2019-2020年高三數學上冊 16.5《二項式定理》教案(1) 滬教版.doc
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2019-2020年高三數學上冊 16.5《二項式定理》教案(1) 滬教版.doc
2019-2020年高三數學上冊 16.5二項式定理教案(1) 滬教版一、教學目標:使學生掌握二項式定理及其證明(數學歸納法),培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和揭示事物內在客觀規(guī)律能力和邏輯推理能力。通過介紹“楊輝三角”,對學生進行愛國主義教育。二、教學重、難點: 重點:二項式定理的推導及證明 難點:二項式定理的證明三、教學過程: (一)新課引入:810(7+1)10710+79+7+2(733c133732+c32337+2 (提問):若今天是星期一,再過810天后的那一天是星期幾?在初中,我們已經學過了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3 (提問):對于(a+b)4,(a+b)5 如何展開?(利用多項式乘法) (再提問):(a+b)100又怎么辦? (a+b)n(nN+)呢? 我們知道,事物之間或多或少存在著規(guī)律。這節(jié)課,我們就來研究(a+b)n的二項展開式的規(guī)律性 (二)新課:(如何著手研究它的規(guī)律呢)?采用從特殊到一般(不完全歸納)的方法。規(guī)律:(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根據以上的歸納,可以想到(a+b)n的展開式的各項是齊次的,它們分別為an, an-1b, an-2b2,,bn,展開式中各項系數的規(guī)律,可以列表: (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1(這表是我國宋代楊輝于1261年首次發(fā)現(xiàn)的,稱為楊輝三角,比歐洲至少早了三百年。)如何從組合知識得到(a+b)4展開式中各項的系數 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每個括號都不取b,只有一種取法得到a4即種(2)若只有一個括號取b,共有種取法得到a3b(3)若只有兩個括號取b,共有種取法得到a2b2(4)若只有三個括號取b,共有種取法得到ab3(5)若每個括號都取b,共有種取法得b4 (a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn(nN+)以上我們采用不完全歸納法得到,不一定可靠,若要說明正確,須加以證明(數學歸納法)。證明:(1)當n=1時,左邊(a+b)1=a+b 右邊a1+b1=a+b 等式成立 (2)假設n=k時,等式成立,即(a+b)k=ak+ak-1b+ak-rbr+bk那么當n=k+1時(分散難點作法)以 (a+b)4(a+b)與(a+b)k(a+b)進行類比(a+b)4(a+b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b) =(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4)+(a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)由組合數性質知 則(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5(a+b)k+1=(a+b)k(a+b)=(ak+ak-1b+ak-rbr+bk)(a+b)(ak+1+akb+ak-r+1br+abk)+(akb+ak-1b2+ak-rbr+1bk+1) ak+1+(+)akb+(+)ak-rbr+1+(+)abk+bk+1由組合數性質得,= +=,+=,+=,=(a+b)k+1=ak+1+akb1+ak-rbr+1+abk+bk+1,即等式成立。根據(1)(2)可知,等式對于任意nN+都成立。一、指出:這個公式叫做二項式定理(板書),它的特點:1項數:共有(n+1)項2系數:依次為,其中(r0,1,2,n)稱為二項式系數 說明:二項式系數與展開中某一項系數是有區(qū)別的。例如:(12x)6展開式中第3項中系數為2260而第三項的二項式系數是15。3指數:an-rbr指數和為n,a的指數依次從n遞減到0,b的指數依次從0遞增到n。三、小結:(1)二項式定理(a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn是通過不完全歸納法,并結合組合的概念得到展開式的規(guī)律性,然后用數學歸納法加以證明。(2)二項式定理的特點:1項數 2系數 3指數四、作業(yè):