2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時訓(xùn)練12 等差、等比數(shù)列及數(shù)列求和 文.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時訓(xùn)練12 等差、等比數(shù)列及數(shù)列求和 文 1．(xx高考北京卷)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問：b6與{an}的第n項相等？ 解：(1)∵a4－a3＝2，∴d＝2，∴a1＋a1＋d＝10，∴a1＝4 ∴an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)2＝2n＋2. (2)由(1)得a3＝23＋2＝8，∴b2＝8 a7＝27＋2＝16，b3＝16 ∴公比q＝＝2 ∴b6＝b3q3＝1623＝128 ∴128＝2n＋2，∴n＝63 即b6與a63相等． 2．(xx鄭州市模擬)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意知d>0， 因為a3，a4＋，a11成等比數(shù)列，所以2＝a3a11， 所以2＝(1＋2d)(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0， 所以d＝， 所以an＝. (2)bn＝＝ ＝， 所以Tn＝＝. 3．(xx屆石家莊市高中模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1、2a2、a3＋3為等差數(shù)列{bn}的前三項． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和． 解：(1)法一：∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)， ∴an＝λSn－1＋1(n≥2)， ∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(a≥2)，λ＋1≠0， 又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1， ∴數(shù)列{an}是以1為首項，公比為λ＋1的等比數(shù)列， ∴a3＝(λ＋1)2， ∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. 法二：∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)， ∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴an＋1＝Sn＋1(n∈N*)， ∴an＝Sn－1＋1(n≥2)， ∴an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)， 又a1＝1，a2＝2， ∴數(shù)列{an}是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＝2n－1， bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)由(1)知，anbn＝(3n－2)2n－1，設(shè)Tn為數(shù)列{anbn}的前n項和， ∴Tn＝11＋421＋722＋…＋(3n－2)2n－1，① ∴2Tn＝121＋422＋723＋…＋(3n－5)2n－1＋(3n－2)2n.② ①－②得，－Tn＝11＋321＋322＋…＋32n－1－(3n－2)2n ＝1＋3－(3n－2)2n， 整理得：Tn＝(3n－5)2n＋5. 4．(xx高考湖南卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*. (1)證明：an＋2＝3an； (2)求Sn. (1)證明：由條件，對任意n∈N*，有 an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3， 因而對任意n∈N*，n≥2，有 an＋1＝3Sn－1－Sn＋3. 兩式相減，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2. 又a1＝1，a2＝2，所以 a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1. 故對一切n∈N*，an＋2＝3an. (2)解：由(1)知，an≠0，所以＝3. 于是數(shù)列{a2n－1}是首項a1＝1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項a1＝2，公比為3的等比數(shù)列． 因此a2n－1＝3n－1，a2n＝23n－1. 于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1) ＝3(1＋3＋…＋3n－1) ＝， 從而S2n－1＝S2n－a2n＝－23n－1＝(53n－2－1)． 綜上所述，Sn＝