離散傅里葉變換

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第,4,章 圖像變換,第,4,章 圖像變換,為了有效和快速地對圖像進行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，并且利用圖像在這個空間的特有性質(zhì)進行處理，然后通過逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。,本章討論圖像變換重

2、點介紹圖像處理中常用的正交變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。,1.,一維連續(xù)傅里葉變換,設(shè),f(x),為,x,的函數(shù)，如果,f(x),滿足下面的狄里赫萊條件：,(1),具有有限個間斷點；,(2),具有有限個極值點；,(3),絕對可積。,則定義,f(x),的傅里葉變換為：,4.1,連續(xù)傅里葉變換,從,F(u),恢復(fù),f(x),稱為傅里葉反變換，定義為：,上述二式形成傅里葉變換對，記做,：,函數(shù),f(x),的傅里葉變換一般是一個復(fù)數(shù)，它可以由下式表示：,F(u)=R(u)+jI(u),R(u),I(u),分別為,F(u),的實部和虛部。,寫成指數(shù)形式：,4.1,連續(xù)傅里葉變換,F(u)

3、,為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角：,幅度：,相角：,幅度函數(shù),|F(u)|,稱為,f(x),的傅里葉譜或頻率譜，,(u),稱為相位譜。,稱為,f(x),的能量譜或稱為功率譜。,4.1,連續(xù)傅里葉變換,2.,二維連續(xù)傅里葉變換,傅里葉變換可以推廣到兩個變量連續(xù)可積的函數(shù),f(x,y),若,f(x,y),滿足狄里赫萊條件，則存在如下傅里葉變化對：,二維函數(shù)的傅里葉譜、相位和能量譜分別表示為：,1.,一維離散傅里葉變換,對一個連續(xù)函數(shù),f(x),等間隔采樣可得到一個離散序列。設(shè)共采了,N,個點，則這個離散序列可表示為,f(0),f(1),f(N-1),。借助這種表達，并令,x,為離散空域變量，,u

4、,為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為：,4.1.2,離散傅里葉變換,傅里葉反變換定義由表示：,可以證明離散傅里葉變換對總是存在的。,其傅里葉譜、相位和能量譜如下：,4.1.2,離散傅里葉變換,2.,離散傅里葉變換（,DFT,）的矩陣表示法,由,DFT,的定義，,N,4,的原信號序列,f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3),的傅里葉變換,F(u),展開為：,4.1.2,離散傅里葉變換,將,e,指數(shù)項化簡可寫成矩陣形式：,記作：,可用復(fù)平面的單位圓來求,W,的各元素。如圖,4-1,所示。當(dāng),N=4,時，參看圖,4.1(a),。,把單位圓分為,N=4,份，則正變換矩陣第,u,行每次移

5、動,u,份得到該行系數(shù)。,4.1.2,離散傅里葉變換,(a),(b),圖,4.1,復(fù)平面單位圓,(a)N,4(b)N,8,4.1.2,離散傅里葉變換,同理,N=8,見圖,4-1(b),的單位圓。,N=8,的,W,陣應(yīng)把單位圓分為,8,份，順時順次轉(zhuǎn),0,份,1,份、,7,份，可得,W,陣為,:,4.1.2,離散傅里葉變換,4.1.2,離散傅里葉變換,2.,二維離散傅里葉變換,一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。,如果一幅二維離散圖像,f(x,y),的大小為,M*N,，則二維傅里葉變換可用下面二式表示。,4.1.2,離散傅里葉變換,在圖像處理中，一般總是

6、選擇方形陣列，所以通常情況下總是,M=N,。正逆變換對具有下列對稱的形式：,4.1.2,離散傅里葉變換,3.,二維離散傅里葉變換的性質(zhì),二維離散傅里葉變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為使用提供了極大的方便。,1,）分離性,二維離散傅里葉變換具有分離性,4.1.2,離散傅里葉變換,分離性質(zhì)的主要優(yōu)點是可借助一系列一維傅里葉變換分兩步求得,F(u,v),。第,1,步，沿著,f(x,y),的每一行取變換，將其結(jié)果乘以,1/N,取得二維函數(shù),F(x,v);,第,2,步，沿著,F(x,v),的每一列取變換，再將結(jié)果乘以,1/N,就得到了,F(u,v),。這種方法是先行后列。如果采用先列后行的順序，其結(jié)果相

7、同。,如圖,4.6,所示。,4.1.2,離散傅里葉變換,行變換,列變換,圖,4.6,把二維傅里葉變換作為一系列一維的計算方法,4.1.2,離散傅里葉變換,對逆變換,f(x,y),也可以類似地分兩步進行。,4.1.2,離散傅里葉變換,2,）平移性,傅里葉變換和逆變換對的位移性質(zhì)是指：,由,f(x,y),乘以指數(shù)項并取其乘積的傅立葉變換，使頻率平面的原點位移至,(u,0,v,0,),。同樣地，以指數(shù)項乘以,F(u,v),并取其反變換，將空間域平面的原點位移至,(x,0,y,0,),。當(dāng),u,0,=v,0,=N/2,時，指數(shù)項為：,4.1.2,離散傅里葉變換,即為,：,這樣，用（,-l,）,(x+y

