《分解因式》中考熱點(diǎn)透視

精品資源分解因式中考熱點(diǎn)透視分解因式一章中，我們主要學(xué)習(xí)了分解因式的概念、會(huì)用兩種方法分解因式，即提公因式法、平 方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）.具體要求有：1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的整體（整式乘法與因式分解）聯(lián)系2、了解因式分解的意義，會(huì)用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次） 進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）3、通過乘法公式：（a + b ） （a - b ） =a - b 2, （ab） 2= a2 + 2ab + b 2的逆向變形，進(jìn)一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語言表達(dá)能力在中考中，除了考查對(duì)一個(gè)整式進(jìn)行分解因式等常規(guī)題型外，因式分解作為一種重要的解題方法和工具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意一、構(gòu)造求值型1 212例1 （2004山西）已知x+y=1,那么一x +xy+y的值為2 2分析：通過已知條件，不能分別求出 x、y的值，所以要考慮把所求式進(jìn)行變形，構(gòu)造出 x+y的整體 形式.在此過程中我們要用完全平方公式對(duì)因式分解中的1 2121/22、121211x + xy + y = （x+2xy+y ） = （x+y） =父1= 一父1 = 一.2 2222221在此過程中，我們先提取公因式1,再用完全平方公式對(duì)原式進(jìn)行因式分解，產(chǎn)生x+y的整體形式，2最后將x+y=1代入求出最終結(jié)果.例 2 （2004 廣西桂林）計(jì)算：2 22 -23 ,-218 -219 + 220 =.分析：為了便于觀察，我們將原式“倒過來” ，即原式=220 _219 _218 一 一23 一22 2=219(2 -1) -218 -23 -22 2=219 -218 -23 - 222=218(2 -1)-23 - 2 2 2218 -23 -222=22 + 2 = 4+2 = 6.此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進(jìn)行分解因式，使結(jié)構(gòu)特點(diǎn)明朗化，規(guī)律凸現(xiàn)出來 題解法很多，比如，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個(gè)整體，利用方程與提公因式法分解因式相 結(jié)合的方法解答此題.2318192023181920設(shè) M = 2 2 2 一2-2 +2 ，則-M = -2+2 +2 + ,+2 +2 - 2M =2(1 -2 -22 -218 219) =21 -(2 22 -218 -219) =21 -(-M 4- 2 219220) = 2M -6即解得M = 2M -6.M = 6.二、探索規(guī)律型例3(2002福建福州)觀察下列各式：12+1=1 X 2, 22+2=2X 3, 32+3= 3X 4,請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)n(n > 1)表示出來.分析：根據(jù)題意，不難猜想到規(guī)律：n2+n=n(n+1).這個(gè)結(jié)論就是用提公因式法把n2+n進(jìn)行了因式分解.例4 (2003青海)請(qǐng)先觀察下列算式，再填空：32 -12 =8乂1 , 52 -32 =8x2 .(1) 72 -52 =8X;，一、22 一 9 ()=8X4；(3) () 2 92 = 8X5；(4) 132 () 2=8X;通過觀察歸納，寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論： .分析：類比各式，可以發(fā)現(xiàn)：(1) 72 -52 =8X 3 :，一、22 一(2) 9 ()=8X4;(3) ( 11 ) 2 -92=8X5；(4) 132 - ( 11 ) 2 = 8X 7 ；通過觀察歸納，得到這種規(guī)律的一般結(jié)論是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除(或說是8的倍數(shù))如果我們分別用2n+1和2n-1表示兩個(gè)相鄰的奇數(shù)，則利用平方差公式，有(2n+1)2 - (2n-1)2 = (2n+1)+(2n-1)(2n+1)-(2n-1) = 4n x 2 = 8n.三、開放創(chuàng)新型例5 (2003福建南平)請(qǐng)寫出一個(gè)三項(xiàng)式，使它能先提公因式，在運(yùn)用公式來分解你編寫的三項(xiàng)式是,分解因式的結(jié)果是.