2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.3 《算法案例》 教案 新人教版必修3.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.3 《算法案例》 教案 新人教版必修3 （1）教學(xué)目標(biāo) （a）知識(shí)與技能 1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析。 2.基本能根據(jù)算法語(yǔ)句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫出算法程序。 （b）過(guò)程與方法 在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)比我們常見(jiàn)的約分求公因式的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系膮^(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的一般步驟。 （c）情態(tài)與價(jià)值 1.通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。 2.在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法的過(guò)程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力。 （2）教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。 難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語(yǔ)言。 （3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能模仿已經(jīng)學(xué)過(guò)的程序框圖與算法語(yǔ)句設(shè)計(jì)出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序。 教學(xué)用具：電腦，計(jì)算器，圖形計(jì)算器 （4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1.教師首先提出問(wèn)題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)求最大公約數(shù)的知識(shí)，你能求出18與30的公約數(shù)嗎？ 2.接著教師進(jìn)一步提出問(wèn)題，我們都是利用找公約數(shù)的方法來(lái)求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求8251與6105的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容。 （二）研探新知 1.輾轉(zhuǎn)相除法 例1 求兩個(gè)正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。 （分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒(méi)有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點(diǎn)，根據(jù)已有的知識(shí)即可求出最大公約數(shù)） 解：8251＝61051＋2146 顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)。 6105＝21462＋1813 2146＝18131＋333 1813＝3335＋148 333＝1482＋37 148＝374＋0 則37為8251與6105的最大公約數(shù)。 以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： 第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商q0和一個(gè)余數(shù)r0； 第二步：若r0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個(gè)商q1和一個(gè)余數(shù)r1； 第三步：若r1＝0，則r1為m，n的最大公約數(shù)；若r1≠0，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個(gè)商q2和一個(gè)余數(shù)r2； …… 依次計(jì)算直至rn＝0，此時(shí)所得到的rn－1即為所求的最大公約數(shù)。 練習(xí)：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)（答案：53） 2.更相減損術(shù) 我國(guó)早期也有解決求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。 更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。 翻譯出來(lái)為： 第一步：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。 第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。 例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù). 解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98與63的最大公約數(shù)是7。 練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。（答案：12） 3.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別 （1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。 （2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到 4. 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)計(jì)算的程序框圖及程序 利用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計(jì)算算法，我們可以設(shè)計(jì)出程序框圖以及BSAIC程序來(lái)在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，下面由同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)相應(yīng)框圖并相互之間檢查框圖與程序的正確性，并在計(jì)算機(jī)上驗(yàn)證自己的結(jié)果。 （1）輾轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序 程序框圖： 程序： INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m<n THEN x=m m=n n=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 5.課堂練習(xí) 一.用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù)，并在自己編寫的BASIC程序中驗(yàn)證。 （1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119 二.思考：用求質(zhì)因數(shù)的方法可否求上述4組數(shù)的最大公約數(shù)？可否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設(shè)計(jì)出程序框圖及程序？