8、),乘以,f(x,y),就可以將,f(x,y),的傅里葉變換原點移動到,N*N,頻率方陣的中心，這樣才能看到整個譜圖。另外，對,f(x,y),的平移不影響其傅里葉變換的幅值。,此外，與連續(xù)二維傅里葉變換一樣，二維離散傅里葉變換也具有周期性、共軛對稱性、線性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、卷積定理、比例性等性質(zhì)。這些性質(zhì)在分析及處理圖像時有重要意義。,4.1.2,離散傅里葉變換,3.DFT,應(yīng)用中的問題,1,）頻譜的圖像顯示,DFT,在計算機圖像處理中計算的中間過程和結(jié)果要圖像化。對,DFT,來講不但,f(x,y),是圖像,F(u,v),也要用圖像來顯示其結(jié)果。,譜圖像就是把,|F(u,v)|,作為亮度顯示

9、在屏幕上。但在傅里葉變換中,F(u,v),隨,u,v,的衰減太快，其高頻項只看到一兩個峰，其余皆不清楚。,由于人的視覺可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示效果，即為了顯示這個頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號為,D(u,v),4.1.2,離散傅里葉變換,即用顯示,D(u,v),來代替只顯示,|F(u,v)|,不夠清楚的補救方法。,譜的顯示加深了對圖像的視覺理解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。,如圖,4.7,為圖像的傅里葉頻譜圖像,4.1.2,離散傅里葉變換,圖,4.7,圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，,(b),頻譜直接顯示，,(c),頻譜經(jīng)過

10、變換后的結(jié)果,(b),(c),4.1.2,離散傅里葉變換,a.,a.,2.,頻譜圖像的移中顯示,常用的傅里葉正反變換公式都是以零點為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其中心最亮點將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的零點移到顯示的中心。,當(dāng)周期為,N,時，應(yīng)在頻域移動,N/2,。利用,DFT,的平移性質(zhì)，先把原圖像,f(x,y),乘以,(-1),(x+y),然后再進行傅里葉變換，其結(jié)果譜就是移,N/2,的,F(u,v),。圖,4-8,所示。,應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實際,F(u,v),數(shù)據(jù)仍保留為原來的值。,4.1.2,離散傅里葉變換,圖,4.8,頻譜圖像的

11、移中顯示,(a),未移至中心的頻譜圖像，,(b),移至中心,后的頻譜圖像,(a),(b),4.1.2,離散傅里葉變換,3.,旋轉(zhuǎn)性,應(yīng)用中，對兩幅圖像進行傅里葉變換后，為求兩幅圖像的相似性，常須對頻域圖進行旋轉(zhuǎn)尋找匹配。此時,FT,公式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對。設(shè),f(x,y),為原圖中任一點的坐標(biāo)，,為,(x,y),點與,x,軸的夾角，則傅里葉變換對為：,若空域,頻域,4.1.2,離散傅里葉變換,則旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為：,上式表明，在空域中對圖像,f(x,y),旋轉(zhuǎn),0,對應(yīng)于將其傅里葉變換,F(u,v),也旋轉(zhuǎn),0,，類似的，對,F(u,v),旋轉(zhuǎn),0,也對應(yīng)于將其傅里葉反變換,f(x,y)

12、,旋轉(zhuǎn),0,。,4.1.2,離散傅里葉變換,(a),(b),圖,4.9,傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性，對比圖,4.8,4.1.2,離散傅里葉變換,4.,數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計特性,1),數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布,數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖,4.10,所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個角的周圍對應(yīng)于低頻成分，中央部位對應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用,f,(,x,，,y,),乘上 因子進行傅里葉變換即可實現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點移動到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。

13、,4.1.2,離散傅里葉變換,圖,4.10,二維傅里葉變換的頻譜分布,4.1.2,離散傅里葉變換,圖,4.11,頻率位移示例,4.1.2,離散傅里葉變換,圖,4.11,為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對中心點是共軛對稱的，利用這個特性，在數(shù)據(jù)存儲和傳輸時，僅存儲和傳輸它們中的一部分，進行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對稱性補充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達到數(shù)據(jù)壓縮的目的。,2,）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計分布,（,1,）傅里葉變換后的零頻分量,F,（,0,，,0,），也稱作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有：,它反映了原始圖像的平均亮度。,4.1.2,離散傅里葉變換,（,2,）對大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了,85,的能量，這一點成為對圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達到壓縮的目的。,（,3,）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。,4.1.2,離散傅里葉變換,