2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1 數(shù)列教案 新人教B版必修5.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1 數(shù)列教案 新人教B版必修5教學(xué)分析本節(jié)教材通過舉例引出數(shù)列概念，教材上列舉了7個例子，這7列數(shù)的排列都具有一定的規(guī)律，教學(xué)時也可舉幾個各項(xiàng)數(shù)是隨機(jī)的、沒有什么規(guī)律的例子注意函數(shù)定義域的表述符號N與N*表示正整數(shù)或非0自然數(shù)教材中的例1可由學(xué)生自己完成例2中的3個小題都要通過觀察并分析數(shù)的性質(zhì)，有一定難度例3是為了加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，教學(xué)時要重視對數(shù)列概念的引入可作適當(dāng)拓展一方面從研究數(shù)的角度提出數(shù)列概念，使學(xué)生感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型；另一方面可從生活實(shí)際引入，如銀行存款利息、購房貸款等，使學(xué)生對這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)背景有更直觀認(rèn)識，感受數(shù)列研究的現(xiàn)實(shí)意義，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣(1)教學(xué)中要注意留給學(xué)生回味、思考的空間和余地(2)數(shù)列是一種特殊函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集N*(或它的有限子集)，值域是當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時的對應(yīng)值教科書通過數(shù)列的定義域與值域之間這種一一對應(yīng)關(guān)系的列表，讓學(xué)生加深對數(shù)列是一種特殊函數(shù)的認(rèn)識(3)對于函數(shù)yf(x)，如果f(i)(i1,2,3，)有意義，這些函數(shù)值也可以組成一個數(shù)列，教學(xué)中要注意數(shù)列與函數(shù)的這種關(guān)系的把握教材上對數(shù)列進(jìn)行了兩種分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動數(shù)列這些分類的嚴(yán)格定義不要求學(xué)生記憶，只要學(xué)生知道上述分類是依據(jù)不同分類標(biāo)準(zhǔn)得出的并能對所給數(shù)列的類別作出準(zhǔn)確判斷就可以了三維目標(biāo)1通過本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生理解數(shù)列的概念，理解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，把數(shù)列融于函數(shù)之中；了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)，對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式2通過探究、思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析等教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，并通過日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵學(xué)生動手試驗(yàn)，大膽猜想培養(yǎng)學(xué)生對科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度3通過本節(jié)章頭圖的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，理解大自然的豐富多彩，感受“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)列及其有關(guān)的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義；了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(章頭圖引入)斐波那契(Fibonacci Leonardo，約11701250)，意大利著名數(shù)學(xué)家，保存至今的斐波那契著作有5部，其中影響最大的是1202年在意大利出版的算盤全書，算盤全書中許多有趣的問題中最富成功的問題是著名的兔子繁殖問題：如果每對兔子每月繁殖一對子兔(一雌一雄)，而子兔在出生后第三個月里就又能生1對子兔試問一對兔子50個月會有多少對兔子？由此展開新課的探究思路2.(直接引入)利用多媒體打出教材前言中的幾列數(shù)這是與集合中的元素不同的一列數(shù)，有一定的次序，告訴學(xué)生這就是我們要研究的數(shù)列，由此直接進(jìn)入新課推進(jìn)新課(1)閱讀課本章頭圖，列出前5個月中每個月兔子的總對數(shù).(2)每個同學(xué)取一張紙對折，假設(shè)紙的原來厚度為1個長度單位，面積為1個面積單位，那么隨著依次對折的次數(shù)增加，它的厚度和每層紙的面積分別是多少？(3)怎樣理解數(shù)列？與集合有什么不同？什么是數(shù)列的項(xiàng)？怎樣表示數(shù)列a1，a2，a3，an，？(4)你能舉出身邊的哪些數(shù)列？(5)怎樣對數(shù)列分類？什么是有窮數(shù)列？什么是遞增數(shù)列？(6)怎樣理解數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系？(7)什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式？(8)數(shù)列有哪些簡單的表示方法？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本章頭的插圖，直觀感知大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的，激起進(jìn)一步探究的欲望通過閱讀課本，知道三角形數(shù)是1,3,6,10，.由于這些數(shù)都能夠表示成三角形，就將其稱為三角形數(shù)，知道正方形數(shù)是1,4,9,16，.由于這些數(shù)都能夠表示成正方形，所以被稱為正方形數(shù)教師將兩列數(shù)用課本演示出來，引導(dǎo)學(xué)生觀察它們的共同特征接下來讓學(xué)生折紙可得到兩列數(shù)，隨著對折數(shù)的增加，厚度依次為2,4,8,16，256，；隨著對折數(shù)的增加，面積依次為，.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本并弄清有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念，之后提出問題：相同的一組數(shù)按不同順序排列時，是否為同一個數(shù)列？一個數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)嗎？0,0,0，0，是數(shù)列嗎？