2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.3 冪函數(shù)教案 新人教B版必修1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（）3.3 冪函數(shù)教案 新人教B版必修1教學(xué)分析冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成因此，學(xué)習(xí)過程中，引入冪函數(shù)的概念之后，嘗試放手讓學(xué)生自己進行合作探究學(xué)習(xí)本節(jié)通過實例，讓學(xué)生認識到冪函數(shù)同樣也是一種重要的函數(shù)模型，通過研究yx，yx2，yx3，yx1，y等函數(shù)的性質(zhì)和圖象，讓學(xué)生認識到冪指數(shù)大于零和小于零兩種情形下，冪函數(shù)的共性：當冪指數(shù)0時，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,0)和(1,1)，且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增；當冪指數(shù)0時，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)，且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減且以兩坐標軸為漸近線在方法上，我們應(yīng)注意從特殊到一般地去進行類比研究冪函數(shù)的性質(zhì)，并注意與指數(shù)函數(shù)進行對比學(xué)習(xí)將冪函數(shù)限定為五個具體函數(shù)，通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì)其中，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了yx，yx2，yx1等三個簡單的冪函數(shù)，對它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認識現(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念，有助于學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu)學(xué)生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象，研究了兩個特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法因此，教材安排學(xué)習(xí)冪函數(shù)，除內(nèi)容本身外，掌握研究函數(shù)的一般思想方法是另一目的，另外，應(yīng)讓學(xué)生了解利用信息技術(shù)來探索函數(shù)圖象及性質(zhì)是一個重要途徑學(xué)習(xí)中學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆，因此在引出冪函數(shù)的概念之后，可以組織學(xué)生對兩類不同函數(shù)的表達式進行辨析三維目標1通過生活實例引出冪函數(shù)的概念，會畫冪函數(shù)的圖象2通過觀察圖象，了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)，加深學(xué)生對研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識圖能力，使學(xué)生體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣3了解幾個常見的冪函數(shù)的性質(zhì)，通過這幾個冪函數(shù)的性質(zhì)，總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)4通過畫圖比較，使學(xué)生進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，利用計算機等工具，了解冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)差別，使學(xué)生充分認識到現(xiàn)代技術(shù)在人們認識世界的過程中的作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望5應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析歸納能力6了解類比法在研究問題中的作用，滲透辯證唯物主義觀點和方法論，培養(yǎng)學(xué)生運用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力重點難點教學(xué)重點：從五個具體的冪函數(shù)中認識冪函數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)難點：根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同指數(shù)的指數(shù)式的大小課時安排1課時導(dǎo)入新課思路1.(1)如果張紅購買了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的錢數(shù)p(元)和購買的水果量w(千克)之間有何關(guān)系？根據(jù)函數(shù)的定義可知，這里p是w的函數(shù)(2)如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積Sa2，這里S是a的函數(shù)(3)如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積Va3，這里V是a的函數(shù)(4)如果正方形場地面積為S，那么正方形的邊長a，這里a是S的函數(shù)(5)如果某人t s內(nèi)騎車行進了1 km，那么他騎車的速度vt1 km/s，這里v是t的函數(shù)以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個數(shù)學(xué)模型，你能發(fā)現(xiàn)以上幾個函數(shù)解析式有什么共同點嗎？(右邊指數(shù)式，且底數(shù)都是變量)(適當引導(dǎo)：從自變量所處的位置這個角度)(引入新課，書寫課題：冪函數(shù))思路2.