABC,沿,BC,方向平移得到,DCE,，連接,AD,，下列條件能夠判定四邊形,ACED,為菱形的是（,）,A,AB,=,BC,B,AC,=,BC,C,B,=60 D,ACB,=60,B,解析：將,ABC,沿,BC,方向平移得到,DCE,，,A,C,D,E,，,A,C,=,D,E,，,四邊形,AB,E,D,為平行四邊形,.,當(dāng),AC,=,BC,時(shí)，,平行四邊形,ACED,是菱形,故選B,A,B,C,D,O,E,4.,如圖，矩形,ABCD,的對(duì)角線相交于點(diǎn),O,，,DEAC,CE BD,.,求證：四邊形,OCED,是菱形,.,證明：,DEAC,，,CEBD,，,四邊形,OCED,是平行四邊形,.,四邊形,ABCD,是矩形，,OC,=,OD,，,四邊形,OCED,是菱形,證明：,MN,是,AC,的垂直平分線，,AE,=,CE,，,AD,=,CD,，,OA,=,OC,，,AOD,=,EOC,=90.,CEAB,，,DAO,=,ECO,，,ADO,CEO,（,ASA,）,AD,=,CE,，,OD,=,OE,，,OD,=,OE,，,OA,=,OC,，,四邊形,ADCE,是平行四邊形,又,AOD,=90,，,四邊形,ADCE,是菱形,5.,如圖，,ABC,中，,AC,的垂直平分線,MN,交,AB,于點(diǎn),D,，交,AC,于點(diǎn),O,，,CEAB,交,MN,于點(diǎn),E,，連接,AE,、,CD,.,求證：四邊形,ADCE,是菱形,.,B,C,A,D,O,E,M,（1）證明：由尺規(guī)作,BAF,的平分線的過程可得,AB,=,AF,，,BAE,=,FAE,，,四邊形,ABCD,是平行四邊形，,AD,BC,，,FAE,=,AEB,，,BAE,=,AEB,，,AB,=,BE,，,BE,=,FA,，四邊形,ABEF,為平行四邊形，,AB,=,AF,，,四邊形,ABEF,為菱形；,6.,如圖,在平行四邊形,ABCD,中，用直尺和圓規(guī)作,BAD,的,平分線交,BC,于點(diǎn),E,，連接,EF,（1）求證：四邊形,ABEF,為菱形；,（2）,AE,，,BF,相交于點(diǎn),O,，若,BF,=6，,AB,=5，求,AE,的長,（2）,AE,，,BF,相交于點(diǎn),O,，若,BF,=6，,AB,=5，求,AE,的長,解：四邊形,ABEF,為菱形，,AE,BF,，,BO,=,FB,=3，,AE,=2,