讓學(xué)生結(jié)合數(shù)列的概念進(jìn)行辨析顯然，根據(jù)數(shù)列的概念1,2,3；2,3,1是兩個不同的數(shù)列.0,0,0，0，也是數(shù)列這點(diǎn)與集合不同集合講究無序性、互異性、確定性，而數(shù)列強(qiáng)調(diào)有順序，且同一數(shù)字可重復(fù)也就是說數(shù)列具有確定性、有序性、可重復(fù)性，這樣根據(jù)數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號變化的情況可以對數(shù)列進(jìn)行分類，按項(xiàng)數(shù)多少可分為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；按各項(xiàng)的變化規(guī)律可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列根據(jù)以上探究，數(shù)列中的數(shù)與它的序號是一種怎樣的關(guān)系呢？序號可看作是自變量，數(shù)列中的項(xiàng)可看作是隨之變動的量這就讓我們聯(lián)想到了函數(shù)，認(rèn)識到數(shù)列也是函數(shù)，是一種特殊的函數(shù)，特殊到自變量只能取非零自然數(shù)如數(shù)列2,4,8,16，256，中，項(xiàng)與序號之間的對應(yīng)關(guān)系如下：項(xiàng)2 4 8 16 32 序號1 2 3 4 5一般形式則為項(xiàng)a1 a2 a3 an 序號1 2 3 n 由此得出，數(shù)列可以看作是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值反過來，對于函數(shù)yf(x)，如果f(i)(i1、2、3、4、)有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，.因此，如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式函數(shù)與數(shù)列的比較(由學(xué)生完成此表)：函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))定義域R或R的子集N*或它的有限子集1,2，n解析式y(tǒng)f(x)anf(n)圖象點(diǎn)的集合一些離散的點(diǎn)的集合關(guān)于數(shù)列的表示方法，與函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用圖象法、列表法等方法來表示由于數(shù)列中的自變量只能取正整數(shù)，所以其圖象應(yīng)是一系列孤立的點(diǎn)例如上面問題中提出的函數(shù)y2x，當(dāng)x依次取1,2,3，時，我們可以得到函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)列2,4,6，2n，這個數(shù)列還可用列表法與圖象法表示如下：n123kan2462k對于數(shù)列的圖象法表示，我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項(xiàng)數(shù)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)an為縱坐標(biāo)，即以(n，an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)(以前面提到的數(shù)列1，為例，作出一個數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢討論結(jié)果：(1)1,1,2,3,5(3)按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，又可簡記為an(7)數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的函數(shù)的解析式(8)數(shù)列的幾種簡單表示方法有通項(xiàng)公式法(解析式法)、列表法和圖象法(2)(4)(5)(6)略例1(教材本節(jié)例2)活動：本例3個小題，都要通過觀察，并分析數(shù)的性質(zhì)，有一定難度教師可引領(lǐng)學(xué)生一起分析，然后由學(xué)生完成同時要讓學(xué)生領(lǐng)悟題目中為什么要求寫出“一個”通項(xiàng)公式如第2小題奇數(shù)項(xiàng)為0，偶數(shù)項(xiàng)為2，顯然具備這種特點(diǎn)的數(shù)學(xué)式子不是唯一的點(diǎn)評：解完本例后要讓學(xué)生領(lǐng)悟，這種由數(shù)寫出數(shù)列前幾項(xiàng)的題目，解決的關(guān)鍵是找出這列數(shù)與序號之間呈現(xiàn)的規(guī)律性的東西然后通過歸納寫出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式但要注意，根據(jù)數(shù)列的若干項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式的形式可能不是唯一的如本例中的2學(xué)生可能就有以下幾種寫法：an或an2|sin|或an2|cos|，等等因此教師可就此點(diǎn)撥學(xué)生：由函數(shù)的觀點(diǎn)可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)質(zhì)上就是函數(shù)的對應(yīng)法則的解析式表示，而我們知道函數(shù)的對應(yīng)法則并不是都能用解析式表示出來的，因此也不是所有的數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式來，即使存在通項(xiàng)公式也不一定唯一 變式訓(xùn)練根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9,11，；(2)0,1,0,1,0,1，；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，；(4)2，6,12，20,30，42，.解：(1)an2n1；(2)an；(3)將數(shù)列變形為10,21,30,41,50,61,70,81，ann；(4)將數(shù)列變形為12，23,34，45,56，an(1)n1n(n1)例2(教材本節(jié)例3)活動：教材設(shè)計本例的目的是為了加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，用研究函數(shù)性質(zhì)的方法研究數(shù)列的性質(zhì)這一點(diǎn)非常重要，應(yīng)引起學(xué)生的極大重視本例中的第1問實(shí)際上就是函數(shù)的有界性，第2問的遞增遞減數(shù)列就是函數(shù)的單調(diào)性教師與學(xué)生一起分析后，可由學(xué)生自己完成點(diǎn)評：解完本例后，可讓學(xué)生結(jié)合思考與討論，總結(jié)本例的思想方法因?yàn)檫@一點(diǎn)學(xué)通了，后面的內(nèi)容就好學(xué)了 變式訓(xùn)練寫出數(shù)列1，的通項(xiàng)公式，并判斷它的增減性解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為an，an1an0，即an1an，這說明每相鄰的兩項(xiàng)中，后項(xiàng)小于前項(xiàng)，由此可知數(shù)列為遞減數(shù)列例3寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：(1)，；(2)，2，8，；(3)1,0，0，0，0，.解：(1)an.(2)an.原數(shù)列可寫成，這樣數(shù)列中各項(xiàng)數(shù)的規(guī)律就一目了然了(3)ansin.