我們前面學(xué)習(xí)了三類具體的初等函數(shù)：二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，這一節(jié)課我們再學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)冪函數(shù)，教師板書課題：冪函數(shù)推進新課問題：給出下列函數(shù)：yx，yx，yx2，yx1，yx3，考察這些解析式的特點，總結(jié)出來，是否為指數(shù)函數(shù)？問題：根據(jù)，如果讓我們起一個名字的話，你將會給他們起個什么名字呢？請給出一個一般性的結(jié)論問題：我們前面學(xué)習(xí)指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，用了什么樣的思路？研究冪函數(shù)的性質(zhì)呢？問題：畫出yx，yx，yx2，yx1，yx3五個函數(shù)圖象，完成下列表格問題：通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察，哪個象限一定有冪函數(shù)的圖象？哪個象限一定沒有冪函數(shù)的圖象？哪個象限可能有冪函數(shù)的圖象，這時可以通過什么途徑來判斷？問題：通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察和填表，你能類比出一般的冪函數(shù)的性質(zhì)嗎？活動：考慮到學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，對函數(shù)的學(xué)習(xí)、研究有了一定的經(jīng)驗和基本方法，所以教學(xué)流程又分兩條線，一條以內(nèi)容為明線，另一條以研究函數(shù)的基本內(nèi)容和方法為暗線，教學(xué)過程中同時展開，學(xué)生相互討論，必要時，教師將解析式寫成指數(shù)冪形式，以啟發(fā)學(xué)生歸納，學(xué)生作圖，教師巡視，學(xué)生小組討論，得到結(jié)論，必要時，教師利用幾何畫板演示討論結(jié)果：通過觀察發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的變量在底數(shù)位置，解析式右邊都是冪，因為它們的變量都在底數(shù)位置上，不符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以都不是指數(shù)函數(shù)由于函數(shù)的指數(shù)是一個常數(shù)，底數(shù)是變量，類似于我們學(xué)過的冪的形式，因此我們稱這種類型的函數(shù)為冪函數(shù)，如果我們用字母來表示函數(shù)的指數(shù)，就能得到一般的式子，即冪函數(shù)的定義：一般地，形如yx(xR)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)如yx2，y，yx3等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù)我們研究指對數(shù)函數(shù)時，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，由具體到一般；一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性；有時也通過畫函數(shù)圖象，從圖象的變化情況來看函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，研究冪函數(shù)的性質(zhì)也應(yīng)如此學(xué)生用描點法，也可應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、定義域等，畫出函數(shù)圖象利用描點法，在同一坐標系中畫出函數(shù)yx，y，yx2，yx3，yx1的圖象列表：x3210123yx3210123y011.411.73yx29410149yx3278101827yx111描點、連線畫出以上五個函數(shù)的圖象，如下圖讓學(xué)生通過觀察圖象，分組討論，探究冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，教師注意引導(dǎo)學(xué)生用類比研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的方法研究冪函數(shù)的性質(zhì)通過觀察圖象，完成表格第一象限一定有冪函數(shù)的圖象；第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象；而第二、三象限可能有，也可能沒有圖象，這時可以通過冪函數(shù)和定義域和奇偶性來判斷冪函數(shù)yx的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0，)都有定義，并且圖象都過點(1,1)(原因：1x1)(2)當0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在0，)上是增函數(shù)(從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升)特別地，當1時，x(0,1)，yx2的圖象都在yx圖象的下方，形狀向下凸，越大，下凸的程度越大當01時，x(0,1)，yx2的圖象都在yx的圖象上方，形狀向上凸，越小，上凸的程度越大(3)當0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當x向原點靠近時，圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸，當x慢慢地變大時，圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸思路1例1比較下列兩個代數(shù)式值的大?。?1)(a1)1.5，a1.5；(2)(2a2)，2.解：(1)考察冪函數(shù)yx1.5，在區(qū)間0，)上是單調(diào)增函數(shù)因為a1a，所以(a1)1.5a1.5.(2)考察冪函數(shù)y，在區(qū)間0，)上是單調(diào)減函數(shù)因為2a22，所以(2a2)2.點評：指數(shù)相同的冪的大小比較可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性；底數(shù)相同的冪的大小比較可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.