2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.3 不等式的證明(二)教案 理 新人教A版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.3 不等式的證明(二)教案 理 新人教A版典例精析題型一用放縮法、反證法證明不等式 【例1】已知a，bR，且ab1，求證：(a2)2(b2)2.【證明】 方法一：(放縮法)因?yàn)閍b1，所以左邊(a2)2(b2)222(ab)42右邊.方法二：(反證法)假設(shè)(a2)2(b2)2，則 a2b24(ab)8.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212.所以(a)20，這與(a)20矛盾.故假設(shè)不成立，所以(a2)2(b2)2.【點(diǎn)撥】 根據(jù)不等式左邊是平方和及ab1這個(gè)特點(diǎn)，選用重要不等式a2 b22()2來(lái)證明比較好，它可以將具備a2b2形式的式子縮小.而反證法的思路關(guān)鍵是先假設(shè)命題不成立，結(jié)合條件ab1，得到關(guān)于a的不等式，最后與數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)矛盾，從而證明了原不等式.當(dāng)然本題也可以用分析法和作差比較法來(lái)證明.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a0，a1，a2，an1，an滿足a0an0，且有a02a1a20，a12a2a30，an22an1an0，求證：a1，a2，an10.【證明】由題設(shè)a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假設(shè)a1，a2，an1中存在大于0的數(shù)，假設(shè)ar是a1，a2，an1中第一個(gè)出現(xiàn)的正數(shù). 即a10，a20，ar10，ar0，則有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.這與題設(shè)an0矛盾.由此證得a1，a2，an10成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)an，nN*，求證：an.【證明】 方法一：(放縮法)，即n.所以12nan13(2n1).所以an，即an.方法二：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時(shí)，a1，而12，所以原不等式成立.假設(shè)nk (k1)時(shí)，不等式成立，即ak.則當(dāng)nk1時(shí)，ak1，所以ak1.而(k1)，.所以ak1.故當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立.綜合知當(dāng)nN*，都有an.【點(diǎn)撥】 在用放縮法時(shí)，常利用基本不等式將某個(gè)相乘的的式子進(jìn)行放縮，而在上面的方法二的數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟也要用到這個(gè)公式.在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要注意根據(jù)目標(biāo)來(lái)尋找思路.【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，計(jì)算得S1，S2，S3，S4，觀察上述結(jié)果推測(cè)出計(jì)算Sn的公式且用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】猜想Sn(nN).證明：當(dāng)n1時(shí)，S1，等式成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)等式成立，即Sk.則Sk1Sk.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.綜合得，對(duì)任何nN，等式都成立.題型三用不等式證明方法解決應(yīng)用問(wèn)題【例3】某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.(1)求an的表達(dá)式；(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年森林木材量應(yīng)不少于a，如果ba，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？(取lg 20.30)【解析】(1)依題意得a1a(1)bab，a2a1b(ab)b()2a(1)b，a3a2b()3a()2(1)b，由此猜測(cè)an()na()n1()n21b()na4()n1b(nN).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a1ab，猜測(cè)成立.假設(shè)nk(k2)時(shí)猜測(cè)成立，即ak()ka4()k1b成立.那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1akbb()k1a4()k11b，即當(dāng)nk1時(shí)，猜測(cè)仍成立.由知，對(duì)任意nN，猜測(cè)成立.(2)當(dāng)ba時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則森林木材存量必須少于a，所以()na4()n1aa，整理得()n5，兩邊取對(duì)數(shù)得nlg lg 5，所以n7.故經(jīng)過(guò)8年該地區(qū)就開始水土流失.【變式訓(xùn)練3】經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y(v0).(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時(shí))(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解析】(1)依題意，y，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v40時(shí)，上式等號(hào)成立，所以ymax11.1(千輛/時(shí)).(2)由條件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：當(dāng)v40千米/時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時(shí)且小于64千米/時(shí).總結(jié)提高1.有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進(jìn)行命題正確與否的判斷.2.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過(guò)程中常常要用到它，放縮要有目標(biāo)，目標(biāo)在結(jié)論和中間結(jié)果中尋找.常用的放縮方法有：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如，n；(2)將分子或分母放大(或縮小)；(3)利用基本不等式，如；(4)利用常用結(jié)論，如， ；(程度大)；() (程度小).3.用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明過(guò)程與用數(shù)學(xué)歸納法證明其他命題一樣，先要奠基，后進(jìn)行假設(shè)與推理，二者缺一不可.