2019-2020年高考數(shù)學異構異模復習第十章圓錐曲線與方程課時撬分練10.3拋物線及其性質(zhì)文.DOC
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2019-2020年高考數(shù)學異構異模復習第十章圓錐曲線與方程課時撬分練10.3拋物線及其性質(zhì)文.DOC
2019-2020年高考數(shù)學異構異模復習第十章圓錐曲線與方程課時撬分練10.3拋物線及其性質(zhì)文
1.[xx衡水二中周測]若拋物線y2=2px上一點P(2,y0)到其準線的距離為4,則拋物線的標準方程為( )
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=10x
答案 C
解析 ∵拋物線y2=2px,∴準線為x=-.∵點P(2,y0)到其準線的距離為4,∴=4,∴p=4.
∴拋物線的標準方程為y2=8x,故選C.
2.[xx棗強中學仿真]已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的焦距是實軸長的2倍.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為( )
A.x2=y(tǒng) B.x2=y(tǒng)
C.x2=8y D.x2=16y
答案 D
解析 ∵2c=4a,∴c=2a,又a2+b2=c2,∴b=a,∴漸近線y=x,又∵拋物線C2的焦點,
∴d==2,∴p=8,∴拋物線C2的方程為x2=16y.
3. [xx衡水二中月考]如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A,B,交其準線l于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為( )
A.y2=9x B.y2=6x
C.y2=3x D.y2=x
答案 C
解析 如圖,分別過A,B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由拋物線的定義知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∵|BC|=2|BF|,
∴|BC|=2|BB1|,
∴∠BCB1=30,
∴∠AFx=60.連接A1F,則△AA1F為等邊三角形,過F作FF1⊥AA1于F1,則F1為AA1的中點,設l交x軸于K,則|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,∴拋物線方程為y2=3x,故選C.
4. [xx武邑中學熱身]已知點M(-3,2)是坐標平面內(nèi)一定點,若拋物線y2=2x的焦點為F,點Q是該拋物線上的一動點,則|MQ|-|QF|的最小值是( )
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A. B.3
C. D.2
答案 C
解析 拋物線的準線方程為x=-,當MQ∥x軸時,|MQ|-|QF|取得最小值,此時|QM|-|QF|=3-=,選C.
5.[xx衡水二中熱身]已知拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經(jīng)過點M(2,y0).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|=( )
A.2 B.2
C.4 D.2
答案 B
解析 設拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點坐標為,準線方程為x=-,
∵M在拋物線上,∴M到焦點的距離等于到準線的距離,
∴ =2+=3.
解得:p=2,y0=2.
∴點M(2,2),根據(jù)兩點距離公式有:
∴|OM|= =2.
6. [xx武邑中學期末]已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1,到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為( )
A.+2 B.+1
C.-2 D.-1
答案 D
解析 因為拋物線的方程為y2=4x,所以焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,因為點P到y(tǒng)軸的距離為d1,所以到準線的距離為d1+1,又d1+1=|PF|,所以d1+d2=d1+1+d2-1=|PF|+d2-1,焦點F到直線l的距離d===,而|PF|+d2≥d=,所以d1+d2=|PF|+d2-1≥-1,選D.
7.[xx衡水二中預測]已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標為3,則該拋物線的準線方程為( )
A.x=1 B.x=2
C.x=-1 D.x=-2
答案 C
解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=-,與拋物線方程聯(lián)立得,,消去y整理得:x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根據(jù)中點坐標公式,有=3,p=2,因此拋物線的準線方程為x=-1.
8.[xx棗強中學月考]過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的直線l與拋物線交于B、C兩點,l與拋物線的準線交于點A,且|AF|=6,=2,則|BC|=( )
A. B.6
C. D.8
答案 A
解析 不妨設直線l的傾斜角為θ,其中0<θ<,點B(x1,y1)、C(x2,y2),則點B在x軸的上方.過點B作該拋物線的準線的垂線,垂足為B1,于是有|BF|=|BB1|=3,=,由此得p=2,拋物線方程是y2=4x,焦點F(1,0),cosθ===,sinθ==,tanθ==2,直線l:y=2(x-1).由得8(x-1)2=4x,即2x2-5x+2=0,x1+x2=,|BC|=x1+x2+p=+2=,選A.
