2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第七章 7.6 直線與圓的位置關(guān)系教案 新人教A版.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第七章 7.6 直線與圓的位置關(guān)系教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.直線與圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相交和相切. (2)直線l:Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系的判定方法有兩種： ①幾何方法 直線l與圓M|MN|= 其中|MN|是圓心到直線的距離. ②代數(shù)方法 由 消去y(或消去x)，可得形如x2+px+q=0的方程，設(shè)Δ=p2-4q，則直線l與M (3)計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法： ①幾何方法 運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦半徑及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算. ②代數(shù)方法 運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式 |AB|=. 2.圓與圓的位置關(guān)系的判定 設(shè)⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0),則有 |C1C2|>r1+r2⊙C1與⊙C2相離； |C1C2|=r1+r2⊙C1與⊙C2相切； |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2⊙C1與⊙C2相交； |C1C2|=|r1-r2|⊙C1與⊙C2內(nèi)切； |C1C2|<|r1-r2|⊙C1與⊙C2內(nèi)含. 3.圓的切線方程 (1)過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線： ①點(diǎn)P(x0,y0)在圓上：則圓x2+y2=r2的切線方程為x0x+y0y=r2，圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的切線方程為x0x+y0y+D+E+F=0. ②定點(diǎn)P(x0,y0)在圓外： 需采用求軌跡方程的方法將切線方程求出來(lái). 注意：斜率不存在的切線方程不要遺漏掉. (2)斜率已知的切線方程： 切線斜率為k，則圓x2+y2=r2的切線方程為y=kxr. 4.過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓(標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程)的切線長(zhǎng)度 d=(一般方程) =(標(biāo)準(zhǔn)方程). 二、點(diǎn)擊雙基 1.設(shè)m>0,則直線(x+y)+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關(guān)系為（ ） A.相切 B.相交 C.相切或相離 D.相交或相切 解析：圓心到直線的距離為d=,圓半徑為. ∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0, ∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離. 答案：C 2.圓x2+y2-4x+4y+6=0截直線x-y-5=0所得的弦長(zhǎng)等于( ) A. B. C.1 D.5 解析：圓心到直線的距離為，半徑為，弦長(zhǎng)為2=. 答案：A 3.圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,)處的切線方程為（ ） A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y+4=0 D.x-y+2=0 解法一： x2-4x+(kx-k+)2=0. 該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根,即Δ=0,解得k=. ∴y-3=(x-1),即x-y+2=0. 解法二：∵點(diǎn)(1,3)在圓x2+y2-4x=0上, ∴點(diǎn)P為切點(diǎn),從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直. 又∵圓心為(2,0),∴k=-1. 解得k=,∴切線方程為x-y+2=0. 答案：D 4.圓心為(1,2)且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為_________________. 解析：由題意知圓的半徑r==2. 故圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=4. 答案：(x-1)2+(y-2)2=4 5.設(shè)直線2x+3y+1=0和圓x2+y2-2x-3=0相交于點(diǎn)A、B，則弦AB的垂直平分線方程是___________________________________________. 解析：圓心(1,0)，垂直平分線斜率為k，滿足k(-)=-1.∴k=. ∴方程為y=(x-1)，即3x-2y-3=0. 答案：3x-2y-3=0 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 (1)求過(guò)點(diǎn)M(2,4)向圓(x-1)2+(y+3)2=1 所引的切線方程； (2)過(guò)點(diǎn)M(2,4)向圓引兩條切線，切點(diǎn)為P、Q，求P、Q所在直線方程(簡(jiǎn)稱切點(diǎn)弦). 剖析：(1)用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程時(shí)，要分斜率存在、不存在兩種情況討論； (2)點(diǎn)M、圓心C、切點(diǎn)P、Q四點(diǎn)共圓，直線PQ為兩圓公共弦，兩圓方程相減即得公共弦方程. 解：(1)當(dāng)所求切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0. ∴=1.解得k=， 即切線方程為24x-7y-20=0. 當(dāng)k不存在時(shí)，切線方程為x=2. 故所求切線方程為24x-7y-20=0或x=2. (2)連結(jié)CP、CQ，則CP⊥PM，CQ⊥QM. ∴M、P、Q、C四點(diǎn)共圓. 其圓是以CM為直徑的圓. ∵C(1,-3),∴CM的中點(diǎn)為(,). |CM|==5. ∴以CM為直徑的圓的方程為(x-)2+(y-)2=. ∴PQ的方程為(x-1)2+(y+3)2-1-［(x-)2+(y-)2-］=0，即x+7y+19=0. 【例2】 求經(jīng)過(guò)兩圓(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交點(diǎn),且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程. 剖析：根據(jù)已知,可通過(guò)解方程組得圓上兩點(diǎn), 由圓心在直線x-y-4=0上,三個(gè)獨(dú)立條件,用待定系數(shù)法求出圓的方程. 也可根據(jù)已知,設(shè)所求圓的方程為(x+3)2+y2-13+λ［x2+(y+3)2-37］=0,再由圓心在直線x-y-4=0上,定出參數(shù)λ,得圓方程. 解：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過(guò)兩圓(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交點(diǎn), 所以設(shè)所求圓的方程為(x+3)2+y2-13+λ［x2+(y+3)2-37］=0. 展開、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+. 圓心為(-,-),代入方程x-y-4=0,得λ=-7. 故所求圓的方程為(x+)2+(y+)2=. 講評(píng)：圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圓C1、C2相交,那么過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R且λ≠-1).它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過(guò)兩圓C1、C2公共點(diǎn)的圓. 【例3】 已知A(8,0)、B(0,6)和△AOB的內(nèi)切圓：(x-2)2+(y-2)2=4,P(x,y)是圓上一點(diǎn)(如右圖所示)， (1)求P點(diǎn)到直線l:4x+3y+11=0距離的最大值和最小值; (2)若S=|PA|2+|PB|2+|PO|2，求S的最大值和最小值. 剖析：(1)設(shè)(x-2)2+(y-2)2=4的圓心為C，則C(2,2).由圓的幾何性質(zhì)知過(guò)C作l的垂線交圓于Q，交直線l于R，易求最大值和最小值. (2)利用圓的參數(shù)方程可解. 解：(1)設(shè)圓(x-2)2+(y-2)2=4的圓心C(2,2)到l的距離為d，則d==5. ∴圓上的點(diǎn)到l的距離最大值、最小值分別為d1=d+r=5+2=7,d2=d-r=5-2=3. (2)設(shè)P(2+2cosα,2+2sinα), ∴S=|PA|2+|PB|2+|PO|2 =(2cosα-6)2+(2+2sinα)2+(2+2cosα)2+(2sinα-4)2+(2+2cosα)2+(2+2sinα)2 =80-4(2cosα+sinα)=80-4sin(α+φ). ∵α∈［0,2π］,∴Smax=80+4,Smin=80-4. 講評(píng)：利用圓的幾何性質(zhì)和圓的參數(shù)方程來(lái)求有關(guān)最值較簡(jiǎn)單.