2019-2020年高中數(shù)學 第3章 不等式 4 簡單線性規(guī)劃 第3課時 簡單線性規(guī)劃的應用同步練習 北師大版必修5.doc

2019-2020年高中數(shù)學 第3章 不等式 4 簡單線性規(guī)劃 第3課時 簡單線性規(guī)劃的應用同步練習 北師大版必修5 一、選擇題 1．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件，則z＝10x＋10y的最大值是(　　) A．80　 B．85 C．90　 D．95 [答案]　C [解析]　畫出不等式組，表示的平面區(qū)域，如圖所示． 由，解得A(，)． 而由題意知x和y必須是正整數(shù)，直線y＝－x＋向下平移經過的第一個整點為(5,4)． z＝10x＋10y取得最大值90，故選C. 2．某學校用800元購買A、B兩種教學用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A、B兩種用品應各買的件數(shù)為(　　) A．2件，4件　 B．3件，3件 C．4件，2件　 D．不確定 [答案]　B [解析]　設買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則 ， 求z＝800－100x－160y取得最小值時的整數(shù)解(x，y)，用圖解法求得整數(shù)解為(3,3)． 3．設z＝x－y，式中變量x和y滿足條件，則z的最小值為(　　) A．1　　　 B．－1　　　 C．3　　　 D．－3 [答案]　A [解析]　作出可行域如圖中陰影部分．直線z＝x－y即y＝x－z.經過點A(2,1)時，縱截距最大，∴z最小．zmin＝1. 4．已知x，y滿足約束條件當目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時，a2＋b2的最小值為(　　) A．5　 B．4 C.　 D．2 [答案]　B [解析]　本題考查線性規(guī)劃與點到直線的距離． 如圖所示 ∴A點坐標為(2,1)， z＝ax＋by在A點處取得最小值2，即 2a＋b＝2. a2＋b2可看作兩點(0,0)(a，b)的距離的平方，原點到直線2a＋b＝2的距離的平方是()2＝4. 5．某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元．對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤為(　　) A．36萬元　　　　 B．31.2萬元 C．30.4萬元　 D．24萬元 [答案]　B [解析]　設對甲項目投資x萬元，對乙項目投資y萬元，所獲利潤z＝0.4x＋0.6y萬元．根據題意得， 畫出可行域如圖，作直線l0：2x＋3y＝0，平移直線l0可見，當平移到經過可行域內的點A時，z取最大值，由得 ∴zmax＝0.424＋0.636＝31.2(萬元)． 6．某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人；運送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z＝(　　) A．4650元　 B．4700元 C．4900元　 D．5000元 [答案]　C [解析]　設當天派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，由題意得 . 設每天的利潤為z元，則z＝450x＋350y. 畫出可行域如圖陰影部分所示． 由圖可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，經過點A時取得最大值，又由得.即A(7,5)． ∴當x＝7，y＝5時，z取到最大值，zmax＝4507＋3505＝4900(元)．故選C. 二、填空題 7．當實數(shù)x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． [答案]　[1，] [解析]　考查線性規(guī)劃最優(yōu)解問題． 作出不等式所表示區(qū)域． 由1≤ax＋y≤4. ∴a≥0，且在(1,0)點取最小值，在(2,1)取得最大值． 故a≥1,2a＋1≤4　∴a≤， 故a∈[1，]． 8．記不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線y＝a(x＋1)與D有公共點，則a的取值范圍是________． [答案]　[，4] [解析]　本小題考查線性規(guī)劃問題，直線過定點問題. 直線y＝a(x＋1)，過定點(－1,0) 可行域D如圖 A點坐標為(0,4) ∴B點坐標(1,1) ∴kDA＝4，kDB＝＝ ∴a∈[，4]． 三、解答題 9．設m>1，在約束條件下，目標函數(shù)z＝x＋5y的最大值為4，求m的值． [解析]　本題是線性規(guī)劃問題．先畫出可行域，再利用最大值為4求m. 由m>1可畫出可行域如圖所示，則當直線z＝x＋5y過點A時z有最大值．由得A(，)，代入得＋＝4，即解得m＝3. 10．某人承包一項業(yè)務，需做文字標牌4個，繪畫標牌5個，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標牌2個，繪畫標牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最??？ [解析]　設需要甲種原料x張，乙種原料y張，則可做文字標牌(x＋2y)個，繪畫標牌(2x＋y)個． 由題意可得：所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域如圖． 在一組平行直線3x＋2y＝t中，經過可行域內的點且到原點距離最近的直線過直線2x＋y＝5和直線x＋2y＝4的交點(2,1)， ∴最優(yōu)解為：x＝2，y＝1 ∴使用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最小. 一、選擇題 1．