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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 不等式的均值定理學(xué)案 新人教B版必修5高二.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 不等式的均值定理學(xué)案 新人教B版必修5高二.doc

高二數(shù)學(xué) 必修五 NO 使用時(shí)間: 班級(jí): 組別: 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 不等式的均值定理學(xué)案 新人教B版必修5高二 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握均值定理的內(nèi)容,特別是等號(hào)成立的條件; 2.理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義,會(huì)用均值定理去解實(shí)際簡單的最值問題。 自主學(xué)習(xí) 1.不等式的對(duì)稱性用字母可以表示為 . 2.不等式的傳遞性用字母可以表示為____________________. 3.不等式的加減法則是指不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或整式)不等號(hào)方向不變,用字母可以表示為 ;由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個(gè)同向不等式可以相加,用字母可以表示為 . 4.不等式的乘法法則是指不等式兩邊都乘以同一個(gè)不為零的正數(shù),不等號(hào)方向不變用字母可以表示為 ;同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變,用字母可以表示為 ;由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個(gè)同向同正的不等式具有可乘性,用字母可以表示為 。 5.乘方、開方法則要注意性質(zhì)僅針對(duì)于正數(shù)而言,若底數(shù)(或被開方數(shù))為負(fù)數(shù)時(shí),需先變形。如:a<b<0,則a2 b2,a3 b3, 6.倒數(shù)法則是對(duì)同號(hào)的兩個(gè)數(shù)而言的,即只要兩個(gè)數(shù)同號(hào),那么大數(shù)的倒數(shù)就一定小,用字母可以表示為 ;若兩個(gè)數(shù)異號(hào),由于正數(shù)大于所有負(fù)數(shù),所以倒數(shù)的大小自然易判斷,如-3<5,那么倒數(shù)大小關(guān)系為 。 合作探究 均值定理 如果那么。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立。 證明: 算術(shù)平均數(shù): 幾何平均數(shù): 均值定理可以表述為: 【思考與討論】 均值不等式與不等式的關(guān)系如何?請(qǐng)對(duì)此進(jìn)行討論。 下面我們給出均值不等式的一個(gè)幾何直觀解釋,以加深同學(xué)們對(duì)均值不等式的理解。 我們可以令正實(shí)數(shù)為兩條線段的長,用幾何作圖的方法,作出長度為和的兩條線段,然后比較這兩條線段的長。 具體作圖如下: ⑴作線段,使 ⑵以AB為直徑作半圓O; ⑶過D點(diǎn)作CD⊥AB于D,交半圓于點(diǎn)C; ⑷連接AC,BC,OC,則。 例1已知求證:,并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。 例2(1)一個(gè)矩形的面積為100。問這個(gè)矩形的長和寬各為多少時(shí),矩形的周長最短?最短周長是多少? (2)已知矩形的周長為36。問這個(gè)矩形的長和寬各為多少時(shí),它的面積最大?最大面積是多少? 由例2的求解過程,可以總結(jié)出以下規(guī)律: 例3求函數(shù)的最大值,以及此時(shí)的值。 鞏固檢測 1、若a、b為正數(shù)且a+b=4,則ab的最大值是________. 2、已知x>1.5,則函數(shù)y=2x+的最小值是_________. 高二數(shù)學(xué) 必修五 NO 使用時(shí)間: 班級(jí): 組別: 課題:均值不等式二學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握均值定理的內(nèi)容,特別是等號(hào)成立的條件; 2.進(jìn)一步理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義,靈活運(yùn)用均值定理去解決實(shí)際簡單的最值問題。 自主學(xué)習(xí) ⒈正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)為 ;幾何平均數(shù)為 . ⒉均值不等式是 。其中前者是 ,后者是 .如何給出幾何解釋? ⒊在均值不等式中a、b既可以表示數(shù),又可以表示代數(shù)式,但都必須保證 ;另外等號(hào)成立的條件是 . ⒋試根據(jù)均值不等式寫出下列變形形式,并注明所需條件) (1)a2+b2 ( ) (2) ( ) (3)+ ( ) (4)x+ (x>0) (5)x+ (x<0) (6)ab≤ ( ) ⒌在用均值不等式求最大值和最小值時(shí),必須注意a+b或ab是否為 值,并且還需要注意等號(hào)是否成立. 6.⑴函數(shù)f(x)=x(2-x)的最大值是 ;此時(shí)x的值為___________________;. ⑵函數(shù)f(x)=2x(2-x)的最大值是 ;此時(shí)x的值為___________________; ⑶函數(shù)f(x)=x(2-2x)的最大值是 ;此時(shí)x的值為___________________; ⑷函數(shù)f(x)=x(2+x)的最小值是 ;此時(shí)x的值為___________________。 合作探究 例⒈已知a、b、c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證 ++≥9. 例⒉(1)已知x<,求函數(shù)y=4x-2+的最大值. (2)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值。 (3)已知a、b為常數(shù),求函數(shù)y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。 鞏固檢測 一. 選擇題: ?、毕铝忻}正確的是(   ?。? A.a(chǎn)2+1>2a B.│x+│≥2 C.≤2 D.sinx+最小值 ?、惨韵赂髅}(1)x2+的最小值是1;(2)最小值是2;(3)若a>0,b>0,a+b=1則(a+)(b+)的最小值是4,其中正確的個(gè)數(shù)是(   ?。?  ?。粒?         B.1       ?。茫?      ?。模? ?、吃O(shè)a>0,b>0則不成立的不等式為(    ?。? A.+≥2        B.a(chǎn)2+b2≥2ab       C.+≥a+b      D.2+  ⒋設(shè)a、bR+,若a+b=2,則的最小值等于(    ?。? A.1    ?。拢? C.3      D.4 ?、狄阎猘b>0,下列不等式錯(cuò)誤的是(    ?。? ?。粒產(chǎn)2+b2≥2ab   B. ?。茫 。模? 1.; 2.≥;算術(shù)平均數(shù);幾何平均數(shù);圓中的相交弦定理的推論(略)。 3.a(chǎn),b∈R+;a=b 4.⑴≥2ab(a,b∈R)⑵≥( a,b∈R+)⑶≥2(a、b同號(hào))或≤-2(a、b異號(hào)) ⑷≥2⑸≤-2⑹≤()2(a,b∈R); 5.定。 6.⑴1,1;⑵2,1;⑶,;⑷-1,-1。 【典例解析】 例1.解析:原式=( ++)(a+b+c)=3+()+()+()≥3+2+2+2=9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào)。 例⒉解析: (1)∵x< ∴4x-5<0 ∴y=4x-2+=(4x-5)++3≤-2+3=1當(dāng)且僅當(dāng)4x-5=時(shí)即4x-5=-1,x=1時(shí)等號(hào)成立,∴當(dāng)x=1時(shí),取最大值是1 (2)解法一、原式=(x+y)()=+10≥6+10=16當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立,又=1∴x=4,y=12時(shí),取得最小值16。 解法二、由=1得(x-1)(y-9)=9為定值,又依題意可知x>1,y>9∴當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9=3時(shí)即x=4,y=12時(shí),取最小值16。 (3)解法一、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題(略) 解法二、∵≥(∴y=(x-a)2+(x-b)2=y(tǒng)=(x-a)2+(b-x)2≥2[]2=,當(dāng)且僅當(dāng)x-a=b-x即x=時(shí),等號(hào)成立?!喈?dāng)x=時(shí)取得最小值。 一元二次不等式及其解法 例1解不等式: (1) (2)。 例2解不等式。 例3解不等式。 例4解不等式。 例5求函數(shù)的定義域。

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