2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.3 拋物線教案.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.3 拋物線教案知識(shí)梳理定義到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程1.y2=2px（p0），焦點(diǎn)是F（，0）2.x2=2py（p0），焦點(diǎn)是F（0，）性質(zhì)S：y2=2px（p0）1.范圍：x02.對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱3.頂點(diǎn)：原點(diǎn)O4.離心率：e=15.準(zhǔn)線：x=6.焦半徑P（x，y）S，|PF|=x+思考討論 對(duì)于拋物線x2=2py（p0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式如何推導(dǎo)？點(diǎn)擊雙基1.（xx年春季北京）在拋物線y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為A. B.1 C.2 D.4解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線的定義知4+=5，解得P=2.答案：C2.設(shè)a0，aR，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.（a，0） B.（0，a）C.（0，） D.隨a符號(hào)而定解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：C3.以拋物線y22px（p0）的焦半徑PF為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為A.相交 B.相離C.相切 D.不確定解析：利用拋物線的定義.答案：C4.以橢圓 +=1的中心為頂點(diǎn)，以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓右準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的值為_.解析：中心為（0，0），左準(zhǔn)線為x=，所求拋物線方程為y2= x.又橢圓右準(zhǔn)線方程為x=，聯(lián)立解得A（，）、B（，）.|AB|=.答案：5.（xx年全國）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號(hào)）解析：由拋物線方程y2=10x可知滿足條件.答案：典例剖析【例1】 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）過點(diǎn)（3，2）；（2）焦點(diǎn)在直線x2y4=0上.剖析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y2=2px或x2=2py（p0），過點(diǎn)（3，2），4=2p（3）或9=2p2.p=或p=.所求的拋物線方程為y2=x或x2=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=.（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，2）.當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，=4，p=8，此時(shí)拋物線方程y2=16x；焦點(diǎn)為（0，2）時(shí)，=2，p=4，此時(shí)拋物線方程為x2=8y.所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=4，y=2.評(píng)述：這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解.【例2】如下圖所示，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1l2，點(diǎn)Nl1，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.剖析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍.解：以直線l1為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點(diǎn).設(shè)曲線段C的方程為y2=2px（p>0）（xAxxB，y>0），其中xA、xB為A、B的橫坐標(biāo)，p=|MN|，所以M（，0） 、N（，0）.由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17， （xA）2+2pxA=9. 聯(lián)立解得xA=，代入式，并由p>0，或解得 p=4， p=2，xA=1 xA=2. 因?yàn)锳MN為銳角三角形，所以>xA.所以故舍去 P=2， P=4，xA=2. xA=1.由點(diǎn)B在曲線段C上，得xB=|BN|=4.綜上，曲線段C的方程為y2=8x（1x4，y>0）.評(píng)述：本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法、待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【例3】 設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.剖析：證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證kOC=kOA.本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識(shí)去解決.證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyP2=0.由韋達(dá)定理，得yAyB=p2，即yB=.BCx軸，且C在準(zhǔn)線x=上，C（，yB）.則kOC=kOA.故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.證法二：如下圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，過A作ADl，垂足為D.則ADEFBC.連結(jié)AC交EF于點(diǎn)N，則=，=.|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即N是EF的中點(diǎn).從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.評(píng)述：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力.在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyB=p2這個(gè)重要結(jié)論.還有些證法充分利用了平面幾何知識(shí)，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目.思考討論 本題也可用平面向量來證明，讀者不妨一試.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（xx年高考新課程）設(shè)a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0）處切線的傾斜角的取值范圍為0，則P到曲線y=f（x）對(duì)稱軸距離的取值范圍為A.0， B.0，C.0，| D.0，|解析：tan=k=f（x）=2ax+b，02ax0+b1.0x0+.答案：B2.（xx年全國，8）設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是A.， B.2，2C.1，1 D.4，4解析：y2=8x，Q（2，0）（Q為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)），設(shè)過Q點(diǎn)的直線l方程為y= k（x+2）.l與拋物線有公共點(diǎn)，有解，方程組 y2=8x，y=k（x+8）即k2x2+（4k28）+4k2=0有解.=（4k28）216k40，即k21.1k1.答案：C3.（xx年春季上海）直線y=x1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.解析：將y=x1代入拋物線y2=4x，經(jīng)整理得x26x+1=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=6，=3，=2.所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.