2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十三章 排列組合與概率.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十三章 排列組合與概率一、基礎(chǔ)知識(shí)1．加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n個(gè)步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法3．排列與排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)(m≤n)元素的所有排列個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!4．N個(gè)不同元素的圓周排列數(shù)為=(n-1)!5．組合與組合數(shù)：一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，即從n個(gè)不同元素中不計(jì)順序地取出m個(gè)構(gòu)成原集合的一個(gè)子集從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用表示：6．組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為[證明]將r個(gè)相同的小球裝入n個(gè)不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B，A的每個(gè)裝法對(duì)應(yīng)B的唯一一個(gè)解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對(duì)應(yīng)的解也不同，因此為單射反之B中每一個(gè)解(x1,x2,…,xn),將xi作為第i個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)，i=1,2,…,n，便得到A的一個(gè)裝法，因此為滿射，所以是一一映射，將r個(gè)小球從左到右排成一列，每種裝法相當(dāng)于從r-1個(gè)空格中選n-1個(gè)，將球分n份，共有種故定理得證推論1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為推論2 從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)允許元素重復(fù)出現(xiàn)的組合叫做n個(gè)不同元素的m可重組合，其組合數(shù)為8．二項(xiàng)式定理：若n∈N+,則(a+b)n=.其中第r+1項(xiàng)Tr+1=叫二項(xiàng)式系數(shù)9．隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記作p(A),0≤p(A)≤1.10.等可能事件的概率，如果一次試驗(yàn)中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率為p(A)=11.互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).12．對(duì)立事件：事件A，B為互斥事件，且必有一個(gè)發(fā)生，則A，B叫對(duì)立事件，記A的對(duì)立事件為由定義知p(A)+p()=1.13．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件14．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為p(A1?A2? … ?An)=p(A1)?p(A2)? … ?p(An).15.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):若n次重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的.16.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率:如果在一次試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=?pk(1-p)n-k.17．離散型隨機(jī)為量的分布列：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫隨機(jī)變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)ξ就是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。
如果隨機(jī)變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫離散型隨機(jī)變量一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,ξ取每一個(gè)值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，則稱表ξx1x2x3…xi…pp1p2p3…pi…為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱ξ的分布列，稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均值、均值、簡(jiǎn)稱期望，稱Dξ=(x1-Eξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+…+(xn-Eξ)2pn+…為ξ的均方差，簡(jiǎn)稱方差叫隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差18．二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為p(ξ=k)=, ξ的分布列為ξ01…xi…Np……此時(shí)稱ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，則Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.19.幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所做試驗(yàn)的次數(shù)ξ也是一個(gè)隨機(jī)變量，若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率為p，則p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服從幾何分布，Eξ=，Dξ=(q=1-p).二、方法與例題1．乘法原理。
例1 有2n個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每?jī)蓚€(gè)人結(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？[解] 將整個(gè)結(jié)對(duì)過程分n步，第一步，考慮其中任意一個(gè)人的配對(duì)者，有2n-1種選則；這一對(duì)結(jié)好后，再從余下的2n-2人中任意確定一個(gè)第二步考慮他的配對(duì)者，有2n-3種選擇，……這樣一直進(jìn)行下去，經(jīng)n步恰好結(jié)n對(duì)，由乘法原理，不同的結(jié)對(duì)方式有(2n-1)(2n-3)…31=2．加法原理例2 圖13-1所示中沒有電流通過電流表，其原因僅因?yàn)殡娮钄嗦返目赡苄怨灿袔追N？[解] 斷路共分4類：1）一個(gè)電阻斷路，有1種可能，只能是R4；2）有2個(gè)電阻斷路，有-1=5種可能；3）3個(gè)電阻斷路，有=4種；4）有4個(gè)電阻斷路，有1種從而一共有1+5+4+1=11種可能3．插空法例3 10個(gè)節(jié)目中有6個(gè)演唱4個(gè)舞蹈，要求每?jī)蓚€(gè)舞蹈之間至少安排一個(gè)演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？[解] 先將6個(gè)演唱節(jié)目任意排成一列有種排法，再從演唱節(jié)目之間和前后一共7個(gè)位置中選出4個(gè)安排舞蹈有種方法，故共有=604800種方式4．映射法例4 如果從1，2，…，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時(shí)滿足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？[解] 設(shè)S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={()∈},若，令，則(a1,a2,a3)∈T,這樣就建立了從到T的映射，它顯然是單射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令，則，從而此映射也是滿射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120種。