變式訓(xùn)練比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.10.1,1.20.1；(2)0.240.2,0.250.2；(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.活動：學(xué)生先思考或回憶，然后討論交流，教師適時提示點撥比較數(shù)的大小，常借助于函數(shù)的單調(diào)性對(1)(2)可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性對(3)只利用冪函數(shù)的單調(diào)性是不夠的，還要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，事實上，這里0.30.3可作為中間量解：(1)由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同，所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性，考察函數(shù)yx0.1的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，又因為1.11.2，所以1.10.11.20.1.(2)由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同，所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性，考察函數(shù)yx0.2的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，又因為0.240.25，所以0.240.20.250.2.(3)首先比較指數(shù)相同的兩個數(shù)的大小，考察函數(shù)yx0.3的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，又因為0.20.3，所以0.20.30.30.3.再比較同底數(shù)的兩個數(shù)的大小，考察函數(shù)y0.3x的單調(diào)性，它在定義域內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，又因為0.20.3，所以0.30.30.30.2.所以0.20.30.30.30.30.2.另外，本題還有圖象法，計算結(jié)果等方法，留作同學(xué)們自己完成.例2討論函數(shù)y的定義域、奇偶性，作出它的圖象并根據(jù)圖象說明函數(shù)的增減性解：函數(shù)y，定義域是實數(shù)集R.因為f(x)(x)2(x2)，所以函數(shù)yx是偶函數(shù)因此函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱列出函數(shù)在0，)上的對應(yīng)值表：x01234y011.592.082.52作這個函數(shù)在0，)上的圖象，再根據(jù)這個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，作出它在(，0上的圖象，如下圖所示由它的圖象可以看出，這個函數(shù)在區(qū)間(，0上是減函數(shù)，在區(qū)間0，)上是增函數(shù)變式訓(xùn)練證明冪函數(shù)f(x)在0，)上是增函數(shù)活動：學(xué)生先思考或討論，再回答，教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo)證明函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法，有時利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明：任取x1，x20，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)，因為x1x20，0，所以0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在0，)上是增函數(shù)點評：證明函數(shù)的單調(diào)性要嚴格按步驟和格式書寫，利用作商的方法比較大小，f(x1)與f(x2)的符號要一致.思路2例1判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù)y0.2x；yx3；yx2；y.活動：學(xué)生獨立思考，討論回答，教師巡視引導(dǎo)，及時評價學(xué)生的回答根據(jù)冪函數(shù)的定義判別，形如yx(xR)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，變量x的系數(shù)為1，指數(shù)是一個常數(shù)，嚴格按這個標準來判斷解：y0.2x的底數(shù)是0.2，因此不是冪函數(shù)；yx3的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)；yx2的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)；y的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)點評：判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)要嚴格按定義來判斷.變式訓(xùn)練判別下列函數(shù)中有幾個冪函數(shù)？yx；y2x2；y；yx2x；yx3.解：的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)；的變量x2的系數(shù)為2，因此不是冪函數(shù)；的變量是和的形式，因此也不是冪函數(shù)；的變量x3的系數(shù)為1，因此不是冪函數(shù).例2函數(shù)y(x22x)的定義域是()Ax|x0或x2 B(，0)(2，)C(，02，) D(0,2)解析：函數(shù)y(x22x) 化為y，要使函數(shù)有意義需x22x0，即x2或x0，所以函數(shù)的定義域為x|x2或x0答案：B點評：注意換元法在解題中的應(yīng)用.變式訓(xùn)練函數(shù)y(1x2)的值域是()A0，) B(0,1C(0,1) D0,1活動：學(xué)生獨立解題，先思考，然后上黑板板演，教師巡視指導(dǎo)函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)的定義域來求函數(shù)可化為根式形式，偶次方根號的被開方數(shù)大于零，轉(zhuǎn)化為等式或不等式來解，可得定義域，這是復(fù)合函數(shù)求值域問題，利用換元法解析：令t1x2，則y，因為函數(shù)的定義域是x|1x1，所以0t1.