2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.1 橢圓教案.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.1 橢圓教案網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標(biāo)定位1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.2.掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).3.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).4.能夠根據(jù)具體條件利用各種不同的工具畫橢圓、雙曲線、拋物線的圖形，了解它們在實際問題中的初步應(yīng)用.5.結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步加強對運動變化和對立統(tǒng)一等觀點的認(rèn)識.復(fù)習(xí)方略指南本章主要內(nèi)容有橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì).它們作為研究曲線和方程的典型問題，成了解析幾何的主要內(nèi)容，在日常生活、生產(chǎn)實踐和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用.因此在高考中，圓錐曲線成為命題的熱點之一.分析近幾年高考試題，有下面幾個顯著特點：1.注重雙基 保持穩(wěn)定圓錐曲線在題型、題量、難度等方面風(fēng)格獨特，每年的試卷中客觀題2至3道，主觀題1道，分值占全卷的15%左右，“難、中、易”層次分明，既有基礎(chǔ)題，又有能力題.2.全面考查 重點突出試題中，圓錐曲線的內(nèi)容幾乎全部涉及，考查的知識點約占圓錐曲線總知識點的四分之三，通過知識的重新組合，考查學(xué)生系統(tǒng)掌握課程知識的內(nèi)在聯(lián)系，重點仍在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系上.3.考查能力 探究創(chuàng)新試題具有一定的綜合性，重點考查學(xué)生畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理、合理運算以及綜合運用知識的能力.在今后的高考中，圓錐曲線仍將考查圓錐曲線的概念和性質(zhì)、求曲線方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、解析幾何中的定值最值問題.其中直線和圓錐曲線的位置關(guān)系仍是命題的熱點，解析幾何中的定值及最值問題也會有所加強.圓錐曲線內(nèi)容的“應(yīng)用性問題”和“探索性問題”將會出現(xiàn)在今后的高考中.學(xué)好本章的關(guān)鍵在于正確理解和掌握由曲線求方程和由方程討論曲線的性質(zhì)這兩個問題.為此建議在學(xué)習(xí)中做到：1.搞清概念（對概念定義應(yīng)“咬文嚼字”）；2.熟悉曲線（會“速寫”出符合題目數(shù)量特征要求的曲線）；3.熟練運用代數(shù)、三角、幾何、向量的知識；4.處理問題時要在“大處著眼”（即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學(xué)思想）“小處著手”（即在細(xì)節(jié)上能熟練運用各種數(shù)學(xué)知識和方法）.8.1 橢圓知識梳理定義1.到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長（|F1F2|）的點的軌跡2.到定點F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（0，1）的點的軌跡3.參數(shù)方程方程1. +=1（ab0），c=，焦點是F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）2.+=1（ab0），c=，焦點是F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）x=acos，為參數(shù)y=bsin性質(zhì)E：+=1（ab0）1.范圍：|x|a，|y|b2.對稱性：關(guān)于x，y軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱3.頂點：長軸端點A1（a，0），A2（a，0）；短軸端點B1（0，b），B2（0，b）4.離心率：e=（0，1）5.準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=6.焦半徑：P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=aex思考討論 對于焦點在y軸上的橢圓+=1（ab0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式怎樣推導(dǎo)？點擊雙基1.（xx年北京宣武區(qū)模擬題）已知F1、F2是橢圓+=1的兩個焦點，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點，則MNF2的周長為A.8 B.16 C.25 D.32解析：利用橢圓的定義易知B正確.答案：B2.（xx年湖北，6）已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為A. B.3 C. D. 解析：由余弦定理判斷P<90，只能PF1F2或PF2F1為直角.由a=4，b=3得c=，|yP|=.答案：D（為參數(shù)）的焦點坐標(biāo)為3.（xx年春季北京）橢圓 x=4+5cos，y=3sin A.（0，0），（0，8） B.（0，0），（8，0）C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）解析：消參數(shù)得橢圓+=1，c=4.易得焦點（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.解析：橢圓方程化為+=1.焦點在y軸上，則>2，即k<1.又k>0，0<k<1.答案：0k15.點P在橢圓+=1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)是_.解析：利用第二定義.答案：典例剖析【例1】 已知F1為橢圓的左焦點，A、B分別為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時，求橢圓的離心率.剖析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一個量表示.本題沒有具體數(shù)值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.解：設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），F(xiàn)1（c，0），c2=a2b2，則P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.評述：由題意準(zhǔn)確畫出圖形，利用橢圓方程及直線平行與垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.【例2】 如下圖，設(shè)E：+=1（ab0）的焦點為F1與F2，且PE，F(xiàn)1PF2=2.求證：PF1F2的面積S=b2tan.剖析：有些圓錐曲線問題用定義去解決比較方便.如本題，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=r1r2sin2.若能消去r1r2，問題即獲解決.證明：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2.所以r1r2=.這樣即有S=sin2=b2=b2tan.