【2019年整理】三重積分

第 三 節(jié) 、 三 重 積 分 的 計 算定 義 設 f ( x, y,z ) ,是 空 間 有 界 閉 區(qū) 域 上 的 有 界 函 數(shù)kkknk k vf ),(lim 10 存 在 , ),( zyxf f(x,y,z)dv 叫 體 積 元 素 .vd d d d .dv x y z將 作 任 意 分 割 : 若 任 意 取 點則 稱 此 極 限 為 函 數(shù) 在 上 的 三 重 積 分 .在 直 角 坐 標 系 下 dv常 寫 作kv ( k , , ,n), 1 2 ,),( kkkk v 極 限 記 作一 、 三 重 積 分 的 概 念 三 重 積 分 的 性 質 與 二 重 積 分 相 似 .性 質 : 注 : 若 物 體 占 有 空 間 閉 區(qū) 域 ， 物 體 上 點 (x, y, z)處 的密 度 為 f (x, y, z)， 且 f (x, y, z)在 上 連 續(xù) ， 則 物 體 的 質 量M f(x,y,z)dvf (x, y, z)在 上 連 續(xù) 時 , f (x, y, z)在 上 的 三 重 積 分 必 存 在 .以 后 總 假 定 f (x, y, z)在 上 連 續(xù) ., ( , , ) 1 , ( , , ) .f x y z f x y z d 特 別 地 當 在 上 時 在 數(shù) 值 上 等 于 的 體 積 二 、 三 重 積 分 的 計 算1. 利 用 直 角 坐 標 計 算 三 重 積 分方 法 1 . 穿 針 法 (“先 一 后 二 ” )也 稱 為 投 影 法方 法 2 . 切 片 法 (“先 二 后 一 ” ) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 計 算 三 重 積 分 的 基 本 方 法 是 將 三 重 積 分 化 為 三 次 積 分 來 計 算 . 1. 利 用 直 角 坐 標 計 算 三 重 積 分 (1)投 影 法 (穿 針 法 ) xyz Sxoy D .若 平 行 于 軸 且 穿 過 閉 區(qū) 域 內 部 的 直 線 與 閉 區(qū) 域的 邊 界 曲 面 相 交 不 多 于 兩 點 ， 則 把 閉 區(qū) 域 投 影到 平 面 上 得 一 平 面 閉 區(qū) 域 x yzo xyD 2S1S x yzo xyD1z 2z 2S1S ),(1 yxzz ),(2 yxzz ),( yx如 圖 ， xyxoyD ,閉 區(qū) 域 在面 上 的 投 影 為 閉 區(qū) 域),(: ),(: 22 11 yxzzS yxzzS xy( x, y ) D ,過 點 作 平 行 于 Z軸 的 直 線依 次 從 下 到 上 與 的 邊 界 面 相 交 :xy z ( x,y)z ( x,y)Df(x,y,z)dxdydz dxdy f(x,y,z)dz 21函 數(shù) ， 做 定 積 分 的只 看 作看 作 定 值 ， 將先 將 zzyxfyx ),(, ),( ),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF ( ) ( ) ( ) ( ) xyx, y,z z x, y z z x, y , x, y D 1 2 xyF( x, y ) D再 計 算 在 閉 區(qū) 域 上 的 二 重 積 分 xy xy z ( x,y )z ( x,y )D DF( x, y )d f ( x, y,z )dz d 21xyD : y ( x ) y y ( x ), a x b, 1 2若則 dvzyxf ),( .),()( )( ),( ),(21 21 ba xy xy yxz yxz dzzyxfdydx x y zo D)(1 xyy )(2 xyyab上 式 把 三 重 積 分 化 為 先 對 z， 次 對 y， 最 后 對 x的 三次 積 分 。 注 意 : 若 平 行 于 x軸 或 者 y軸 的 直 線 穿 過 區(qū) 域 時 與 它 的 邊 界 曲 面 S相 交 不 多 于 兩 點 ,也 可 把 投 影 到 yoz平 面 或 者 xoz面 上 . 若 平 行 于 坐 標 軸 的 直 線 穿 過 區(qū) 域 時 與 它 的 邊 界 曲 面 S相 交 多 于 兩 點 ,可 把 分 成 若 干 部 分 ,再 求 和 . 其 中 為 三 個 坐 標例 1. 計 算 三 重 積 分 ,ddd zyxx12 zyx 所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 . 1x yz 1 21解 0 1 2( , , )| ,( , ) xyx y z z x y x y D zyxx ddd )1(010 21 d)21(d x yyxxx yx z210 d 10 32 d)2(41 xxxx 120 10 1( , )| , ( )xyD x y x y x )1(021 dx y 10 dxx 481面 及 平 面 z z z c,z dc,d z zD . f ( x, y,z ) z c,d ,f ( x, y,z ) D 若 空 間 區(qū) 域 夾 在 二 平 面 之 間 。 