2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第十二章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第十二章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 【知識(shí)圖解】 平均速度 瞬時(shí)速度 平均變化率 瞬時(shí)變化率 割線斜率 切線斜率 導(dǎo) 數(shù) 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 微積分基本定理 導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與極（最）值的關(guān)系 定積分（理科） 【方法點(diǎn)撥】 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極其廣泛，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、研究曲線的切線和解決一些實(shí)際問題的有力工具，也是提出問題、分析問題和進(jìn)行理性思維訓(xùn)練的良好素材。同時(shí)，導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)緊密銜接的重要內(nèi)容，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)思想及方法。 1．重視導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景。導(dǎo)數(shù)概念本身有著豐富的實(shí)際意義，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的深刻理解應(yīng)該從這些實(shí)際背景出發(fā)，如平均變化率、瞬時(shí)變化率和瞬時(shí)速度、加速度等。這為我們解決實(shí)際問題提供了新的工具，應(yīng)深刻理解并靈活運(yùn)用。 2．深刻理解導(dǎo)數(shù)概念。概念是根本，是所有性質(zhì)的基礎(chǔ)，有些問題可以直接用定義解決。在理解定義時(shí)，要注意“函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”與“函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。 3．強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用意識(shí)。導(dǎo)數(shù)為我們研究函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等，提供了一般性的方法。 4．重視“數(shù)形結(jié)合”的滲透，強(qiáng)調(diào)“幾何直觀”。在對(duì)導(dǎo)數(shù)和定積分的認(rèn)識(shí)和理解中，在研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系等問題時(shí)，應(yīng)從數(shù)值、圖象等多個(gè)方面，尤其是幾何直觀加以理解，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思維意識(shí)。 5．加強(qiáng)“導(dǎo)數(shù)”的實(shí)踐應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)有力的工具，在解決科技、經(jīng)濟(jì)、生產(chǎn)和生活中的問題，尤其是最優(yōu)化問題中得到廣泛的應(yīng)用。 6．（理科用）理解和體會(huì)“定積分”的實(shí)踐應(yīng)用。定積分也是解決實(shí)際問題（主要是幾何和物理問題）的有力工具，如可以用定積分求一些平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力作的功等，逐步體驗(yàn)微積分基本定理。 第1課　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)； 2.掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念; 3.熟記基本導(dǎo)數(shù)公式； 4.掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則; 5.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（理科） 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．設(shè)函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo),則與x0,h的關(guān)系是 僅與x0有關(guān)而與h無關(guān) 。 2．已知, 則 0 。 3．已知,則當(dāng)時(shí),。 4．已知,則。 5．已知兩曲線和都經(jīng)過點(diǎn)P（1,2），且在點(diǎn)P處有公切線，試求a,b,c值。 解：因?yàn)辄c(diǎn)P（1,2）在曲線上， 函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別為和，且在點(diǎn)P處有公切數(shù) ，得b=2 又由，得 【范例導(dǎo)析】 例1．下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ① ② ③ 分析：利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)數(shù)。 解：①法一： ∴ 法二：=+ ② ∴ ③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xcosx, 點(diǎn)評(píng)：利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，是高考對(duì)導(dǎo)數(shù)考查的基本要求。 例2． 如果曲線的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程． 分析：本題重在理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在給定點(diǎn)處的切線的斜率，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率就很簡(jiǎn)單了。 解：切線與直線平行， 斜率為4 又切線在點(diǎn)的斜率為 ∵ ∴ ∴ 或 ∴切點(diǎn)為（1，-8）或（-1，-12） 切線方程為或即或 點(diǎn)評(píng)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義揭示了導(dǎo)數(shù)知識(shí)與平面解析幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)能解決許多曲線的切線問題，其中尋找切點(diǎn)是很關(guān)鍵的地方。 變題：求曲線的過點(diǎn)的切線方程。 答案： 點(diǎn)評(píng)：本題中“過點(diǎn)的切線”與“在點(diǎn)的切線”的含義是不同的，后者是以為切點(diǎn)，只有一條切線，而前者不一定以為切點(diǎn)，切線也不一定只有一條，所以要先設(shè)切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再解決問題。 【反饋演練】 1．一物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為，的單位是的單位是，該物體在3秒末的瞬時(shí)速度是。 2．設(shè)生產(chǎn)個(gè)單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，則生產(chǎn)8個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本是 2 。 3．已知函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f（x）的解析式可能為 （1） 。 （1）f（x）=（x－1）2+3（x－1） （2）f（x）=2（x－1） （3）f（x）=2（x－1）2 （4）f（x）=x－1 4．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為。 5．在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 3 。 6．過點(diǎn)（0，－4）與曲線y＝x3＋x－2相切的直線方程是 y＝4x－4 ． 7． 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（１）, (2); (3), (4); (5), (6). 8 已知直線為曲線在點(diǎn)處的切線，為該曲線的另一條切線，且 （Ⅰ）求直線的方程； （Ⅱ）求由直線，和軸所圍成的三角形的面積 解： 設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為， ，由題意得,得直線的方程為 , 與該曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為由直線方程的點(diǎn)斜式得直線的方程為： （Ⅱ）由直線的方程為,令 由直線的方程為，令 由得： 設(shè)由直線，和軸所圍成的三角形的面積為S，則： 第2課　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用A 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 通過數(shù)形結(jié)合的方法直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 2． 結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的極大（小）值、最大（小）值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；會(huì)求簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)的極大（?。┲?，以及在指定區(qū)間上的最大（?。┲?。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則應(yīng)滿足的條件是 。 2．函數(shù)在[0，3]上的最大值、最小值分別是 5，－15 。 3．用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是。 4．函數(shù)的最大值是，最小值是。 5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-∞,-2)與(0,+ ∞) 。 【范例導(dǎo)析】 例1．在區(qū)間上的最大值是 2 。 