設變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別為(　　) A．1，－1　 B．2，－2 C．1，－2　 D．2，－1 [答案]　B [解析]　本題主要考查線性規(guī)劃問題． 不等式|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域如圖所示，當目標函數(shù)z＝x＋2y過點(0，－1)，(0,1)時，分別取最小和最大值，所以x＋2y的最大值和最小值分別為2，－2，故選B. 2．已知z＝x2＋y 2－4x－4y＋8，則z的最小值為(　　) A.　 B. C.　 D. [答案]　B [解析]　畫出可行域如圖所示． z＝(x－2)2＋(y－2)2為可行域內的點到定點(2,2)的距離的平方， ∴zmin＝2＝. 3．若實數(shù)x、y滿足不等式，且x＋y的最大值為9，則實數(shù)m＝(　　) A．－2　 B．－1 C．1　 D．2 [答案]　C [解析]　如圖，作出可行域． 由，得 A， 平移y＝－x，當其經過點A時，x＋y取最大值，即＋＝9. 解得m＝1. 4．為支援災區(qū)人民，某單位要將捐獻的100臺電視機運往災區(qū)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用．每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝電視機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝電視機10臺，若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為(　　) A．2 800元　 B．2 400元 C．2 200元　 D．2 000元 [答案]　C [解析]　設調用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，則0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，設運輸費用為t，則t＝400x＋300y. 線性約束條件為， 作出可行域如圖，則當直線y＝－x＋經過可行域內點A(4,2)時，t取最小值2 200，故選C. 二、填空題 5．某運輸公司接受了向地震災區(qū)每天至少運送180t支援物資的任務，該公司有8輛載重為6t的A型卡車和4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的成本費用為A型卡車為320元，B型卡車為504元．每天調配A型卡車________輛，B型卡車________輛，可使公司所花的成本費用最低． [答案]　5　2 [解析]　設每天調出A型車x輛，B型車y輛，公司所花的成本為z元， 依題意有?. 目標函數(shù)z＝320x＋504y(其中x，y∈N)． 作出上述不等式組所確定的平面區(qū)域如圖所示，即可行域． 由圖易知，直線z＝320x＋504y在可行域內經過的整數(shù)點中，點(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值， z最小值＝3205＋5042＝2608(元)． 6．購買8角和2元的郵票若干張，并要求每種郵票至少有兩張．如果小明帶有10元錢，共有________種買法． [答案]　12 [解析]　設購買8角和2元郵票分別為x張、y張，則，即. ∴2≤x≤12,2≤y≤5， 當y＝2時，2x≤15，∴2≤x≤7，有6種； 當y＝3時，2x≤10，∴2≤x≤5，有4種； 當y＝4時，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x＝2有一種； 當y＝5時，由2x≤0及x≥0知x＝0，故有一種． 綜上可知，不同買法有：6＋4＋1＋1＝12種． 三、解答題 7．某工廠制造甲、乙兩種產品，已知制造1t甲產品要用煤9t，電力4kW，勞動力(按工作日計算)3個；制造1t乙產品要用煤4t，電力5kW，勞動力10個．又知制成甲產品1t可獲利7萬元，制成乙產品1t可獲利12萬元．現(xiàn)在此工廠只有煤360t，電力200kW，勞動力300個，在這種條件下應生產甲、乙兩種產品各多少噸能獲得最大經濟效益？ [解析]　設此工廠應分別生產甲、乙產品xt，yt，利潤z萬元，則 依題意可得約束條件：利潤目標函數(shù)為：z＝7x＋12y.畫出可行域如圖所示． 作直線l：7x＋12y＝0，把直線l向右上方平移到l1位置，直線經過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z＝7x＋12y取最大值． 解方程組得M點坐標為(20,24)． ∴生產甲種產品20t，乙種產品24t，才能使此工廠獲得最大利潤． 8．某廠有一批長為18m的條形鋼板，可以割成1.8m和1.5m長的零件．它們的加工費分別為每個1元和0.6元．售價分別為20元和15元，總加工費要求不超過8元．問如何下料能獲得最大利潤． [解析]　設割成的1.8m和1.5m長的零件分別為x個、y個，利潤為z元， 則z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且 ， 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖， 又由， 解出x＝，y＝， ∴M(，)， ∵x、y為自然數(shù)，在可行區(qū)域內找出與M最近的點為(3,8)，此時z＝193＋14.48＝172.2(元)． 又可行域的另一頂點是(0,12)，過(0,12)的直線使z＝190＋14.412＝172.8(元)； 過頂點(8,0)的直線使z＝198＋14.40＝152(元)． M(，)附近的點(1,10)、(2,9)，直線z＝19x＋14.4y過點(1,10)時，z＝163；過點(2,9)時z＝167.6. ∴當x＝0，y＝12時，z＝172.8元為最大值． 答：只要截1.5m長的零件12個，就能獲得最大利潤．