9.[xx衡水二中猜題]已知P為拋物線y2=4x上一個動點,Q為圓x2+(y-4)2=1上一個動點,那么點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和的最小值是________.
答案?。?
解析 由題意知,圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),半徑為1,拋物線的焦點為F(1,0).根據(jù)拋物線的定義,點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和即點P到點Q的距離與點P到拋物線焦點的距離之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1=-1.
10.[xx衡水二中一輪檢測]已知圓C:x2+y2+6x+8y+21=0,拋物線y2=8x的準線為l,設拋物線上任意一點P到直線l的距離為m,則m+|PC|的最小值為________.
答案
解析 由題意得圓C的方程為(x+3)2+(y+4)2=4,圓心C坐標為(-3,-4).由拋物線定義知,當m+|PC|最小時,為圓心與拋物線焦點間的距離,即(m+|PC|)min==.
11.[xx冀州中學周測]已知直線l與拋物線y2=8x交于A、B兩點,且l經(jīng)過拋物線的焦點F,A點的坐標為(8,8),則線段AB的中點到準線的距離是________.
答案
解析 由y2=8x知2p=8,
∴p=4,則點F的坐標為(2,0).
由題設可知,直線l的斜率存在,設l的方程為y=k(x-2),點A,B的坐標分別為(xA,yA),(xB,yB).
又點A(8,8)在直線上,∴8=k(8-2),解得k=.
∴直線l的方程為y=(x-2).①
將①代入y2=8x,整理得2x2-17x+8=0,則xA+xB=,∴線段AB的中點到準線的距離是+=+2=.
12.[xx冀州中學熱身]已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9.
(1)求該拋物線的方程;
(2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若=+λ,求λ的值.
解 (1)直線AB的方程是y=2,
與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0,
所以x1+x2=.
由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,從而拋物線方程是y2=8x.
(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可得x2-5x+4=0,
從而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,
從而A(1,-2),B(4,4).
設=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)
=(4λ+1,4λ-2),
又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
能力組
13. [xx棗強中學周測]設拋物線y2=2x的焦點為F,過點M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于點C,|BF|=2,則△BCF與△ACF的面積之比=( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 如圖,過A,B作準線l:x=-的垂線,垂足分別為A1,B1,由于F到直線AB的距離為定值,
∴=.
又∵△B1BC∽△A1AC,
∴=,由拋物線定義知==,∴=.
由|BF|=|BB1|=2知xB=,yB=-,
∴直線AB的方程為y-0=(x-).
把x=代入上式,求得yA=2,xA=2,
∴|AF|=|AA1|=.
故===.故選A.
14.[xx冀州中學預測]已知點P是拋物線y2=2x上的動點,點P到準線的距離為d,且點P在y軸上的射影是M,點A,則|PA|+|PM|的最小值是( )
A. B.4
C. D.5
答案 C
解析 設拋物線y2=2x的焦點為F,則F,又點A在拋物線外,拋物線的準線方程為x=-,則|PM|=d-,又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|=|PA|+d-≥5-=,即(|PA|+|PM|)min=.故選C.
15.[xx衡水二中熱身]如圖是拋物線形拱橋,當水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬________米.
答案 2
解析 建立適當?shù)淖鴺讼?,如圖所示,可求出拋物線的方程是x2=-2y,當y=-3時,x2=-2(-3)=6,所以x=,即水面寬是2 米.
16.[xx武邑中學期末]設拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為l,A為C上一點,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點.
(1)若∠BFD=90,△ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;
(2)若A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點,求坐標原點到m,n距離的比值.
解 (1)由題意易知B,D兩點關于y軸對稱,所以|FB|=|FD|.故△BFD為等腰直角三角形.
設BD交y軸于點E,則|BE|=|DE|=|EF|=p.所以|BD|=2p.故圓F的半徑|FA|=|FB|=p.由拋物線定義可知A到l的距離d=|FA|=p.
因為△ABD的面積為4,所以|BD|d=4,即2pp=4,得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1).故圓F的方程為x2+(y-1)2=8.
(2)因為A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑,∠ADB=90.
由拋物線定義知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30,m的斜率為或-.
當m的斜率為時,由已知可設n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n與C只有一個公共點,故Δ=p2+8pb=0,解得b=-.
因為m的截距b1=,=3,
所以坐標原點到m,n距離的比值為3.
當m的斜率為-時,由圖形對稱性可知,坐標原點到m,n距離的比值為3.