過 區(qū) 間上 任 意 一 點 作 垂 直 于 軸 的 平 面 ， 截 得 平 面 區(qū) 域若 函 數(shù) 在 上 可 積 ， 且 對 任 意 在 上 可 積 ， 則 (2)截 面 法 (切 片 法 ) z zdcD Df ( x, y,z )dxdydz dz f ( x, y,z )dxdy. z zdcD Df ( x, y,z )dxdydz dz f ( x, y,z )dxdy. 則 ( , , )zD f x y z dxdy ，(3)計 算 二 重 積 分其 結 果 為 z的 函 數(shù) F (z);截 面 法 的 一 般 步 驟 ：(1)把 積 分 區(qū) 域 向 某 軸 (例 如 z軸 )投 影 , 得 投 影 區(qū) 間 c, d;, dcz 用 過 z且 平 行 x o y面 的 平 面 去 截 ,得 截 面 ;zD(2)對(4)最 后 計 算 定 積 分 ( )dc F z dz ，即 得 三 重 積 分 值 . 解 （ 二 ） xdxdydz xDxdx dydz, 10(y ) 10 1 0 1 22xD ,z | y ( x), z x y 2( )1 1 220 0 1 14x x x yD dydz dy dz x o x zy 12 1 1 ( )xxdxdydz x dx 210 1 4 481用 截 面 法 原 式 ,2 zDcc dxdydzz x y zo zD解 )1()1( 222222 czbczadxdy zD ),1( 22czab cc dzzczab 222)1( .154 3abc |),( yxDz 1 222222 czbyax 原 式 三 、 三 重 積 分 的 變 量 替 換( , , ): ( , , )( , , )x x u v wT y y u v wz z u v w ( , , ) (*)u v w 定 理 : ( , , ) ,f x y z 設 在 閉 域 上 連 續(xù) 作 變 換 :滿 足1( ) ( , , ), ( , , ), ( , , )x u v w y u v w z u v w 在 上 具 有 連 續(xù) 的 偏 導 數(shù) ；2( ) Jacobi在 上 行 列 式 0( , , )( , ) ;( , , )x y zJ u v w u v w ，3( ) :T 變 換 是 一 一 對 應 。 則 ( , , )d d ( , , ), ( , , ), ( , , )| ( , , )|d df x y z x ydzf x u v w y u v w z u v w J u v w u vdw注 ： ( , , )(2) ( , , )x y zJacobi u v w 當 行 列 式 在 區(qū) 域 的 個 別 點 上 ， 或某 條 曲 線 、 某 塊 曲 面 上 等 于 0， 而 在 其 它 點 處 非 0， 換元 法 仍 成 立 。(1)在 曲 線 坐 標 系 下 ， 體 積 元 素 為( , , )( , , )x y zdv dudvdwu v w 38 0 10 10 1. ( )cos( )( , , )| , , .I x y z x y z dVx y z x y x z x y z 例 計 算 ， 其 中 , 0 ,20 . zM( x, y,z )設 為 空 間 內 一 點 ，規(guī) 定 ： x yzo ),( zyxMP( , ) 1、 利 用 柱 面 坐 標 計 算 三 重 積 分如 圖 ， 三 坐 標 面 分 別 為為 常 數(shù) 圓 柱 面 ；為 常 數(shù) 半 平 面 ；為 常 數(shù)z 平 面 Mxoy P , 并 設 點 在面 上 的 投 影 的 極 坐 標 為 ，, ,z M 則 這 樣 的 三個 數(shù) 就 叫 點 的 柱 面 坐 標 x cos ,y sin ,z z. 柱 面 坐 標 與 直 角 坐 標 的 關 系 為 000 0 1cos sin( , , )( , , ) sin cos( , , )Jacobix y zJ z z 于 是 ， 行 列 式 因 此 ， 柱 面 坐 標 系 中 dxdydzzyxf ),( f ( cos , sin ,z ) d d dz. 適 用 范 圍 :1)積 分 區(qū) 域 表 面 用 柱 面 坐 標表 示 時 方 程 簡 單 ;2)被 積 函 數(shù) 用 柱 面 坐 標表 示 時 變 量 互 相 分 離 . 例 3 利 用 柱 面 坐 標 計 算 z d x d y d z ， 其 中 是 拋 物 面z x y 2 2 與 平 面 z=4所 圍 的 閉 區(qū) 域 . zx yo: z 2 4 0 2 20 zdxdydz z d d dz 22 2 40 0d d z dz 643 2 234 20. ( , , ) ,I f x y z dvy y xz 2 2例 把 三 重 積 分 化 為 柱 面 坐 標 系 下 的累 次 積 分 ， 其 中 由 錐 面 z= x 圓 柱 面 x 及平 面 所 圍 成 。 