2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.3 不等式的證明(二)教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.3 不等式的證明(二)教案 理 新人教A版.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.3 不等式的證明(二)教案 理 新人教A版典例精析題型一用放縮法、反證法證明不等式 【例1】已知a,bR,且ab1,求證:(a2)2(b2)2.【證明】 方法一:(放縮法)因?yàn)閍b1,所以左邊(a2)2(b2)222(ab)42右邊.方法二:(反證法)假設(shè)(a2)2(b2)2,則 a2b24(ab)8.由ab1,得b1a,于是有a2(1a)212.所以(a)20,這與(a)20矛盾.故假設(shè)不成立,所以(a2)2(b2)2.【點(diǎn)撥】 根據(jù)不等式左邊是平方和及ab1這個(gè)特點(diǎn),選用重要不等式a2 b22()2來(lái)證明比較好,它可以將具備a2b2形式的式子縮小.而反證法的思路關(guān)鍵是先假設(shè)命題不成立,結(jié)合條件ab1,得到關(guān)于a的不等式,最后與數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)矛盾,從而證明了原不等式.當(dāng)然本題也可以用分析法和作差比較法來(lái)證明.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a0,a1,a2,an1,an滿足a0an0,且有a02a1a20,a12a2a30,an22an1an0,求證:a1,a2,an10.【證明】由題設(shè)a02a1a20得a2a1a1a0.同理,anan1an1an2a2a1a1a0.假設(shè)a1,a2,an1中存在大于0的數(shù),假設(shè)ar是a1,a2,an1中第一個(gè)出現(xiàn)的正數(shù). 即a10,a20,ar10,ar0,則有arar10,于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.這與題設(shè)an0矛盾.由此證得a1,a2,an10成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明:設(shè)an,nN*,求證:an.【證明】 方法一:(放縮法),即n.所以12nan13(2n1).所以an,即an.方法二:(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時(shí),a1,而12,所以原不等式成立.假設(shè)nk (k1)時(shí),不等式成立,即ak.則當(dāng)nk1時(shí),ak1,所以ak1.而(k1),.所以ak1.故當(dāng)nk1時(shí),不等式也成立.綜合知當(dāng)nN*,都有an.【點(diǎn)撥】 在用放縮法時(shí),常利用基本不等式將某個(gè)相乘的的式子進(jìn)行放縮,而在上面的方法二的數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟也要用到這個(gè)公式.在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要注意根據(jù)目標(biāo)來(lái)尋找思路.【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,計(jì)算得S1,S2,S3,S4,觀察上述結(jié)果推測(cè)出計(jì)算Sn的公式且用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】猜想Sn(nN).證明:當(dāng)n1時(shí),S1,等式成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)等式成立,即Sk.則Sk1Sk.即當(dāng)nk1時(shí),等式也成立.綜合得,對(duì)任何nN,等式都成立.題型三用不等式證明方法解決應(yīng)用問(wèn)題【例3】某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年增長(zhǎng)率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.(1)求an的表達(dá)式;(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年森林木材量應(yīng)不少于a,如果ba,那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎?若會(huì),需要經(jīng)過(guò)幾年?(取lg 20.30)【解析】(1)依題意得a1a(1)bab,a2a1b(ab)b()2a(1)b,a3a2b()3a()2(1)b,由此猜測(cè)an()na()n1()n21b()na4()n1b(nN).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí),a1ab,猜測(cè)成立.假設(shè)nk(k2)時(shí)猜測(cè)成立,即ak()ka4()k1b成立.那么當(dāng)nk1時(shí),ak1akbb()k1a4()k11b,即當(dāng)nk1時(shí),猜測(cè)仍成立.由知,對(duì)任意nN,猜測(cè)成立.(2)當(dāng)ba時(shí),若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失,則森林木材存量必須少于a,所以()na4()n1aa,整理得()n5,兩邊取對(duì)數(shù)得nlg lg 5,所以n7.故經(jīng)過(guò)8年該地區(qū)就開始水土流失.【變式訓(xùn)練3】經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到:在交通繁忙的時(shí)段內(nèi),某公路段汽車的車流量y(千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y(v0).(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí),車流量最大?最大車流量為多少?(精確到0.1千輛/時(shí))(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?【解析】(1)依題意,y,當(dāng)且僅當(dāng)v,即v40時(shí),上式等號(hào)成立,所以ymax11.1(千輛/時(shí)).(2)由條件得10,整理得v289v1 6000,即(v25)(v64)0,解得25v64.答:當(dāng)v40千米/時(shí)時(shí),車流量最大,最大車流量約為11.1千輛/時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時(shí)且小于64千米/時(shí).總結(jié)提高1.有些不等式,從正面證如果不易說(shuō)清,可以考慮反證法,凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中,也可以用反證法的方法進(jìn)行命題正確與否的判斷.2.放縮法是證明不等式特有的方法,在證明不等式過(guò)程中常常要用到它,放縮要有目標(biāo),目標(biāo)在結(jié)論和中間結(jié)果中尋找.常用的放縮方法有:(1)添加或舍去一些項(xiàng),如,n;(2)將分子或分母放大(或縮小);(3)利用基本不等式,如;(4)利用常用結(jié)論,如, ;(程度大);() (程度小).3.用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明過(guò)程與用數(shù)學(xué)歸納法證明其他命題一樣,先要奠基,后進(jìn)行假設(shè)與推理,二者缺一不可.