5．貢獻(xiàn)法例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素個(gè)數(shù)之和[解] 設(shè)所求的和為x，因?yàn)锳的每個(gè)元素a，含a的A的子集有29個(gè)，所以a對(duì)x的貢獻(xiàn)為29，又|A|=10所以x=1029.[另解] A的k元子集共有個(gè)，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素個(gè)數(shù)之和為10296．容斥原理例6 由數(shù)字1，2，3組成n位數(shù)(n≥3)，且在n位數(shù)中，1，2，3每一個(gè)至少出現(xiàn)1次，問：這樣的n位數(shù)有多少個(gè)？[解] 用I表示由1，2，3組成的n位數(shù)集合，則|I|=3n，用A1，A2，A3分別表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3組成的n位數(shù)的集合，則|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1A1A2A3|=0所以由容斥原理|A1A2A3|==32n-3.所以滿足條件的n位數(shù)有|I|-|A1A2A3|=3n-32n+3個(gè)7．遞推方法例7 用1，2，3三個(gè)數(shù)字來構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個(gè)緊挨著的1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問：能構(gòu)造出多少個(gè)這樣的n位數(shù)？[解] 設(shè)能構(gòu)造an個(gè)符合要求的n位數(shù)，則a1=3，由乘法原理知a2=33-1=8.當(dāng)n≥3時(shí)：1）如果n位數(shù)的第一個(gè)數(shù)字是2或3，那么這樣的n位數(shù)有2an-1；2）如果n位數(shù)的第一個(gè)數(shù)字是1，那么第二位只能是2或3，這樣的n位數(shù)有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).這里數(shù)列{an}的特征方程為x2=2x+2，它的兩根為x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+ c2(1+)n,由a1=3,a2=8得，所以8．算兩次。
例8 m,n,r∈N+，證明： ①[證明] 從n位太太與m位先生中選出r位的方法有種；另一方面，從這n+m人中選出k位太太與r-k位先生的方法有種，k=0,1,…,r所以從這n+m人中選出r位的方法有種綜合兩個(gè)方面，即得①式9．母函數(shù)例9 一副三色牌共有32張，紅、黃、藍(lán)各10張，編號(hào)為1，2，…，10，另有大、小王各一張，編號(hào)均為0從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計(jì)算分值：每張編號(hào)為k的牌計(jì)為2k分，若它們的分值之和為xx，則稱這些牌為一個(gè)“好牌”組，求好牌組的個(gè)數(shù)[解] 對(duì)于n∈{1,2,…,xx},用an表示分值之和為n的牌組的數(shù)目，則an等于函數(shù)f(x)=(1+)2?(1+)3????…?(1+)3的展開式中xn的系數(shù)（約定|x|<1），由于f(x)=[ (1+)(1+)?…?(1+)]3=3 =3而0≤xx<211，所以an等于的展開式中xn的系數(shù)，又由于=?=(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展開式中的系數(shù)為a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,從而，所求的“好牌”組的個(gè)數(shù)為axx=10032=1006009.10．組合數(shù)的性質(zhì)。
例10 證明：是奇數(shù)(k≥1).[證明] =令i=?pi(1≤i≤k)，pi為奇數(shù)，則，它的分子、分母均為奇數(shù)，因是整數(shù)，所以它只能是若干奇數(shù)的積，即為奇數(shù)例11 對(duì)n≥2,證明：[證明] 1）當(dāng)n=2時(shí)，22<=6<42；2）假設(shè)n=k時(shí)，有2k<<4k,當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)橛?4，所以2k+1<.所以結(jié)論對(duì)一切n≥2成立11．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例12 若n∈N, n≥2，求證：[證明] 首先其次因?yàn)?，所?2+得證例13 證明：[證明] 首先，對(duì)于每個(gè)確定的k，等式左邊的每一項(xiàng)都是兩個(gè)組合數(shù)的乘積，其中是(1+x)n-k的展開式中xm-h的系數(shù)是(1+y)k的展開式中yk的系數(shù)從而?就是(1+x)n-k?(1+y)k的展開式中xm-hyh的系數(shù)于是，就是展開式中xm-hyh的系數(shù)另一方面，== ?=(xk-1+xk-2y+…+yk-1)，上式中，xm-hyh項(xiàng)的系數(shù)恰為所以12．概率問題的解法例14 如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品，問：恰好有k件是次品的概率是多少？[解] 把k件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，有放回抽n次，把可能的重復(fù)排列作為基本事件，總數(shù)為(a+b)n（即所有的可能結(jié)果）。
設(shè)事件A表示取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件是次品，則事件A所包含的基本事件總數(shù)為?akbn-k，故所求的概率為p(A)=例15 將一枚硬幣擲5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率[解] 設(shè)每次拋硬幣正面朝上的概率為p，則擲5次恰好有k次正面朝上的概率為(1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)，由題設(shè)，且0 因?yàn)锽1，B2，B2互斥，所以甲勝概率為p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+0.620.40.6+0.620.420.6=0.68256.由（1），（2）可知在五局三勝制下，甲獲勝的可能性大例17 有A，B兩個(gè)口袋，A袋中有6張卡片，其中1張寫有0，2張寫有1，3張寫有2；B袋中有7張卡片，其中4張寫有0，1張寫有1，2張寫有2從A袋中取出1張卡片，B袋中取2張卡片，共3張卡片求：（1）取出3張卡片都寫0的概率；（2）取出的3張卡片數(shù)字之積是4的概率；（3）取出的3張卡片數(shù)字之積的數(shù)學(xué)期望[解]（1）；（2）；（3）記ξ為取出的3張卡片的數(shù)字之積，則ξ的分布為ξ0248p所以三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．