2019-2020年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修1-1.doc

2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修 1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 橢圓的幾何性質(zhì) 二. 教學(xué)目標(biāo)： 通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形， 并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用 通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力 使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān) 系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等 三. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用 難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解 四. 知識梳理 1、幾何性質(zhì) （1）范圍，即| x| a，| y| b，這說明橢圓在直線 x a 和直線 y b 所圍成的矩 形里注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn) （2）對稱性 把 x 換成 x，或把 y 換成 y，或把 x、 y 同時(shí)換成 x、 y 時(shí)，方程都不變，所以 圖形關(guān)于 y 軸、 x 軸或原點(diǎn)對稱 （3）頂點(diǎn) 在中，須令 x0，得 y b，點(diǎn) B1（0， b） 、 B2（0， b）是橢圓和 y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)； 令 y0，得 x a，點(diǎn) A1（ a，0） 、 A2（ a，0）是橢圓和 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)橢圓有四個(gè) 頂點(diǎn) A1（ a，0） 、 A2（ a，0） 、 B1（0， b） 、 B2（0， b） 線段 A1A2、線段 B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于 2a 和 2b； a、 b 的幾何意義： a 是長半軸的長， b 是短半軸的長； （4）離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義：橢圓的焦距與長軸的比 橢圓的離心率 e 的取值范圍： a c0， 0 e1 當(dāng) e 接近 1 時(shí)， c 越接近 a，從而 b 越接近 0，因此橢圓越扁； 當(dāng) e 接近 0 時(shí)， c 越接近 0，從而 b 越接近 a，因此橢圓接近圓； 當(dāng) e0 時(shí)， c0， a b 兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為 x2 y2 a2，圖形就是圓 了 2、性質(zhì)歸納為如下表： 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖像 y x F1 O A1 B1 B A2 F2 y x F1 OA1 B1 B2A2 F2 范圍 ， ， 對稱性 關(guān)于 x 軸、 y 軸均對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 頂點(diǎn)坐標(biāo) 長軸端點(diǎn) A1（ a，0） ， A2（ a，0） ；短軸端點(diǎn) B 1（0， b） ， B2（0， b） 長軸端點(diǎn) A1（0， a） ， A2（0， a） ； 短軸端點(diǎn) B1（ b，0） ， B2（ b，0） 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1（ c，0） ， F2（ c，0） F1（0， c） ， F2（0， c） 半軸長 長半軸長： a，短半軸長： b 焦距 2c a， b， c 關(guān)系 離心率 【典型例題】 例 1. 求橢圓 16x225 y2400 的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描 點(diǎn)法畫出它的圖形 解：（1）列表。將 254165x變 形 為 ，根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算 出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（ x， y） （2）描點(diǎn)作圖先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫 出整個(gè)橢圓 OF2F1 例 2. 若橢圓的離心率為 e，求實(shí)數(shù) k 的值。 解：當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，有得 k8. 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，有得 k. 所求的 k8 或。 例 3. 若橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦 點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最小值為，求橢圓的方程。 解： 22231199acaxyx所 求 的 橢 圓 方 程 為 或 所求的橢圓方程為 1或 例 4. 橢圓（ a>b>0）上一點(diǎn) M 與兩焦點(diǎn) F1， F2所成的角 F1MF2 ，求證 F1MF2的面 積為 b2tan. 解：設(shè) M F1 m， M F2 n， 則 m n2 a，且 4c2 m2 n22 mncos （ m n） 22 mn（1 cos ） 4b22 mn（1 cos ） sisi taoSbb 例 5. 如圖，橢圓的長短軸端點(diǎn)為 A， B，過中心 O 作 AB 的平行線，交橢圓上半部分于點(diǎn) P，過 P 作 x 軸的垂線恰過左焦點(diǎn) F1，過 F1再作 AB 的平行線交橢圓于 C， D 兩點(diǎn)，求橢圓 的方程。 y B x O A F2 F1 D P 解：設(shè)所求的橢圓方程為（ a>b>0） 則 P（ c， ） ， 又 AB OP 2 22bxcyca橢 圓 方 程 可 化 為 直線 CD 的方程為 y（ x c） ，將其代入橢圓方程化簡得，2 x22 cx c20 34)(3)(1121xCD 所求的橢圓方程為 【模擬試題】 （答題時(shí)間：60 分鐘 滿分：100 分） 一、選擇題（5 分840 分） 1、已知橢圓上一點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是 3，則 P 點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為： （ ） A、2 B、3 C、5 D、7 2、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與兩個(gè)頂點(diǎn)為等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的長軸長是短軸長的（ ） A、倍 B、2 倍 C、倍 D、倍 3、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為 F1，點(diǎn) P 在橢圓上，如果線段 PF1的中點(diǎn) M 在 y 軸上，那么點(diǎn) M 的 縱坐標(biāo)是：（ ） A、 B、 C、 D、 4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 5、橢圓（ a>b>0）的半焦距為 c，若直線 y2 x 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為 c，則 橢圓的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 6、若以橢圓上的一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為 1，則此橢圓長軸的長 的最小值為（ ） A、1 B、 C、2 D、2 7、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、 F2，以 F2為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 M，已知直線 F1M 與圓 F2相切，則離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 8、設(shè)橢圓（ a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、 F2， P 是橢圓上一點(diǎn)，若 PF1 PF2， 則 PF1 PF2等于（ ） A、 B、2 C、 D、2 二、填空題（5 分420 分） 9、平面上點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) A、 B 的距離之和等于| AB|，則 P 點(diǎn)軌跡是 。 10、已知對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長為 6，離心率為的橢圓方程為 。 11、橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù) m 的值為 。 12、若 M 為橢圓上一點(diǎn)， F1， F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且 MF1F22 MF2F12 （ 0） ， 則橢圓的離心率是 。 三、解答題（共 40 分） 13、 （滿分 8 分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距是 4，且經(jīng)過，求此橢圓的方程。 14、 （滿分 10 分）若點(diǎn)在橢圓上，分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，求的面積。 15、 （滿分 10 分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓左頂點(diǎn) A，上頂點(diǎn) B，左焦點(diǎn) F1到直線 AB 的距離為| OB|，求橢圓的離心率。 16、 （滿分 12 分）已知 F1（3，0） ， F2（3，0）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， P 是該橢圓 上的點(diǎn)，滿足 PF2 F1F2， F1PF2的平分線交 F1F2于 M（1，0） ，求橢圓方程。 【試題答案】 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D D C B 二、填空題 9、線段 AB 10、 2211595xyx或 11、 m3 或 m 12、 三、解答題 13、解：因?yàn)榻咕酁?4，所以 即 3 設(shè)橢圓方程為 因?yàn)樵跈E圓上 所以 6 由得 所以橢圓方程為8 14、解：設(shè) 由橢圓得2 即 4 是直角三角形 4 6 由得8 所以10 15、解：直線 AB 的方程為 bx ay ab0，4 則左焦點(diǎn) F1（ c，0）到其距離為2|78bae 16、解： PF2 F1F2， PF2，2 ，4 6 abPa223 8 又10 11 所求的橢圓方程為12