高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題課件 理

第3講數(shù)列的綜合問題專題四數(shù)列、推理與證明 欄目索引 高考真題體驗1 熱點分類突破2 高考押題精練3 高考真題體驗1.(2016浙江)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，n N*，則a1_，S5_.當n 2時，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得a n1an2an， an13an，又a23a1， an是以a11為首項，以q3為公比的等比數(shù)列.1 121解析答案 2.(2016四川)已知數(shù)列an的首項為1，Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn1qSn1，其中q0，n N*.(1)若2a2，a3，a22成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式； 解析答案 解由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，兩式相減得an2qan1，n 1.又由S2qS11得a2qa1，故an1qan對所有n 1都成立.所以數(shù)列an是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.從而anqn1.由2a2，a3，a22成等差數(shù)列，可得2a33a22，即2q23q2，則(2q1)(q2)0，由已知，q0，故q2.所以a n2n1(n N*). 解析答案 證明由(1)可知，anqn1.因為1q2(k1)q2(k1)， 考情考向分析 返回 1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應用問題相結(jié)合，考查數(shù)學建模和數(shù)學應用. 熱點一利用Sn，an的關(guān)系式求an1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系：2.求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式.(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項a n. 熱點分類突破 (4)將遞推關(guān)系進行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列). 解析答案思維升華 又S1a11，解析答案思維升華 思維升華 思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n 2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. an2n 答案解析 因為an0，所以anan1 0，則anan12，所以數(shù)列an是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故an2n. 熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關(guān)系，將條件進行準確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題. 例2(2015陜西)設fn(x)xx2xn1，x 0，n N，n 2.(1)求fn (2)； 解析答案 解方法一由題設fn (x)12xnxn1，所以fn (2)122(n1)2n2n2n1，則2fn (2)2222(n1)2n1n2n，得，fn (2)12222n1n2n所以f n (2)(n1)2n1.解析答案 解析答案思維升華 證明因為fn(0)10，又f n(x)12xnxn10， 解析答案思維升華 思維升華 思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視；(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進行適當?shù)姆趴s. 跟蹤演練2(2015安徽)設n N*，xn是曲線yx2n21在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標.(1)求數(shù)列xn的通項公式；解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線yx2n21在點(1,2)處的切線斜率為2n2，從而切線方程為y2(2n2)(x1).令y0，解得切線與x軸交點的橫坐標 解析答案 證明由題設和(1)中的計算結(jié)果得 解析答案 熱點三數(shù)列的實際應用用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時，要明確目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結(jié)果. 例3自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價值a n的表達式；解析答案 解當n 6時，數(shù)列an是首項為120，公差為10的等差數(shù)列，故an12010(n1)13010n，當n 7時，數(shù)列an從a6開始的項構(gòu)成一個以a61306070為首項， 解析答案思維升華 證明設Sn表示數(shù)列an的前n項和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得當1 n 6時，Sn120n5n(n1)，當n 7時，由于S6570， 解析答案思維升華 因為an是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對M更新. 思維升華 思維升華常見數(shù)列應用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復利公式：按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr). 跟蹤演練3一牧羊人趕著一群羊通過6個關(guān)口，每過1個關(guān)口守關(guān)人將拿走當時羊的一半，然后退還1只給牧羊人，過完這些關(guān)口后，牧羊人只剩下2只羊，則牧羊人在過第1個關(guān)口前有_只羊.解析記此牧羊人通過第1個關(guān)口前、通過第2個關(guān)口前、 、通過第6個關(guān)口前，剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列an(n1,2,3,4,5,6)，因此代入得a 52，a42，a12. 2返回解析答案 押題依據(jù) 高考押題精練已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足關(guān)系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù).(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn的表達式； 23 41 2 ,nbn nn nc bb b 返回解析答案 押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識，第(1)問考查反證法的數(shù)學方法及邏輯推理能力，第(2)問是高考的熱點問題，即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合，其中將求數(shù)列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相消法”結(jié)合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力. 解析答案 解(1)若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3，于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列.從而Snan1.當n 2時，由S n1an，得anSnSn1an1an，解析答案 從而其前n項和Sn2n2 (n N*).由得bnn2， 解析答案 記C2121220n2n2，則2C2120221n2n1，即n 2n900，因為n N*，故n9，從而最小正整數(shù)n的值是10.返回