評述：解與PF1F2（P為橢圓上的點）有關(guān)的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a來解決.特別提示 我們設(shè)想點P在E上由A向B運動，由于PF1F2的底邊F1F2為定長，而高逐漸變大，故此時S逐漸變大.所以當(dāng)P運動到點B時S取得最大值.由于b2為常數(shù)，所以tan逐漸變大.因2為三角形內(nèi)角，故2（0，），（0，）.這樣，也逐漸變大，當(dāng)P運動到B時，F(xiàn)1PF2取得最大值.故本題可引申為求最值問題，讀者不妨一試.【例3】 若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為，且OAOB，求橢圓的方程.剖析：欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關(guān)于a、b的兩個方程，由OM的斜率為.OAOB，易得a、b的兩個方程.解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.（a+b）x22bx+b1=0.由 x+y=1，ax2+by2=1，=，=1=.M（，）.kOM=，b=a. OAOB，=1.x1x2+y1y2=0.x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=.+=0.a+b=2.由得a=2（1），b=2（1）.所求方程為2（1）x2+2（1）y2=1.評述：直線與橢圓相交的問題，通常采取設(shè)而不求，即設(shè)出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題.由OAOB得x1x2+y1y2=0是解決本題的關(guān)鍵.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（xx年全國，7）橢圓+y2=1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|等于A. B. C. D.4解法一：（如下圖）設(shè)橢圓的右焦點為F1，左焦點為F2，過F1垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限的交點為P.+y2=1，a=2，b=1，c=.F1（，0）.設(shè)P（，yP）代入+y2=1，得yP=，P（，），|PF1|=.又|PF2|+|PF1|=2a=4，|PF2|=4|PF1|=4=.解法二：橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=.=e=，|PF2|=.解法三：由解法一得P（，），又F2（，0），|PF2|=.答案：C評述：解法一和解法三為基本解法.解法二使用第二定義甚為巧妙.2.（xx年昆明市模擬題）設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于M點，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為A. 1 B.2 C. D.解析：易知圓F2的半徑為c，（2ac）2+c2=4c2，（）2+2（）2=0，=1.答案：A3.（xx年春季北京，10）橢圓+=1的離心率是_，準(zhǔn)線方程是_.解析：由橢圓方程可得a=5，b=3，c=4，e=，準(zhǔn)線方程為x=.答案： x=4.已知P是橢圓1（ab0）上任意一點，P與兩焦點連線互相垂直，且P到兩準(zhǔn)線距離分別為6、12，則橢圓方程為_.解析：利用橢圓的兩個定義結(jié)合勾股定理來求答案：15.橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是，求這個橢圓方程.解：由題設(shè)條件可知a=2c，b=c，又ac=，解得a2=12，b2=9.所求橢圓的方程是+=1或+=1.6.直線l過點M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點，若AB的中點為M，試求直線l的方程.解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則+=1， +=1.，得+=0.=.又M為AB中點，x1+x2=2，y1+y2=2.直線l的斜率為.直線l的方程為y1=（x1），即3x+4y7=0.培養(yǎng)能力7.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓相交于點P和點Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m>0，n>0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程組y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）>0，即m+nmn>0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦長公式得2=（）2，將m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 橢圓方程為+y2=1或x2+=1.8.（xx年南京市模擬題）設(shè)x、yR，i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程.（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)=+，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由.（1）解法一：a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，點M（x，y）到兩個定點F1（0，2），F(xiàn)2（0，2）的距離之和為8.軌跡C為以F1、F2為焦點的橢圓，方程為+=1.解法二：由題知，+=8，移項，得=8，兩邊平方，得x2+（y+2）2=x2+（y2）216+64，整理，得2=8y，兩邊平方，得4x2+（y2）2=（8y）2，展開，整理得+=1.（2）l過y軸上的點（0，3），若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點.=+=0，P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾.直線l的斜率存在.設(shè)l方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此時，=（18k2）4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（21）0恒成立，且x1+x2=，x1x2=.=+，四邊形OAPB是平行四邊形.若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OAOB，即=0.=（x1，y1），=（x2，y2），=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（）+3k（）+9=0，即k2=，得k=.存在直線l：y=x+3，使得四邊形OAPB是矩形.探究創(chuàng)新9.已知常數(shù)a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且=，P為GE與OF的交點（如下圖）.問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.分析：根據(jù)題設(shè)條件首先求出P點坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點，使得點P到兩定點距離的和為定值.解：按題意，有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）.設(shè)=k（0k1），由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）.