2019-2020年高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第六章數(shù)列課時(shí)撬分練6.1數(shù)列的概念及其表示理.DOC

2019-2020年高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第六章數(shù)列課時(shí)撬分練6.1數(shù)列的概念及其表示理 1.[xx衡水二中月考]數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝，則數(shù)列{an}中的最大值是(　　) A．3 B．19 C. D. 答案　C 解析　因?yàn)閍n＝，運(yùn)用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或10時(shí)，an＝最大，故選C. 2．[xx棗強(qiáng)中學(xué)模擬]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝n2 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 答案　D 解析　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝＝. 3．[xx衡水二中期末]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于(　　) A．1 B．9 C．10 D．55 答案　A 解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1. 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1. 即當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝1，∴a10＝1. 4．[xx武邑中學(xué)猜題]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5等于(　　) A．－16 B．16 C．31 D．32 答案　B 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，∴a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－1， ∴an＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1. ∴{an}是等比數(shù)列且a1＝1，q＝2， 故a5＝a1q4＝24＝16. 5．[xx冀州中學(xué)仿真]已知數(shù)列{an}滿足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，則當(dāng)n≥1時(shí)，an等于(　　) A．2n B.n(n＋1) C．2n－1 D．2n－1 答案　C 解析　由題設(shè)可知a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2. 代入四個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知an＝2n－1.故選C. 6.[xx武邑中學(xué)預(yù)測(cè)]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)n，則當(dāng)an取得最大值時(shí)，n等于(　　) A．5 B．6 C．5或6 D．7 答案　C 解析　由題意知 ∴ ∴∴n＝5或6. 7．[xx衡水二中模擬]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)an＝________. 答案　n2 解析　∵an＋1－an＝2n＋1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝n2(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，也適用an＝n2. 8．[xx棗強(qiáng)中學(xué)期末]已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，其前n項(xiàng)和為Sn.若Sn＋1＝2Sn＋1，則an＝________. 答案　 解析　由Sn＋1＝2Sn＋1，則有Sn＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an＋1＝2an，又S2＝a1＋a2＝2a1＋1，a2＝3，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列，∴an＝ 9．[xx衡水二中仿真]已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n>1，n∈N*，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，則S10＝________. 答案　91 解析　∵ 兩式相減得an＋2＋an＝2an＋1(n≥2)，∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，當(dāng)n＝2時(shí)，S3＋S1＝2S2＋2，∴a3＝a2＋2＝4， ∴S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＝91. 10.[xx棗強(qiáng)中學(xué)期中]如圖所示的圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是________． 答案　 解析　由已知，有a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10， ∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n， 各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n， 即an＝1＋2＋…＋n＝，故第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是. 11．[xx衡水二中熱身]已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N*，n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始及以后各項(xiàng)均小于？ 解　(1)n≥2時(shí)，＝n－1， 故an＝…a1 ＝n－1n－2…21 ＝1＋2＋…＋(n－1) ＝， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0＝1，即n＝1時(shí)也成立． ∴an＝. (2)∵y＝(n－1)n在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴y＝在[1，＋∞)上單調(diào)遞減． 當(dāng)n≥5時(shí)，≥10，an＝ ≤. ∴從第5項(xiàng)開(kāi)始及以后各項(xiàng)均小于. 12．[xx武邑中學(xué)仿真]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　(1)依題有 解得a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)∵Sn＝2nan＋1－3n2－4n，① ∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)．② ①－②并整理得an＋1＝. 由(1)猜想an＝2n＋1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2＋1＝3，命題成立； 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak＝2k＋1命題成立． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝ ＝ ＝2k＋3＝2(k＋1)＋1， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 綜上，?n∈N*，an＝2n＋1. 能力組 13.[xx衡水二中預(yù)測(cè)]已知數(shù)列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n＋1 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝2n＋2 答案　B 解析　由題意可知，數(shù)列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5， 則a1＋a2＋a3＋…＋an－1 ＝2(n－1)＋5，n>1， 兩式相減可得：＝2n＋5－2(n－1)－5＝2， ∴an＝2n＋1，n>1，n∈N*. 當(dāng)n＝1時(shí)，＝7，∴a1＝14， 綜上可知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為： an＝故選B. 14．[xx棗強(qiáng)中學(xué)月考]在如圖所示的數(shù)陣中，第9行的第2個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 答案　66 解析　每行的第二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，由題意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，則a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3， 各式兩邊同時(shí)相加，得 an－a2＝＝n2－2n， 即an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，故a9＝92－29＋3＝66. 15．[xx衡水二中猜題]已知數(shù)列{an}滿足前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝，且前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)判斷數(shù)列{cn}的增減性． 解　(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． ∴bn＝. (2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝＋＋…＋， ∴cn＋1－cn＝＋－ ＝－＝<0， ∴{cn}是遞減數(shù)列． 16．[xx棗強(qiáng)中學(xué)預(yù)測(cè)]設(shè)a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)． (1)若b＝1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若b＝－1，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n<c<a2n＋1對(duì)所有n∈N*成立？證明你的結(jié)論． 解　(1)a2＝2，a3＝＋1. 再由題設(shè)條件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1. 從而{(an－1)2}是首項(xiàng)為0公差為1的等差數(shù)列，故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)． (2)設(shè)f(x)＝－1，則an＋1＝f(an)． 令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝. 下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2n<c<a2n＋1<1. 當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1， 所以a2<<a3<1，結(jié)論成立． 假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即a2k<c<a2k＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)， 從而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2， 即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1. 故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1. 這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立． 綜上，符合條件的c存在，其中一個(gè)值為c＝.