線性代數(shù)課件O第4章線性方程組解的結(jié)構(gòu).ppt
-1-,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4 線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,-2-,4.1 線性方程組解的存在性定理,在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性 方程組的求解問(wèn)題,本章將在整理前面知識(shí)點(diǎn)的同時(shí), 深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。,-3-,(4-1),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),-4-,非齊次方程組解的存在性定理,對(duì)于非齊次方程組,(4-1),向量 可由A的列向量組,線性表示。,-5-,的系數(shù)行列式,Cramer法則,則方程組有唯一解,且解為:,(4-2),-6-,齊次方程組解的存在性定理,(4-3),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),-7-,對(duì)于齊次方程組,(1),A的列向量組線性無(wú)關(guān),(2),A的列向量組線性相關(guān),推論1,當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n,則(4-3) 必有非零解。,-8-,有非零解,(4-4),學(xué)習(xí)書P.135 例2,-9-,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4 線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,-10-,4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),(2) 解集的秩是多少?,(3) 解集的最大無(wú)關(guān)組(又稱為基礎(chǔ)解系) 如何求?,(1) 解集的特點(diǎn)?,稱:,-11-,性質(zhì)1:若 是 的解,,性質(zhì)2:,注:,如果(4-3)只有零解,解空間是零空間。 如果(4-3)有非零解,解空間是非零空間。,性質(zhì),而在解空間中,基的概念我們?cè)谶@里稱為基礎(chǔ)解系。,首先回答問(wèn)題(1),-12-,線性無(wú)關(guān);,的任一解都可以由,線性,基礎(chǔ)解系,表示,則稱,下面我們用一個(gè)例子回答第(2)和第(3)個(gè)問(wèn)題, 同時(shí)也是定理4.2.1的例證。,( 取任意實(shí)數(shù)),從而,也是(4-3)的解。,-13-,通過(guò)下面的例子, 針對(duì)一般的方程組,回答所提問(wèn)題.,第一步:對(duì)系數(shù)矩陣 A 初等行變換化行最簡(jiǎn)形 B,從行最簡(jiǎn)形能得到什么?,-14-,第二步:寫出同解的方程組(保留第一個(gè)未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊. 右邊的又叫自由變量),自由變量的個(gè)數(shù)=?,-15-,是解嗎?,線性無(wú)關(guān)嗎?,任一解都 可由 表示嗎?,是基礎(chǔ)解系嗎?,基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù) = ?,第四步:寫出基礎(chǔ)解系,再來(lái)分析一下基礎(chǔ)解系的由來(lái):,第二步的同解方程組為,第三步的通解為,-16-,就是,類似的,這就啟發(fā)我們, 由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)正好等于自由變量的個(gè)數(shù)(這里3個(gè)).,必然是線性無(wú)關(guān)的, 從而也是基礎(chǔ)解系.由此得到解法2.,-17-,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步:寫出通解,-18-,則齊次線性方程組,的基礎(chǔ)解系存在,,且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有,個(gè)解向量。,則齊次線性方程組,的任意 個(gè)線性無(wú)關(guān),的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。,解空間的維數(shù)是 dim(N(A)=n - r(A).,-19-,且線性無(wú)關(guān),則_是AX=O的基礎(chǔ)解系。,(2),(3),則_可為AX=O的基礎(chǔ)解系。,(4),練習(xí),(1),(2),作業(yè):P142 1;3,-20-,設(shè) ,證明,證,因此,移項(xiàng),重要結(jié)論,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4 線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,-22-,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),以下總假設(shè),有解, 而其對(duì)應(yīng)的齊次方程組,的基礎(chǔ)解系為,這里,-23-,性質(zhì),(2) 設(shè) 是(1)的解, 是(2)的解,則 仍是(1)的解.,設(shè) 是(1)的一個(gè)解(固定), 則對(duì)(1)的任一解 x,是 (2)的解,從而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),-24-,設(shè) 是(1)的任一解, 則(1)的通解為,解,-25-,得齊次方程組的基礎(chǔ)解系,于是所有通解,即得方程組的一個(gè)解,作業(yè):P147 1(1);2;3,-26-,有無(wú)窮多解?,唯一解?,無(wú)解?,有無(wú)窮多解時(shí)求其通解?,解,即,練習(xí),-27-,其通解為,自學(xué):P145 例3,例4,例5,-28-,設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知 是它的三個(gè)解向量, 且,求該方程組的通解.,解,取 , 則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.,基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù) = 4 3 = 1,故非齊次方程組的通解為,-29-,證明,設(shè) , 首先證明,利用這一結(jié)論,證,-30-,是 Ax=0 的解,是 Ax=b 的解,