原數(shù)列可寫成，這樣分母依次為1,2,3，而分子依次為1,0，1,0，由此想到三角函數(shù) 變式訓(xùn)練以下通項(xiàng)公式中，不是數(shù)列3,5,9，的通項(xiàng)公式的是()Aan2n1Bann2n3Cann35n2n7 Dan2n1答案：D例4求數(shù)列2n29n3中的最大項(xiàng)活動：教師首先引導(dǎo)學(xué)生熟悉這個數(shù)列，即是10,13,12，2n29n3，其通項(xiàng)公式為an2n29n3，可以看出an與n構(gòu)成二次函數(shù)，可完全類比二次函數(shù)求最值的方法，但要注意這里nN*這一隱含條件解：由題意，知an2n29n32(n)2.n為正整數(shù)，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，知當(dāng)n2時，an取到最大值13.數(shù)列2n29n3中的最大項(xiàng)為a213.點(diǎn)評：數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意到函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這一約束條件 變式訓(xùn)練已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anlog2(n23)2，那么log23是這個數(shù)列的第_項(xiàng)答案：3例5圖中的三角形稱為謝賓斯基(Sierpinski)三角形在下圖四個三角形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項(xiàng)，請寫出這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象圖3解：如題圖，這四個三角形中著色三角形的個數(shù)依次為1,3,9,27，則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1，所以這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是an3n1.該數(shù)列在直角坐標(biāo)系中的圖象如下圖點(diǎn)評：本例是用通項(xiàng)公式和圖象兩種方法表示謝賓斯基三角形中著色三角形個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列解完此題后，讓學(xué)生總結(jié)數(shù)列的表示方法 變式訓(xùn)練根據(jù)下圖中5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖中有_個點(diǎn)答案：n2n1解析：經(jīng)觀察，第n個圖中間1個點(diǎn)向n個方向發(fā)散，每個方向上另有(n1)個點(diǎn)，所以第n個圖中點(diǎn)的總個數(shù)為n(n1)1n2n1.1寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是：(1)1,8,27,64，；(2)，3，.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(n1)，則380是這個數(shù)列的第_項(xiàng)答案：1(1)ann3；(2)an.2由380n(n1)，nN*，可解得n19.1由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：數(shù)列的有關(guān)概念；根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，反過來，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)；數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系2通過知識性的小結(jié)，盡快地把課堂探究的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)能力；通過特殊到一般、類比等思想方法的運(yùn)用，更深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和作用并通過章頭插圖的閱讀與理解，更加熱愛大自然、保護(hù)大自然課本本節(jié)習(xí)題21 A組16；習(xí)題21 B組13.設(shè)計感想本教案設(shè)計遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)新課標(biāo)理念設(shè)計的教學(xué)方法是讓學(xué)生自主探究，呈現(xiàn)“現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問題”的特點(diǎn)讓學(xué)生通過觀察、分析、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生主動探究的精神感受到大自然的神奇與奧妙，激發(fā)熱愛大自然的熱情，并自發(fā)保護(hù)大自然，真切領(lǐng)悟到大自然才是我們?nèi)祟愔腔鄣脑慈窘贪冈O(shè)計體現(xiàn)對學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，本節(jié)的難點(diǎn)之一就是由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出它的一個通項(xiàng)公式，這個通項(xiàng)公式不是唯一的設(shè)計中鼓勵學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識，充分施展種種奇思妙想，最大限度地開挖學(xué)生的潛能本教案的設(shè)計加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，這也是本章的特色，可以說本章簡直就是數(shù)學(xué)思想方法的王國如不把握好這一點(diǎn)，正如入寶山而空手回如類比思想、歸納思想及特殊到一般的思想方法等備課資料備用習(xí)題1數(shù)列3,7,13,21,31，的通項(xiàng)公式是()Aan4n1 Bann3n2n2Cann2n1 D不存在2根據(jù)下面數(shù)列an的通項(xiàng)公式，寫出前5項(xiàng)：(1)an；(2)an(1)nn.3寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)1，；(2)2,0,2,0.4數(shù)列an中，a11，對所有的n2都有a1a2a3ann2，則a3a5的值是_5已知數(shù)列：(1)求這個數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間(，)內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，說明理由參考答案：1C解析：代入選擇支驗(yàn)證即可2解：(1)a1；a2；a3；a4；a5.(2)a11；a22；a33；a44；a55.3解：(1)an；(2)an(1)n11.4.解析：a1a222，a1a2a332，a1a2a3a442，a1a2a3a4a552，a3a5.5解：(1)設(shè)f(n)，令n10，得a10f(10).(2)令，得9n300，此方程在自然數(shù)集內(nèi)無解，所以不是該數(shù)列中的項(xiàng)(3)證明：an1，又nN*，01.0an1.(4)令an.即n.當(dāng)且僅當(dāng)n2時上式成立故區(qū)間(，)上有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為a2.