2019-2020年高中數(shù)學(xué)向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義【知識與技能】1.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算并理解其幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；2.理解兩個向量共線的等價條件，會根據(jù)條件判斷兩個向量是否共線；3數(shù)和向量的乘積，從形式上看，就是圖形的放大或縮小，從而揭示事物在不斷地運(yùn)動變化過程中，“萬變不改其性”的哲理.【過程與方法】數(shù)的運(yùn)算乘法可轉(zhuǎn)化成有幾個數(shù)相加，向量同樣可以有3a=a+a+a，-3a= -a+（- a）+（- a），從而引入了數(shù)乘.通過實(shí)例觀察數(shù)乘的結(jié)果，分析這個結(jié)果和原來向量的關(guān)系: 長度和方向都改變了,最后從感性材料中得到：（1）實(shí)數(shù)和向量的乘積還是一個向量，（2）此向量和原向量是平行關(guān)系，（3）方向取決于所乘實(shí)數(shù)的符號.一教學(xué)目標(biāo)1理解并掌握實(shí)數(shù)與向量的積的意義2理解兩個向量共線的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否共線；3通過對實(shí)數(shù)與向量的積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運(yùn)動變化的辯證思想.二教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量共線的充要條件；三教學(xué)難點(diǎn)：理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量共線的充要條件；四教學(xué)過程設(shè)置情境我們知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)，如力與加速度的關(guān)系f=ma，位移與速度的關(guān)系s=vt這些公式都是實(shí)數(shù)與向量間的關(guān)系問：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請同學(xué)們作出和向量，（已知向量已作在投影片上），并請同學(xué)們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？答：的長度是的長度的3倍，其方向與的方向相同，的長度是長度的3倍，其方向與的方向相反本節(jié)課我們就來討論實(shí)數(shù)與向量的乘積問題，（板書課題：實(shí)數(shù)與向量的乘積（一）探索研究問：請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實(shí)數(shù)與向量的積？可結(jié)合教材思考答：我想這樣規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量的積就是，它還是一個向量想法很好不過我們要對實(shí)數(shù)與向量相乘的含義作一番解釋才行實(shí)數(shù)與向量的積的定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）（2）時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；特別地，當(dāng)或時，下面我們討論作為數(shù)乘向量的基本運(yùn)算律：問：求作向量和（為非零向量）并進(jìn)行比較，向量與向量相等嗎？（引導(dǎo)學(xué)生從模的大小與方向兩個方面進(jìn)行比較）答：，設(shè)、為任意向量，為任意實(shí)數(shù)，則有：（1）（2）（3）通常將（1）稱為結(jié)合律，（2）（3）稱為分配律，有時為了區(qū)別，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律例題講解：【例1】計(jì)算：（1）， （2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式下面我們研究共線向量與實(shí)乘向量的關(guān)系問：請同學(xué)們觀察，有什么關(guān)系答：因?yàn)?，所以、是共線向量問：若、是共線向量，能否得出？為什么，可得出嗎？為什么？答：可以！因?yàn)?、共線，它們的方向相同或相反由此可得向量共線的充要條件向量與非零向量共線的充分必要條件是有且僅有一個實(shí)數(shù)，使得（此即教材中的定理）對此定理的證明，是兩層來說明的其一，若存在實(shí)數(shù)，使，則由實(shí)數(shù)與向量乘積定義中的第（2）條知與共線，即與共線其二，若與共線，且不妨令，設(shè)（這是實(shí)數(shù)概念）接下來看、方向如何：、同向，則，若、反向，則記，總而言之，存在實(shí)數(shù)（或）使【例2】如圖：已知，試判斷與是否共線解： 與共線練習(xí)（投影儀）1.設(shè)、是兩個不共線向量，已，若、三點(diǎn)共線，求的值解：、三點(diǎn)共線、共線存在實(shí)數(shù)，使即，2.若為的對角線交點(diǎn)，則等于（ B ）A B C D4總結(jié)提煉（1）與的積還是向量，a與是共線的（2）一維空間向量的基本定理的內(nèi)容和證明思路，也是應(yīng)用該定理解決問題的思路該定理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題（3）運(yùn)算律暗示我們，化簡向量代數(shù)式就像計(jì)算多項(xiàng)式一樣去合并同類項(xiàng)五板書設(shè)計(jì)教學(xué)目的：通過練習(xí)使學(xué)生對實(shí)數(shù)與積，兩個向量共線的充要條件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用來解決一些簡單的幾何問題。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)：1實(shí)數(shù)與向量的積 (強(qiáng)調(diào)：“?！迸c“方向”兩點(diǎn)) 2三個運(yùn)算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律） 3向量共線的充要條件【例題】例1 若32，3，其中，是已知向量，求，.分析：此題可把已知條件看作向量、的方程，通過方程組的求解獲得、.解：記32 ,3, 3得393得113. 將代入有：3評述：在此題求解過程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2 凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證(+).解法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決.過點(diǎn)C在平面內(nèi)作，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點(diǎn). BAE F GD CEF是ADG的中位線，EF =， .而，（）.解法二：創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系如圖，連EB，EC，則有， BA F GED C，又E是AD之中點(diǎn)，有0,即有；以與為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由F是BC之中點(diǎn)，可得F也是EG之中點(diǎn).（）（）例3. 錯例分析判斷向量2e與2e是否共線?對此題，有同學(xué)解答如下：解：2e，2e，與共線.分析：乍看上述解答，真是簡單明快.然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存有問題，這是因?yàn)?，原題已知中對向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e0，而當(dāng)e0時，顯然0，0，此時，不符合定理中的條件，且使成立的值也不惟一(如1，1，2等均可使成立)，故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線.可見，對e0的情況應(yīng)另法判斷才妥.綜上分析，此題應(yīng)解答如下：解：(1)當(dāng)e0時，則2e0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時與共線.(2) 當(dāng)e0時，則2e0，2e0(這時滿足定理中的0，及有且只有一個實(shí)數(shù)（1），使得成立),與共線.綜合(1)、(2)可知，與共線.題目答疑習(xí)題(課本P)參考答案1.略; 2. =，=; 3. (1)b=2a, (2) b=a (3) b=a (4) b=a4. (1)共線,（2）共線; 5. (1)3a -2b (2) -a +b (3) 2ya