2019-2020年高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第二章 2.5 反函數(shù)教案 新人教A版.doc

2019-2020年高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第二章 2.5 反函數(shù)教案 新人教A版鞏固夯實基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.反函數(shù)定義：若函數(shù)y=f(x)(xA)的值域為C，由這個函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=(y).如果對于y在C中的任何一個值，通過x=(y),x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=(y)(yC)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作x=f-1(y). 在函數(shù)x=f-1(y)中，y表示自變量，x表示函數(shù).習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)，因此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f-1(y)中的字母x、y，把它改寫成y=f-1(x). 2.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間關(guān)系 y=f(x)與y=f-1(x)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 3.求反函數(shù)的步驟 (1)解關(guān)于x的方程y=f(x),得到x=f-1(y); (2)把第一步得到的式子中的x、y對換位置，得到y(tǒng)=f-1(x); (3）求出并說明反函數(shù)的定義域即函數(shù)y=f(x)的值域. 二、點擊雙基1 y=(1x2)的反函數(shù)是( )A.y=1+(-1x1) B.y=1+(0x1)C.y=1-(-1x1) D.y=1-(0x1)解析：y2=-(x-1)2+1,(x-1)2=1-y2,x-1=,即y=1+(0x1).答案：B2若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=2x+1,則f(1)的值為( )A.4 B.-4 C.1 D.-1解析:令2x+1=1x=-1,f(1)=-1.故選D.答案:D3已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)是f-1(x)=logm+1(+m)(m>0),則方程f(x)=2 006的解集為( )A.-1 B.-1,1 C.1 D.答案:由反函數(shù)的概念知f-1(2 006)=logm+1(+m)=1. 所以方程f(x)=2 006的解集為1.故選C.答案:C4函數(shù)f(x)=-x2(x(-,-2)的反函數(shù)f-1(x)=_.解析:y=-x2(x-2),y-4, x=-.x、y互換, f-1(x)=-(x-4).答案:-(x-4)5已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=logsin(-cos2)，其中0<<，則方程f(x)=2 006的解是_.解析:由題意得f-1(2 006)=logsin(-cos2)=logsin(1-cos2)=logsinsin2=2.答案:x=2誘思實例點撥 【例1】設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a>1)的反函數(shù),則使f-1(x)>1成立的x的取值范圍為( )A.(,+) B.(-,) C.(,a) D.a,+解法一:求得f-1(x)=loga(x+)(a>1).由f-1(x)>1得loga(x+)>logaa, x+>a,解得x>.解法二:a>1, f(x)=(ax-a-x)為增函數(shù). 根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域之間的關(guān)系,f-1(x)>1,即在f(x)中,在x>1的條件下,求f(x)的范圍. f(x)>f(1)=(a-a-1)=.答案:A講評:解析一為常規(guī)解法,即求出反函數(shù)解析式. 解法二巧妙地利用函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域的關(guān)系以及函數(shù)的單調(diào)性,可以起到事半功倍的作用.【例2】 求函數(shù)f(x)=的反函數(shù).解:當(dāng)x-1時，y=x2+12，且有x=-,此時反函數(shù)為y=-(x2). 當(dāng)x-1時，y=-x+12，且有x=-y+1,此時反函數(shù)為y=-x+1(x2=. f(x)的反函數(shù)f-1(x)=.講評:分段函數(shù)應(yīng)在各自的條件下分別求反函數(shù)式及反函數(shù)的定義域，分段函數(shù)的反函數(shù)也是分段函數(shù).【例3】 (1)已知函數(shù)y=ax+b的圖象過點(1,4),其反函數(shù)的圖象過點(2,0),求a的值.(2)已知f(x)=,求f-1().解:(1)由函數(shù)y=ax+b的圖象過點A(1,4),得a+b=4. 由y=ax+b的反函數(shù)的圖象過點(2,0),則原來的函數(shù)圖象過點(0,2), 所以a0+b=2. 解,得a=3,b=1. (2)由=,得2-22x=1+2x, 所以32x=1. 所以2x=. 所以x=log2,即f-1()=log2.鏈接提示 (1)若點M(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上,那么點M(b,a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上. (2)f(a)=bf-1(b)=a.