三邊長(zhǎng)均為整數(shù)且最大邊長(zhǎng)為11的三角形有_________個(gè)2．在正xx邊形中，當(dāng)所有邊均不平行的對(duì)角線的條數(shù)為_________3．用1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字可組成_________個(gè)數(shù)字不重復(fù)且8和9不相鄰的七位數(shù)4．10個(gè)人參加乒乓球賽，分五組，每組兩個(gè)人有_________種分組方法5．以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是_________6．今天是星期二，再過101000天是星期_________。 7．由展開式所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有_________項(xiàng)8．如果凸n邊形(n≥4)的任意三條對(duì)角線不共點(diǎn)，那么這些對(duì)角線在凸n邊形內(nèi)共有_________個(gè)交點(diǎn)9．袋中有a個(gè)黑球與b個(gè)白球，隨機(jī)地每次從中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率為_________10．一個(gè)箱子里有9張卡片，分別標(biāo)號(hào)為1，2，…，9，從中任取2張，其中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率是_________11．某人拿著5把鑰匙去開門，有2把能打開他逐個(gè)試，試三次之內(nèi)打開房門的概率是_________12．馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的十盞路燈，要將其中三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)是_________13．a(chǎn),b,c,d,e五個(gè)人安排在一個(gè)圓桌周圍就坐，若a,b不相鄰有_________種安排方式14．已知i,m,n是正整數(shù)，且1 2．從{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3個(gè)不同元素作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)，能組成過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一或第三象限的拋物線有___________條3．四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中任取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有_________種取法4．三個(gè)人傳球，從甲開始發(fā)球，每次接球后將球傳給另外兩人中的任意一個(gè)，經(jīng)5次傳球后，球仍回到甲手中的傳法有_________種5．一條鐵路原有m個(gè)車站（含起點(diǎn)，終點(diǎn)），新增加n個(gè)車站（n>1），客運(yùn)車票相應(yīng)地增加了58種，原有車站有_________個(gè)6．將二項(xiàng)式的展開式按降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)有_________個(gè)7．從1到9這九個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的真數(shù)和底數(shù)，共可得到_________種不同的對(duì)數(shù)值8．二項(xiàng)式(x-2)5的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第_________項(xiàng)，系數(shù)最小的項(xiàng)為第_________項(xiàng)9．有一批規(guī)格相同的均勻圓棒，每根被劃分成長(zhǎng)度相同的5節(jié)，每節(jié)用紅、黃、藍(lán)三色之一涂色，可以有_________種顏色不同的圓棒？（顛倒后相同的算同一種）10．在1，2，…，xx中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是_________。 11．投擲一次骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，2，3，…，6的概率均為，連續(xù)擲6次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為35的概率為_________12．某列火車有n節(jié)旅客車廂，進(jìn)站后站臺(tái)上有m(m≥n)名旅客候車，每位旅客隨意選擇車廂上車，則每節(jié)車廂都有旅客上車的概率是_________13．某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)=）五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1．若0 5．骰子的六個(gè)面標(biāo)有1，2，…，6這六個(gè)數(shù)字，相鄰兩個(gè)面上的數(shù)字之差的絕對(duì)值叫變差，變差的總和叫全變差V，則全變差V的最大值為_________，最小值為_________6．某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每?jī)擅x手恰比賽一場(chǎng)，但有3名選手各比賽2場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行50場(chǎng)，上述三名選手之間比賽場(chǎng)數(shù)為_________7．如果a,b,c,d都屬于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d, d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，則不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_________8．如果自然數(shù)a各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“吉祥數(shù)”，將所有的吉祥數(shù)從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=xx，則an=_________9．求值：=_________10．投擲一次骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，2，…，6的概率均為，連續(xù)擲10次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是30的概率為_________11．將編號(hào)為1，2，…，9這九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各有一個(gè)小球，設(shè)周圍上所有相鄰兩球的號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為S，求S達(dá)到最小值的放法的概率（注：如果某種放法經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）。 12．甲、乙兩人輪流向同一目標(biāo)射擊，第一次甲射擊，以后輪流射擊，甲每次擊中的概率為p(0 5．個(gè)不同的數(shù)隨機(jī)排成圖13-2所示的三角形陣，設(shè)Mk是從上往下第k行中的最大數(shù)，求M1