所以0y1.答案：D1下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是()Ay2x By2x3Cy Dy2x2下列結(jié)論正確的是()A冪函數(shù)的圖象一定過原點B當0時，冪函數(shù)yx是減函數(shù)C當0時，冪函數(shù)yx是增函數(shù)D函數(shù)yx2既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)3下列函數(shù)中，在(，0)上是增函數(shù)的是()Ayx3 Byx2Cy Dy4已知某冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2，)，則這個函數(shù)的解析式為_答案：1.C2.D3.A4.y分別在同一坐標系中作出下列函數(shù)的圖象，通過圖象說明它們之間的關(guān)系yx1，yx2，yx3；yx，yx；yx，yx2，yx3；y，yx.活動：學(xué)生思考或交流，探討作圖的方法，教師及時提示，必要時，利用幾何畫板演示解：利用描點法，在同一坐標系中畫出上述四組函數(shù)的圖象如下圖甲、乙、丙、丁甲乙丙丁觀察上圖甲得到：函數(shù)yx1、yx2、yx3的圖象都過點(1,1)，且在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸，指數(shù)越小，向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠觀察上圖乙得到：函數(shù)yx、yx的圖象都過點(1,1)，且在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸，指數(shù)越小，向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠觀察上圖丙得到：函數(shù)yx、yx2、yx3的圖象過點(1,1)、(0,0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間0，)上是單調(diào)增函數(shù)，指數(shù)越大圖象下凸越大，在第一象限來看，圖象向上離y軸近，向下離y軸近觀察上圖丁得到：函數(shù)y、yx的圖象過點(1,1)、(0,0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間0，)上是單調(diào)增函數(shù)，指數(shù)越大圖象上凸越大，在第一象限來看，圖象在點(1,1)的左邊離y軸近，在點(1,1)的右邊離x軸近根據(jù)上述規(guī)律可以判斷函數(shù)圖象的分布情況1冪函數(shù)的概念2冪函數(shù)的性質(zhì)3冪函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用課本習(xí)題33 A3、4.冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)，課本內(nèi)容較少，但高考內(nèi)容不少，應(yīng)適當引申，所以設(shè)計了一些課本上沒有的題目類型，以擴展同學(xué)們的視野，同時由于作圖的內(nèi)容較多，建議抓住關(guān)鍵點作圖，要會熟練地運用計算機或計算器作圖，強化對知識的理解歷史上數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明你知道數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明嗎？這就是阿拉伯數(shù)字、十進制和對數(shù)研究自然數(shù)遇到的第一個問題是計數(shù)法和進位制的問題，我們采用的十進制是中國人的一大發(fā)明在商代中期的甲骨文中已有十進制，其中最大的數(shù)是3萬，印度最早到六世紀末才有十進制但是，目前使用的計數(shù)法和阿拉伯數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早開始使用，后來傳到阿拉伯，由阿拉伯人傳到歐洲，并被歐洲人所接受十進制位置計數(shù)法的誕生，是自然數(shù)發(fā)展史上的一次飛躍，同一個數(shù)字由于它所在的位置不同而有不同的值無窮多個自然數(shù)可以用有限個符號來駕馭，所有的自然數(shù)都可以方便清楚地表示出來16世紀前半葉，由于實際的需要，對計算技術(shù)的改進提出了前所未有的要求這一時期計算技術(shù)最大的改進是對數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用，它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計算的迫切需要為了簡化天文航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(Napier，J.15501617)在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中，首先發(fā)明了對數(shù)方法.1614年他在題為奇妙的對數(shù)定理說明書一書中，闡述了他的對數(shù)方法，對數(shù)的使用價值為納皮爾的朋友英國數(shù)學(xué)家布里格斯(Birggs，H.15611630)所認識，他與納皮爾合作，并于1624年出版了對數(shù)算術(shù)一書，公布了以10為底的14位對數(shù)表，并稱以10為底的對數(shù)為常用對數(shù)常用對數(shù)曾經(jīng)在簡化計算上為人們做過重大貢獻，而自然對數(shù)以及以e為底的指數(shù)函數(shù)成了研究科學(xué)、了解自然的必不可少的工具恩格斯曾把對數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分學(xué)的建立并稱為17世紀數(shù)學(xué)的三大成就法國著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯曾說：“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命”一直到18世紀，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler，L.17071783)才發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，他指出“對數(shù)源出于指數(shù)”，這個見解很快被人們所接受