若能，在電腦上測(cè)試自己的程序；若不能說(shuō)明無(wú)法實(shí)現(xiàn)的理由。 三。思考：利用輾轉(zhuǎn)相除法是否可以求兩數(shù)的最大公倍數(shù)？試設(shè)計(jì)程序框圖并轉(zhuǎn)換成程序在BASIC中實(shí)現(xiàn)。 6.小結(jié)： 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的計(jì)算方法及完整算法程序的編寫。 （5）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 作業(yè)：P38 A（1）B（2） 補(bǔ)充：設(shè)計(jì)更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的程序框圖 第三、四課時(shí) 秦九韶算法與排序 （1）教學(xué)目標(biāo) （a）知識(shí)與技能 1.了解秦九韶算法的計(jì)算過(guò)程，并理解利用秦九韶算法可以減少計(jì)算次數(shù)提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)。 2.掌握數(shù)據(jù)排序的原理能使用直接排序法與冒泡排序法給一組數(shù)據(jù)排序，進(jìn)而能設(shè)計(jì)冒泡排序法的程序框圖及程序，理解數(shù)學(xué)算法與計(jì)算機(jī)算法的區(qū)別，理解計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的輔助作用。 （b）過(guò)程與方法 模仿秦九韶計(jì)算方法，體會(huì)古人計(jì)算構(gòu)思的巧妙。能根據(jù)排序法中的直接插入排序法與冒泡排序法的步驟，了解數(shù)學(xué)計(jì)算轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)計(jì)算的途徑，從而探究計(jì)算機(jī)算法與數(shù)學(xué)算法的區(qū)別，體會(huì)計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助作用。 （c）情態(tài)與價(jià)值 通過(guò)對(duì)秦九韶算法的學(xué)習(xí)，了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，充分認(rèn)識(shí)到我國(guó)文化歷史的悠久。通過(guò)對(duì)排序法的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)計(jì)算與計(jì)算機(jī)計(jì)算的區(qū)別，充分認(rèn)識(shí)信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)的促進(jìn)。 （2）教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：1.秦九韶算法的特點(diǎn) 2.兩種排序法的排序步驟及計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì) 難點(diǎn)：1.秦九韶算法的先進(jìn)性理解 2.排序法的計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì) （3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：1.探究秦九韶算法對(duì)比一般計(jì)算方法中計(jì)算次數(shù)的改變，體會(huì)科學(xué)的計(jì)算。 2.模仿排序法中數(shù)字排序的步驟，理解計(jì)算機(jī)計(jì)算的一般步驟，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)計(jì)算在計(jì)算機(jī)上實(shí)施的要求。 教學(xué)用具：電腦，計(jì)算器，圖形計(jì)算器 （4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了多項(xiàng)式的計(jì)算，下面我們計(jì)算一下多項(xiàng)式 當(dāng)時(shí)的值，并統(tǒng)計(jì)所做的計(jì)算的種類及計(jì)算次數(shù)。 根據(jù)我們的計(jì)算統(tǒng)計(jì)可以得出我們共需要10次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算。 我們把多項(xiàng)式變形為：再統(tǒng)計(jì)一下計(jì)算當(dāng)時(shí)的值時(shí)需要的計(jì)算次數(shù)，可以得出僅需4次乘法和5次加法運(yùn)算即可得出結(jié)果。顯然少了6次乘法運(yùn)算。這種算法就叫秦九韶算法。 （二）研探新知 1.秦九韶計(jì)算多項(xiàng)式的方法 例1 已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為 用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)的值。 解：略 思考：（1）例1計(jì)算時(shí)需要多少次乘法計(jì)算？多少次加法計(jì)算？ （2）在利用秦九韶算法計(jì)算n次多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)需要多少次乘法計(jì)算和多少次加法計(jì)算？ 練習(xí)：利用秦九韶算法計(jì)算 當(dāng)時(shí)的值，并統(tǒng)計(jì)需要多少次乘法計(jì)算和多少次加法計(jì)算？ 例2 設(shè)計(jì)利用秦九韶算法計(jì)算5次多項(xiàng)式 當(dāng)時(shí)的值的程序框圖。 解：程序框圖如下： 練習(xí)：利用程序框圖試編寫B(tài)ASIC程序并在計(jì)算機(jī)上測(cè)試自己的程序。 2.排序 在信息技術(shù)課中我們學(xué)習(xí)過(guò)電子表格,電子表格對(duì)分?jǐn)?shù)的排序非常簡(jiǎn)單,那么電子計(jì)算機(jī)是怎么對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序的呢? 閱讀課本P30—P31面的內(nèi)容,回答下面的問(wèn)題: (1)排序法中的直接插入排序法與冒泡排序法的步驟有什么區(qū)別? (2)冒泡法排序中對(duì)5個(gè)數(shù)字進(jìn)行排序最多需要多少趟? (3)在冒泡法排序?qū)?個(gè)數(shù)字進(jìn)行排序的每一趟中需要比較大小幾次? 游戲:5位同學(xué)每人拿一個(gè)數(shù)字牌在講臺(tái)上演示冒泡排序法對(duì)5個(gè)數(shù)據(jù)4,11,7,9,6排序的過(guò)程,讓學(xué)生通過(guò)觀察敘述冒泡排序法的主要步驟.并結(jié)合步驟解決例3的問(wèn)題. 例3 用冒泡排序法對(duì)數(shù)據(jù)7,5,3,9,1從小到大進(jìn)行排序 解:P32 練習(xí):寫出用冒泡排序法對(duì)5個(gè)數(shù)據(jù)4,11,7,9,6排序的過(guò)程中每一趟排序的結(jié)果. 例4 設(shè)計(jì)冒泡排序法對(duì)5個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序的程序框圖. 解: 程序框圖如下: 思考:直接排序法的程序框圖如何設(shè)計(jì)?可否把上述程序框圖轉(zhuǎn)化為程序? 練習(xí):用直接排序法對(duì)例3中的數(shù)據(jù)從小到大排序 3.