答案：（3，2）4.在拋物線y=4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y=4x5的距離最短，該點(diǎn)的坐標(biāo)是_.解法一：設(shè)與y=4x5平行的直線y=4x+b與y=4x2相切，則y=4x+b代入y=4x2，得 4x24xb=0. =16+16b=0時(shí)b=1，代入得x=，所求點(diǎn)為（，1）.解法二：設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為A（x0，y0），那么有y0=4x02.設(shè)點(diǎn)A到直線y=4x5的距離為d，則d=|4x02+4x05|=|4x024x0+5|=|4（x0）2+1|.當(dāng)且僅當(dāng)x0=時(shí)，d有最小值，將x0=代入y=4x2解得y0=1.故A點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）.答案：（，1）5.下圖所示的直角坐標(biāo)系中，一運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過點(diǎn)A（0，9），其軌跡方程是y=ax2+c（a0），D=（6，7）為x軸上的給定區(qū)間.（1）為使物體落在D內(nèi)，求a的取值范圍；（2）若物體運(yùn)動(dòng)時(shí)又經(jīng)過點(diǎn)P（2，8.1），問它能否落在D內(nèi)？并說明理由.解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即運(yùn)動(dòng)物體的軌跡方程為y=ax2+9.令y=0，得ax2+9=0，即x2=.若物體落在D內(nèi)，應(yīng)有67，解得a.（2）若運(yùn)動(dòng)物體又經(jīng)過點(diǎn)P（2，8.1），則8.1=4a+9，解得a=，運(yùn)動(dòng)物體能落在D內(nèi).6.正方形ABCD中，一條邊AB在直線y=x+4上，另外兩頂點(diǎn)C、D在拋物線y2x上，求正方形的面積.解：設(shè)CD所在直線的方程為y=x+t，消去y得 y=x+t， y2=x， x2+（2t1）x+t2=0，CD.又直線AB與CD間距離為AD，ADCD，t=2或6.從而邊長為3或5.面積S1（3）218，S2=（5）2=50.培養(yǎng)能力7.給定拋物線y2=2x，設(shè)A（a，0），a0，P是拋物線上的一點(diǎn)，且PA=d，試求d的最小值.解：設(shè)P（x0，y0）（x00），則y02=2x0，d=PA=.a0，x00，（1）當(dāng)0a1時(shí)，1a0，此時(shí)有x0=0時(shí)，dmin=a.（2）當(dāng)a1時(shí)，1a0，此時(shí)有x0=a1時(shí)，dmin=.8.過拋物線y2=2px（p0）焦點(diǎn)F的弦AB，點(diǎn)A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，求A1FB1.解：由拋物線定義及平行線性質(zhì)知A1FB1=180（AFA1+BFB1）=180（180A1AF）（180B1BF）=（A1AF+B1BF）=90.探究創(chuàng)新9.（xx年春季北京）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=1相切，點(diǎn)C在l上.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn).問ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由.當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，求這時(shí)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x，如下圖.（2）由題意得，直線AB的方程為y=（x1）.消去y，得3x210x+3=0.由 y=（x1），y2=4x， 解得A（，），B（3，2），若ABC能為正三角形，設(shè)C（1，y），則|AC|=|AB|=|BC|， （+1）2+（y）2=（3）2+（2+）2， （3+1）2+（2+y）2=（3）2+（2+）2. 解得y=.但y=不符合（1），所以組成的方程組無解.因此直線l上不存在點(diǎn)C使ABC是正三角形.設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由得y=2，y=（x1），x=1， 即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y2.又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=.當(dāng)|BC|2|AC|2+|AB|2，即28+4y+y2y+y2+，即y時(shí)，CAB為鈍角.當(dāng)|AC|2|BC|2+|AB|2，即y+y228+4y+y2+，即y時(shí)，CBA為鈍角.又|AB|2|AC|2+|BC|2，即+y2+28+4y+y2，即y2+y+0，（y+）20.該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角.因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y或y（y2）.思悟小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容是拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì).解決本節(jié)問題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法.2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算.3.解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì).教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛本節(jié)重點(diǎn)是拋物線的定義、四種方程及幾何性質(zhì).難點(diǎn)是四種方程的運(yùn)用及對(duì)應(yīng)性質(zhì)的比較、辨別和應(yīng)用，關(guān)鍵是定義的運(yùn)用.建議在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)：1.圓錐曲線統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0e1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，表示拋物線；當(dāng)e1時(shí)，表示雙曲線.2.由于拋物線的離心率e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識(shí)來解決的.3.拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離.牢記它對(duì)解題非常有益.4.求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.5.在解題中，拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化.拓展題例【例題】 （xx年北京東城區(qū)模擬題）已知拋物線C1：y2=4ax（a0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸與短軸之比為，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）.（1）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；（2）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動(dòng)到點(diǎn)Q，使|QQ|=4a，求過P和Q且中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程.解：（1）由題意可知F（a，0），設(shè)橢圓方程為+=1（mn0）.解得由 =， m2=2a2，m2n2=a2， n2=a2， 橢圓方程為+=1，直線l：y=xa.可求出P（a，a）. y=xa，可求出Q（32）a，（22）a）.由+=1，由 y=xa，y2=4ax， （2）將Q點(diǎn)沿直線l向上移動(dòng)到Q點(diǎn)，使|QQ|=4a，則可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3a，2a）.設(shè)雙曲線方程為=1（sr0）.由于P、Q在雙曲線上，則有=1，=1.解得 =，=.雙曲線方程為x2y2=1.