2 235 3. I zdv yy z 22例 計 算 ， 其 中 由 曲 面 z= 4 x 與 x 所 圍 成 。 （ 2） 利 用 球 面 坐 標 計 算 三 重 積 分 (注 意 此 處 的 兩 個 角 與 書 上 的表 示 符 號 剛 好 相 反 .) ,R),( 3zyxM設 ),( z其 柱 坐 標 為就 稱 為 點 M 的 球 坐 標 .直 角 坐 標 與 球 面 坐 標 的 關 系,ZOM Mox yzz r),( r則 0 200 rcossinrx sinsinry cosrz 坐 標 面 分 別 為常 數(shù)r 球 面常 數(shù) 半 平 面常 數(shù) 錐 面 ,rOM 令 ),( rM 直 角 坐 標 與 球 面 坐 標 的 關 系 0 200 rsinsinry cossinrx cosrz 20( , , )( , , ) ( , , )sin cos sin sin cos cossin sin sin cos cos sin sincos sinJacobi x y zJ r r rr r rr 于 是 ， 行 列 式因 此 dddsind 2 rrv x yzo如 圖 所 示 , dd r rd因 此 有 zyxzyxf ddd),( ),( rF其 中 )cos,sinsin,cossin(),( rrrfrF 適 用 范 圍 :1) 積 分 區(qū) 域 表 面 用 球 面 坐 標 表 示 時 方 程 簡 單 ;2) 被 積 函 數(shù) 用 球 面 坐 標 表 示 時 變 量 互 相 分 離 . dddsin2 rr dr sin rsin d rd在 球 面 坐 標 系 中 例 3. 6計 算 半 徑 為 a的 球 面 與 半 頂 角 為 的 內 接 錐 面 所 圍成 的 立 體 的 體 積 。:d xd ydz 0 r acos 0 2 20 2 20 acos r d r( )a cos 3 44 13 sin d 0 20 dr sin drd d 2 x o yza2r M 2237. ,( , , )| .I z dVx y z x 2 2 2 2 2 2 2例 計 算 其 中+y +z R ,x +y +(z-R) R解 法 一 ： 利 用 柱 面 坐 標解 法 二 ： 利 用 球 面 坐 標 .把 的 邊 界 曲 面 方 程 化 為 球 面 坐 標 方 程 r=R,r=2Rcos 2 2 2 22 2 2 2 230 0 02 2 2 2 2 220 0 3 coscos sincos sincos sinRRr r drd dd d r r drd d r r dr I= 它 們 的 交 線 為 圓 r = R= 3因 此 的 邊 界 曲 面 由 r=R (0 )與 r=2Rcos ( )3 3 2組 成 ， 于 是 解 法 三 : 用 切 片 法 小 結 zyx ddd zddd dddsin2 rr 積 分 區(qū) 域 多 由 坐 標 面 圍 成被 積 函 數(shù) 形 式 簡 潔 , 或直 角 坐 標 系柱 面 坐 標 系球 面 坐 標 系坐 標 系 體 積 元 素 適 用 情 況 說 明 : 三 重 積 分 也 有 類 似 二 重 積 分 的 換 元 積 分 公 式 :),( ),( wvu zyxJ 對 應 雅 可 比 行 列 式 為 * ddd),(ddd),( wvuJwvuFzyxzyxf 變 量 可 分 離 .積 分 區(qū) 域 表 面 的 方 程 簡 單 ; 1. 設 ,1: 222 zyx 計 算 vzyx zyxz d1 )1ln( 222 222提 示 : 利 用 對 稱 性原 式 = 122 ddyx yx0 奇 函 數(shù) 22 2211 222 222 d1 )1ln(yx yx zzyx zyxz 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 計 算 ,ddd1 2 zyxxyI 所 圍 成 . 其 中 由1,1,1 2222 yzxzxy 分 析 ： 若 用 “ 切 片 法 ” , 則 有 zxxyyI yD dd1d 201 zxxyy yD dd1d 210 計 算 較 繁 ! 采 用 “ 穿 針 法 ” 較 好 . 1 zx y1 o 1 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 : 4528 11 22 yzx 22 11 xzx 11 x 1 zx y1 o 1xxI d1 211 zxx d2211 yyzx d11 22 2 2 2 21 , 1, 1y x z x z y 由 所 圍 , 故 可 表 為 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束