小結(jié): (1)秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值及程序設(shè)計(jì) (2)數(shù)字排序法中的常見(jiàn)的兩種排序法直接插入排序法與冒泡排序法 (3)冒泡法排序的計(jì)算機(jī)程序框圖設(shè)計(jì) （5）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 作業(yè)：P38 A（2）（3） 補(bǔ)充：設(shè)計(jì)程序框圖對(duì)上述兩組數(shù)進(jìn)行排序 第五課時(shí) 進(jìn)位制 （1）教學(xué)目標(biāo) （a）知識(shí)與技能 了解各種進(jìn)位制與十進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換的規(guī)律，會(huì)利用各種進(jìn)位制與十進(jìn)制之間的聯(lián)系進(jìn)行各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)換。 （b）過(guò)程與方法 學(xué)習(xí)各種進(jìn)位制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的計(jì)算方法，研究十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為各種進(jìn)位制的除k去余法，并理解其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。 （c）情態(tài)與價(jià)值 領(lǐng)悟十進(jìn)制，二進(jìn)制的特點(diǎn)，了解計(jì)算機(jī)的電路與二進(jìn)制的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。 （2）教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：各進(jìn)位制表示數(shù)的方法及各進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)換 難點(diǎn)：除k去余法的理解以及各進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)換的程序框圖的設(shè)計(jì) （3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：在學(xué)習(xí)各種進(jìn)位制特點(diǎn)的同時(shí)探討進(jìn)位制表示數(shù)與十進(jìn)制表示數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉各種進(jìn)位制表示數(shù)的方法，從而理解十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為各種進(jìn)位制的除k去余法。 教學(xué)用具：電腦，計(jì)算器，圖形計(jì)算器 （4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 我們常見(jiàn)的數(shù)字都是十進(jìn)制的,但是并不是生活中的每一種數(shù)字都是十進(jìn)制的.比如時(shí)間和角度的單位用六十進(jìn)位制,電子計(jì)算機(jī)用的是二進(jìn)制.那么什么是進(jìn)位制?不同的進(jìn)位制之間又又什么聯(lián)系呢? （二）研探新知 進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。 對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來(lái)表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。 表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來(lái)表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù). 電子計(jì)算機(jī)一般都使用二進(jìn)制,下面我們來(lái)進(jìn)行二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化 例1 把二進(jìn)制數(shù)110011(2)化為十進(jìn)制數(shù). 解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20 =32+16+2+1 =51 例2 把89化為二進(jìn)制數(shù). 解:根據(jù)二進(jìn)制數(shù)滿二進(jìn)一的原則,可以用2連續(xù)去除89或所得商,然后去余數(shù). 具體的計(jì)算方法如下: 89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1 所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1 =1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20 =1011001(2) 這種算法叫做除2取余法,還可以用下面的除法算式表示: 89 44 22 11 5 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 余數(shù) 1 0 0 1 1 0 1 把上式中的各步所得的余數(shù)從下到上排列即可得到89=1011001(2) 上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制化為k進(jìn)制數(shù)的算法,這種算法成為除k取余法. 當(dāng)數(shù)字較小時(shí),也可直接利用各進(jìn)位制表示數(shù)的特點(diǎn),都是以冪的形式來(lái)表示各位數(shù)字,比如2*103表示千位數(shù)字是2,所以可以直接求出各位數(shù)字.即把89轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí),直接觀察得出89與64最接近故89=64*1+25 同理:25=16*1+9 9=8*!+1 即89=64*1+16*1+8*!+1=1*26+1*24+1*23+1*20 位數(shù) 6 5 4 3 2 1 0 數(shù)字 1 0 1 1 0 0 1 即89=1011001(2) 練習(xí):(1)把73轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) (2)利用除k取余法把89轉(zhuǎn)換為5進(jìn)制數(shù) 把k進(jìn)制數(shù)a(共有n位)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)b的過(guò)程可以利用計(jì)算機(jī)程序來(lái)實(shí)現(xiàn),語(yǔ)句為: INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n t=GET a[i] b=b+t*k^(i-1) i=i+1 WEND PRINT b END 練習(xí):(1)請(qǐng)根據(jù)上述程序畫出程序框圖. 參考程序框圖: (2)設(shè)計(jì)一個(gè)算法,實(shí)現(xiàn)把k進(jìn)制數(shù)a(共有n位)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)b的過(guò)程的程序中的GET函數(shù)的功能,輸入一個(gè)正5位數(shù),取出它的各位數(shù)字,并輸出. 小結(jié): (1)進(jìn)位制的概念及表示方法 (2)十進(jìn)制與二進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換的方法及計(jì)算機(jī)程序 （5）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 作業(yè)：P38 A（4） 補(bǔ)充：設(shè)計(jì)程序框圖把一個(gè)八進(jìn)制數(shù)23456轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù).