2用空間向量證(解)立體幾何題之2

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,用,空間向量證(解)立體幾何題之,(五,),-,證明線面平行,講課教師：,廣東省汕頭市金園實(shí)驗(yàn)中學(xué),2004年3月,葛立其,用空間向量證(解)立體幾何題是現(xiàn)階段的熱門話題,。,它可以把一些復(fù)雜的證明或計(jì)算題用“程序化”的計(jì)算來(lái)給出解答。,前,段,時(shí)間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點(diǎn)面距離、線面距離和面面距離)和證明垂直(包括線線垂直、線面垂直和面面垂直)。,用空間向量證明“平行”， 包括線面平行和面面平行。,G,A,E,D,C,B,F,H,M,N,例,1.如圖：,ABCD,與,ABEF,是正方形，,CB,平面,ABEF，H、G,分別是,AC、BF,上的點(diǎn)，且,AH=GF.,求證：,HG,平面,CBE.,MHAB,NG AB MHNG,AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG,G,A,E,D,C,B,F,H,P,PHCB,PGBE,平面,HPG,平面,CBE,HG,平面,CBE,G,A,E,D,C,B,F,H,o,z,y,證明：由已知得：,AB、BC、BE,兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,o-xyz.,x,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,AH=FG=a,則,H(0,1- a , a)、,G(1- a , 1- a,0),故 ,而平面,CBE,的法向量為 (0,1,0), 故 ,而 平面,CBE,故,HG,平面,CBE,R,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,例,2.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,P、Q,分別是,A,1,B,1,和,BC,上的動(dòng),點(diǎn)，且,A,1,P=BQ，M,是,AB,1,的中點(diǎn)，,N,是,PQ,的中點(diǎn). 求證：,MN,平面,AC.,M,是中點(diǎn)，,N,是中點(diǎn),MNRQ,MN,平面,AC,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,作,PP,1,AB,于,P,1，,作,MM,1,AB,于,M,1，,連結(jié),QP,1，,作,NN,1, QP,1,于,N,1，,連結(jié),M,1,N,1,N,1,M,1,P,1,NN,1,PP,1,MM,1,AA,1,又,NN,1,、MM,1,均等于邊長(zhǎng)的一半,故,MM,1,N,1,N,是平行四邊形，故,MNM,1,N,1,MN,平面,AC,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,z,y,x,o,證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,o-xyz,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，又設(shè),A,1,P=BQ=2x,則,P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0),故,N(2-x, 1+x, 1),而,M(2, 1, 1),所以向量 (-,x, x, 0)，,又平面,AC,的法向量為 (0, 0, 1)， ,又,M,不在平面,AC,內(nèi)，所以,MN,平面,AC,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,例3.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求證： 平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,平行四邊形,A,1,BCD,1,A,1,BD,1,C,平行四邊形,DBB,1,D,1,B,1,D,1,BD,于是平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,o,z,y,x,證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,o-xyz,設(shè),正方形邊長(zhǎng)為1，則向量,設(shè)平面,BDA,1,的法向量為,則有,x+z=0,x+y=0,令,x=1,則得方程組的解為,x=1 y=-1 z=-1,故,平面,BDA,1,的法向量為,同理可得,平面,CB,1,D,1,的法向量為,則,顯然有,即得兩,平面,BDA,1,和,CB,1,D,1,的法向量平行,所以 平面,BDA,1,CB,1,D,1,通過(guò)本例的練習(xí)，同學(xué)們要進(jìn)一步掌握平面法向量的求法：即用平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量與假設(shè)的法向量求數(shù)量積等于0，利用解方程組的方法求出平面法向量(在解的過(guò)程中可令其中一個(gè)未知數(shù)為某個(gè)數(shù))。,例1、2與例3在利用法向量時(shí)有何不同？,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,F,G,H,E,例4.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E、F、G、H,分別是,A,1,B,1,、B,1,C,1,、C,1,D,1,、D,1,A,1,的中點(diǎn). 求證： 平面,AEH,平面,BDGF,ADGF，AD=GF,又EHB,1,D,1,，GFB,1,D,1,EHGF,平行四邊形,ADGE AEDG,故得,平面,AEH,平面,BDGF,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,H,G,F,E,o,z,y,x,略證：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,o-xyz,則,求得平面,AEF,的法向量為,求得平面,BDGH,的法向量為,顯然有,故 平面,AEH,平面,BDGF,小結(jié)：,利用向量的有關(guān)知識(shí)解決一些立體幾何的問(wèn)題，是近年來(lái)很“時(shí)髦”的話題，其原因是它把有關(guān)的“證明”轉(zhuǎn)化為“程序化的計(jì)算” 。本課時(shí)講的內(nèi)容是立體幾何中的證明“線面平行”的一些例子，結(jié)合我們以前講述立體幾何的其他問(wèn)題(如：證明垂直、求角、求距離等)，大家從中可以進(jìn)一步看出基中一些解題的“套路”。,利用向量解題 的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系及寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,P,F,E,作業(yè)： 1.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E、F,分別是,A,1,D,1,、,BB,1,的中點(diǎn)，問(wèn):在邊,CC,1,上,是否存在一點(diǎn),P，,使,AC,平面,EFP？,若,存在，求出,P,的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。,N,M,P,D,C,B,A,2.在四棱錐,P-ABCD,中，底,ABCD,是正方形， 且,PA=PB=PC= PD=AB=BC= CD =DA, M、N,分別 是,PA、BD,上的 動(dòng)點(diǎn)， 且,PM:MA=BN:ND。,問(wèn)：直線,MN,與平面,PBC,有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.,謝謝光臨,再見(jiàn),請(qǐng)?zhí)?意見(jiàn) 電話：13322702081,