分析：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，寫出一個(gè)等式,在它的兩邊都乘一個(gè)因式，比如2m(m+n)2 = 2m(m 2+2mn+K)=2m3+2n2n+2mr2,3a(2x-5y) 2=3a(2x) 2-2 x 2xX 5y+(5y) 2=3a(4x 2-20xy+25y 2)=12ax2-60axy+75ay 2,等等.于是編寫的三項(xiàng)式可以是2n3+2m!n+2mr2，分解因式的結(jié)果是2m(m+n)2;或者編寫的三項(xiàng)式可以是12ax2-60axy+75ay 2,分解因式的結(jié)果是3a(2x-5y) 2,等等.例6 (2003四川)多項(xiàng)式9x2 + 1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方，那么加上的單項(xiàng)式可以是(填上二個(gè)你認(rèn)為正確的即可).分析：根據(jù)完全平方公式 a22ab+b2= （a b）2的特點(diǎn)，若9x2 +1表示了 a2+b2的話，則有a=3x, b=1 , 所以，缺少的一項(xiàng)為土 2ab=2 （3x） 1=6x,此時(shí)，9x2 + 1 6x=（3x1）2;如果認(rèn)為 9x2 + 1 表示了 2ab+b2 的話，貝 U有 a=4.5x2, b=1 ,所以，缺少的一項(xiàng)為 a2=（4.5x） 2= 20.25x4,此時(shí)，20.25x4+9x2+ 1=（4.5x2+1）2.從另外一個(gè)角度考慮，“一個(gè)整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多項(xiàng)式，也 可以是單項(xiàng)式.注意到9x2=（3x）2, 1=12,所以，保留二項(xiàng)式 9x2 + 1中的任何一項(xiàng)，都是“一個(gè)整式的完 全平方”，故所加單項(xiàng)式還可以是-1或者-9x2,此時(shí)有9x2 + 1 -1=9x2=（3x）2,或者9x2 + 1 -9x2=12.綜上分析，可知所加上的單項(xiàng)式可以是土6x、20.25x4、-1或者-9x2.四、數(shù)形結(jié)合型例7 （2002陜西）如圖1,在長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a >b）把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖2）,通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（D ） 2歡下載A .B .C .D .a2 b2 = (a 十 b)(a b)(a + b)2 = a2 + 2ab 十 b2(a b) 2 = a2 2ab+ b2(a 十 2b)(a b) = = a2+ ab 2b2分析：圖1表示白是a2- b2,圖2表示的是（a十b）（ab）,兩者面積相等，所以a2b2= （a十b）（a b）.故選A .3,依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加輔助線，便例8 （2002年山東省濟(jì)南市中考題）請(qǐng)你觀察圖 可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是 圖3分析：圖中所表示的整個(gè)正方形的面積是x2,兩個(gè)小正方形的面積分別是y2與（x-y） 2,利用這些數(shù)據(jù)關(guān)系，結(jié)合圖形便可以寫出以下公式：x -2xy+y = （x-y）,或者 x -y = （x+y）（x-y）.當(dāng)然，在沒有限定的情況下，也能寫成乘法公式根據(jù)幾何圖形的特征，研究其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)公式，是“數(shù)形結(jié)合思想”的具體體現(xiàn)例9 （2003山西）有若干張如圖 4所示的正方形和長方形卡片，bb(2)ba表中所列四種方案能拼成邊長為 （a +b ）的正方形的是（數(shù)量G"7 力殺(1)(2)(3)A112B111C121D211)分析：此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是（a+b） 2.因?yàn)?a2+2ab+b2= （a+b）和ab,它們分別需要1張、例10 （2003山西太原） 不同表示方法寫出一個(gè)關(guān)于2,對(duì)照?qǐng)D4所示的正方形和長方形卡片，可知三種卡片的面積分別為1張、2張.由此可選出正確答案為 A.如圖 5是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請(qǐng)利用圖中空白部分的面積的a、b的恒等式a2、b2b圖5分析：外框圍成的大正方形面積為（a+b）2,4個(gè)矩形的面積之和為 4ab,中間的空白部分的面積為（a-b） 2.于是，可以列出等式（a+b） 2-4ab = （a-b） 2.對(duì)于它的正確性，可以用因式分解的方法證明：（a+b） 2-4ab =a 2+2ab+b2-4ab = a 2-2ab+b2 = （a-b）2.