解：當(dāng)－1x<0時(shí)，>0，當(dāng)0<x1時(shí)，<0， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取得最大值為2。 點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)求極值或最值時(shí)要掌握一般方法，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)還取決與該點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)未必都是極值點(diǎn)，如：函數(shù)。 例2． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間： （1） （2） （3） （4） 解：（1）∵ ∴時(shí) 　　　 ∴ ， （2） ∴ ， （3） ∴ ， ∴ ， ， （4）定義域?yàn)? 點(diǎn)評(píng)：熟練掌握單調(diào)性的求法，函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)的極值、最值問題的基礎(chǔ)。 例3．設(shè)函數(shù)f(x)= （Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。 解：由已知得，令，解得 。 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表： 0 + 0 0 極大值 極小值 從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。 【反饋演練】 1．關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是 （4） 。 （1）在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù) （2）在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù) （3）在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函數(shù) （4）在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù) 2．對(duì)任意x，有，，則此函數(shù)為 。 3．函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值與最小值分別是 5 , -15 。 4．下列函數(shù)中，是極值點(diǎn)的函數(shù)是 （2） 。 （1） （2） （3） （4） 5．下列說法正確的是 （4） 。 （1）函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 （2）函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值 （3）函數(shù)的最值一定是極值 （4）在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值 6．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 [0，2] 。 7．求滿足條件的的范圍： （1）使為上增函數(shù)； （2）使為上的增函數(shù)； （3）使為上的增函數(shù)。 解：（1）∵ 由題意可知：對(duì)都成立 ∴ 又當(dāng)時(shí) 也符合條件 ∴ （2）同上 （3）同上 8．已知函數(shù)(x>0)在x = 1處取得極值，其中為常數(shù)。 （1）試確定的值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。 解：（I）由題意知，因此，從而． 又對(duì)求導(dǎo)得． 由題意，因此，解得． （II）由（I）知（），令，解得． 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)． 因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為． 第3課　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 深化導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問題中的綜合應(yīng)用，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí)。 2． 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的一些問題，進(jìn)一步加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解，逐步提高分析問題、探索問題以及解決實(shí)際應(yīng)用問題等各種綜合能力。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．若是在內(nèi)的可導(dǎo)的偶函數(shù)，且不恒為零，則關(guān)于下列說法正確的是（4） 。 （1）必定是內(nèi)的偶函數(shù) （2）必定是內(nèi)的奇函數(shù) （3）必定是內(nèi)的非奇非偶函數(shù) （4）可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù) 2．是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（4） 。 （1） （2） （3） （4） 3．若，曲線與直線在上的不同交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有 至多1個(gè) 。 4．把長(zhǎng)為的鐵絲圍成矩形，要使矩形的面積最大，則長(zhǎng)為 ，寬為 。 【范例導(dǎo)析】 例1．函數(shù)，過曲線上的點(diǎn)的切線方程為 （1）若在時(shí)有極值，求f (x)的表達(dá)式； （2）在（1）的條件下，求在上最大值； （3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍 解：（1） （2） x －2 + 0 － 0 + 極大 極小 上最大值為13 （3）上單調(diào)遞增 又 依題意上恒成立. ①在 ②在 ③在 綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b≥0。 點(diǎn)評(píng)：本題把導(dǎo)數(shù)的幾何意義與單調(diào)性、極值和最值結(jié)合起來，屬于函數(shù)的綜合應(yīng)用題。 例2．請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？ 分析：本題應(yīng)該先建立模型，再求體積的最大值。選擇適當(dāng)?shù)淖兞亢荜P(guān)鍵，設(shè)的長(zhǎng)度會(huì)比較簡(jiǎn)便。 解：設(shè),則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位：m）。 于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）： 。 帳篷的體積為（單位：m3）： 求導(dǎo)數(shù)，得； 令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。 當(dāng)1<x<2時(shí)，,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時(shí)，,V(x)為減函數(shù)。 所以當(dāng)x=2時(shí),V(x)最大。 答：當(dāng)OO1為2m時(shí)，帳篷的體積最大。 點(diǎn)評(píng)：本題是結(jié)合空間幾何體的體積求最值，加深理解導(dǎo)數(shù)的工具作用，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。 【反饋演練】 1．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是 圖4 。 y x O y x O y x O y x O 圖1 圖2 圖3 圖4 2．已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為 。 3．若，則下列命題正確的是 （3） . （1） （2） （3） (4) 4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是． 5．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線方程為． （Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：（Ⅰ）由f(x)的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2， 所以 由在M(-1,f(-1))處的切線方程是， 知 故所求的解析式是 （Ⅱ） 解得 當(dāng) 當(dāng) 故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力． 6．如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為． （I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域； （II）求面積的最大值． 解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖）， 則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程， 解得 所以 　，其定義域?yàn)椋? （II）記， 則． 令，得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)， 所以是的最大值． 因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為． 即梯形面積的最大值為． 7．設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）， 當(dāng)時(shí)，取最小值，即． （Ⅱ）令， 由得，（不合題意，舍去）． 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 遞增 極大值 遞減 在內(nèi)有最大值． 在內(nèi)恒成立等價(jià)于在內(nèi)恒成立， 即等價(jià)于，所以的取值范圍為． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力． 8．設(shè)函數(shù),若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性. 解： ，依題意有，故． 從而．的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．