直線OF的方程為2ax+（2k1）y=0. 直線GE的方程為a（2k1）x+y2a=0. 由消去參數(shù)k，得點P（x，y）滿足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.當(dāng)a2=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.當(dāng)a2時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.當(dāng)a2時，點P到橢圓兩個焦點（，a），（，a）的距離之和為定值.當(dāng)a2時，點P到橢圓兩個焦點（0，a），（0，a+）的距離之和為定值2a.評注：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊涵著方程思想、分類討論思想和構(gòu)造法.思悟小結(jié)1.橢圓的定義是解決問題的出發(fā)點，尤其是第二定義，如果運用恰當(dāng)可收到事半功倍之效（如關(guān)于求焦半徑的問題）.2.要明確參數(shù)a、b、c、e的相互關(guān)系、幾何意義及與一些概念的聯(lián)系.靈活運用它們之間的關(guān)系可使問題順利解決.3.橢圓參數(shù)的幾何意義，如下圖所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，=e；（2）|A1F1|=|A2F2|=ac，|A1F2|=|A2F1|=a+c；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，|PM2|+|PM1|=.教師下載中心教學(xué)點睛本節(jié)的重點是橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì).難點是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，及利用第二定義解決問題，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程的思想，等價轉(zhuǎn)化的運用.為此建議在教學(xué)中注意以下幾點：（1）橢圓中有一個十分重要的三角形OF1B2（如下圖），它的三邊長分別為a、b、c.易見c2=a2b2，且若記OF1B2=，則cos=e.（2）應(yīng)理解橢圓是平面內(nèi)到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡，本質(zhì)上，它與坐標(biāo)系無關(guān)，而坐標(biāo)系是研究的手段.實際上，人們研究圓錐曲線的記錄早于笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系，從而橢圓本身所固有的性質(zhì)并不依賴于坐標(biāo)系，這些性質(zhì)不因坐標(biāo)系的選擇而改變.例如上述的OF1B2、公式cos=e等，均不因坐標(biāo)系的改變而改變.（3）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因為當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和等于|F1F2|時，其動點軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和小于|F1F2|時，其軌跡不存在.（4）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中兩個參數(shù)a和b確定了橢圓的形狀和大小.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0；橢圓的焦點位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；a、b、c的關(guān)系是c2=a2b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同號，就是橢圓方程.（5）當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點與焦點的距離，焦點弦長相關(guān)時，常利用橢圓的第二定義，轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離來研究，即正確應(yīng)用焦半徑公式.（6）使用橢圓的第二定義時，一定要注意動點P到焦點的距離與對應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點與準(zhǔn)線不是對應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了.拓展題例【例1】 （xx年太原市模擬題）如下圖，已知OFQ的面積為S，且=1.（1）若S2，求向量與的夾角的取值范圍；（2）設(shè)|=c（c2），S=c，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當(dāng)|取最小值時，求橢圓的方程.解：（1）由已知，得|sin（）=S，|cos=1.tan=2S.S2，1tan4.則arctan4.（2）以O(shè)為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），Q（x，y）.=（c，0），則=（xc，y）.|y=c，y=.又=c（xc）=1，x=c+.則|=（c2）.可以證明：當(dāng)c2時，函數(shù)t=c+為增函數(shù)，當(dāng)c=2時，|min=，此時Q（，）.將Q的坐標(biāo)代入橢圓方程，解得得 +=1， a2=10，a2b2=4. b2=6.橢圓方程為+=1.【例2】 （xx年春季全國）已知某橢圓的焦點是F1（4，0）、F2（4，0），過點F2，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且F1BF2B10橢圓上不同的兩點A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為ykxm，求m的取值范圍.（1）解：由橢圓定義及條件知2aF1BF2B10，得a5.又c4，所以b3故橢圓方程為1（2）解：由點B（4，yB）在橢圓上，得F2ByB方法一：因為橢圓右準(zhǔn)線方程為x，離心率為根據(jù)橢圓定義，有F2A（x1），F(xiàn)2C（x2）由F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，得（x1）（x2）2由此得出x1x28設(shè)弦AC的中點為P（x0，y0），則x04方法二：由F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，得2， 由A（x1，y1）在橢圓1上，得y12（25x12），所以=（254x1）. 同理可得（254x2） 將代入式，得（254x1）（254x2）所以x1x28設(shè)弦AC的中點為P（x0，y0），則x04（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在橢圓上，得9x1225y12925， 9x2225y22925 由得9（x12x22）25（y12y22）0，即9（）25（）（）0（x1x2）.將x0=4，y0，（k0）代入上式，得9425y0（）0（k0）由上式得ky0（當(dāng)k0時也成立）.由點P（4，y0）在弦AC的垂直平分線上，得y04km，所以my04ky0y0y0由P（4，y0）在線段BB（B與B關(guān)于x軸對稱）的內(nèi)部，得y0.所以m評述：在推導(dǎo)過程中，未寫明“x1x2”“k0”“k0時也成立”及把結(jié)論寫為“m”也可以.解法二：因為弦AC的中點為P（4，y0），所以直線AC的方程為yy0（x4）（k0）. 將代入橢圓方程+1，得（9k225）x250（ky04）x25（ky04）2259k20所以x1x28解得ky0（當(dāng)k0時也成立）.以下步驟同解法一.